1、12.1.1 平面上的柯西不等式的代数和向量形式1.认识并理解平面上的柯西不等式的代数和向量形式，以及定理 3、定理 4、定理 5等几种不同形式，理解它们的几何意义.2.会用柯西不等的代数形式和向量形式以及定理 3、定理 4、定理 5，证明比较简单的不等式，会求某些函数的最值.自学导引1.若 a1， a2， b1， b2R，则( a a )(b b )( a1b1 a2b2)2，等号成立 a1b2 a2b1.21 2 21 22.设 ， 为平面上的两个向量，则| | | |，等号成立 与 共线 ( 0)；| | | |，等号成立的条件为 ， 0 或 与 同向或 ( 0).3.设 a1， a2，
2、 b1， b2为实数，则 ，等号成立存（ a1 b1） 2 （ a2 b2） 2在非负实数 及 ，使得 a 1 b 1， a 2 b 2.4.设平面上三点坐标为 A(a1， a2)、 B(b1， b2)、 C(c1， c2)，则 （ a1 b1） 2 （ a2 b2） 2 （ b1 c1） 2 （ b2 c2） 2，其几何意义为：| AB| BC| AC|.（ a1 c1） 2 （ a2 c2） 25.设 ， ， 为平面向量，则| | | |，等号成立的充要条件为 ( )_( 0).基础自测1.已知 a， bR *且 a b1，则 P( ax by)2与 Q ax2 by2的关系是( )A.P
3、 Q B.PQ解析 P( ax by)2 ( x) ( y)2a a b b( ax2 by2)(a b) ax2 by2 Q2 P Q，选 A.答案 A2.下列说法：二维形式的柯西不等式中 a， b， c， d没有取值限制.二维形式的柯西不等式中 a， b， c， d只能取数，不能为代数式.柯西不等式的向量式中取等号的条件是 .柯西不等式只能应用于证明不等式或求最值.其中正确的个数有( )A.1个 B.2个C.3个 D.4个解析 由柯西不等式的概念知，只正确， a， b， c， d是实数，没有其取值限制.答案 A3.设 a， b， m， nR，且 a2 b25， ma nb5，则 的最小值为
4、m2 n2解析 运用柯西不等式求解.根据柯西不等式( ma nb)2( a2 b2)(m2 n2)，得 255( m2 n2)， m2 n25， 的m2 n2最小值为 .5答案 5知识点 1 利用柯西不等式证明不等式【例 1】 已知 3x22 y26，求证：2 x y .11证明 由于 2x y ( x) ( y).23 3 12 2由柯西不等式( a1b1 a2b2)2( a a )(b b )得21 2 21 2(2x y)2 (3x22 y2)(23)2 (12)2 6 611，(43 12) 116|2 x y| ，2 x y .11 11反思感悟：柯西不等式( a a )(b b
5、 )( a1b1 a2b2)2 | a1b1 a2b2|，应21 2 21 2用时关键是对已知条件的变形.31.已 知 a， b， c， d R， x0， y0， 且 x2 a2 b2， y2 c2 d2， 求 证 ： xy ac bd.证明 由柯西不等式知： ac bd xy. xy ac bd.a2 b2c2 d2 x2 y2【例 2】 (二维形式的三角不等式)设 x1， y1， x2， y2R，用代数的方法证明 .（ x1 x2） 2 （ y1 y2） 2证明 ( )2 x y 2 x y21 21 2 2 x y 2| x1x2 y1y2| x y21 21 2 2 x y 2( x1
6、x2 y1y2) x y21 21 2 2 x 2 x1x2 x y 2 y1y2 y21 2 21 2( x1 x2)2( y1 y2)2 （ x1 x2） 2 （ y1 y2） 2反思感悟：在平面中设 ( x1， y1)， ( x2， y2)，则 ( x1x2， y1y2)由向量加法的三角形法则知：| | | | ，由向量减法的几何意义知：（ x1 x2） 2 （ y1 y2） 2| | | | .（ x1 x2） 2 （ y1 y2） 22.利用柯西不等式证明： .a2 b28 (a b4 )2 证明 (a b4 )2 (a4 b4)2 ( a2 b2) .(14)2 (14)2 a2
7、b28知识点 2 利用柯西不等式求函数的最值【例 3】 求函数 y5 的最大值.x 1 10 2x解 函数的定义域为 x|1 x5.y5 x 1 25 x 52 2x 1 5 x 26 当且仅当 5 27 3 5 x 2x 14即 x 时取等号，故函数的最大值为 6 .12727 3反思感悟：解题的关键是对函数解析式进行变形，使形式上适合应用柯西不等式，还要注意求出使函数取得最值时的自变量的值.3.已知 x y1，求 2x23 y2的最小值.解 2 x23 y2( x)2( y)2 2 3 (12)2 (13)2 6565(2x12 3y13)2 (x y)2 .65 65课堂小结1.二维形式
8、的柯西不等式(a a )(b b )( a1b1 a2b2)2当且仅当 a1b2 a2b1时等号成立.21 2 21 22.推论：(1)( a b)(c d)( )2；ac bd(2) | a1b1 a2b2|；(3) | a1b1| a2b2|.3.柯西不等式的向量形式| | | |.当且仅当存在实数 0，使 时等号成立.4.二维形式的三角不等式(1) (或 （ a1 b1） 2 （ a2 b2） 2)；（ a1 b1） 2 （ a2 b2） 2(2) （ a1 b1） 2 （ a2 b2） 2 （ b1 c1） 2 （ b2 c2） 2.（ a1 c1） 2 （ a2 c2） 2随堂演练1
9、写出空间直角坐标系中柯西不等式的代数形式.解 ( a a a )(b b b )21 2 23 21 2 23( a1b1 a2b2 a3b3)2(a1， a2， a3， b1， b2， b3R).当且仅当 时等号成立.a1b1 a2b2 a3b32.写出空间代数形式的三角不等式.5解 有两种形式分别对应定理 3、定理 4.定理 3为 （ a1 b1） 2 （ a2 b2） 2 （ a3 b3） 2定理 4为 （ a1 b1） 2 （ a2 b2） 2 （ a3 b3） 2（ b1 c1） 2 （ b2 c2） 2 （ b3 c3） 2 .（ a1 c1） 2 （ a2 c2） 2 （ a3
10、 c3） 23.已知 a2 b2 c21， x2 y2 z21.求证： ax by cz1.证明 由柯西不等式得：(a2 b2 c2)(x2 y2 z2)( ax by cz)2 a2 b2 c21， x2 y2 z21，| ax by cz|1. ax by cz1.基础达标1.函数 y 的最小值是( )2x 91 2x(x (0， 12)A.20 B.25C.27 D.18解析 y 2 x(12 x)2x 91 2x 2x 91 2x( )2( )22x 1 2x (2x)2 ( 91 2x)2 (23) 225.(2x2x 1 2x 91 2x)2 答案 B2.若 a， bR，且 a2
11、b210，则 a b的取值范围是( )A.2 ，2 B.2 ，2 5 5 10 10C. ， D. ， 10 10 5 5解析 ( a2 b2)12(1) 2( a b)2| a b| 2 ， a b2 ，2 .20 5 5 5答案 A63.已知 4x25 y21，则 2x y的最大值是( )5A. B.12C.3 D.9解析 2 x y2 x1 y15 5 .（ 2x） 2 （ 5y） 2 12 12 1 2 22 x y的最大值为 .5 2答案 A4.设 a、 b、 c是正实数，且 a b c9，则 的最小值是_.2a 2b 2c解析 ( a b c)(2a 2b 2c)( )2( )2(
12、 )2( )2( )2( )2 18.a b c2a 2b 2c (a2a b2b c2c)2 2.2a 2b 2c答案 25.若 a2 b2 c22， x2 y2 z24，则 ax by cz的取值范围是_.解析 ( a2 b2 c2)(x2 y2 z2)( ax by cz)2，( ax by cz)28，2 ax by cz2 .2 2答案 2 ，2 2 26.已知 a2 b21， a， bR，求证：| acos bsin |1.证明 ( acos bsin )2( a2 b2)(cos2 sin 2 )111，| acos bsin |1.综合提高7.已知 x， yR ，且 xy1，则
13、 的最小值为( )(1 1x ) (1 1y )A.4 B.2C.1 D.14解析 (1 ) 2 24.(11x) 1y 12 (1x)2 12 (1y)2 (11 1x1y)2 (1 1xy)2 答案 A8.设 a、 bR ，且 a b， P ， Q a b，则( )a2b b2aA.PQ B.P Q7C.P0， b0， a b0. ( a b)(a2b b2a) （ a b） 2a b又 a b，而等号成立的条件是 ab a ba b即 a b， a b.(a2b b2a)即 PQ.答案 A9.设 a， b， c， d， m， n都是正实数， P ， Q ，则 P与 Q的大ab cd ma
14、 ncbm dn小_.解析 由柯西不等式，得 P ambm ncdn （ am） 2 （ nc） 2 (bm)2 (dn)2 Q.am ncbm dn答案 P Q10.函数 y2 的最大值为_.1 x 2x 1解析 y2 1 1 x 2x 1 22 2x 2x 1 （ 2） 2 12（ 2 2x） 2 （ 2x 1） 2 3.3 3当且仅当 1 取等号.2 2x 2 2x 1即 22 x4 x2， x0 时取等号.答案 311.若 2x3 y1，求 4x29 y2的最小值，并求出最小值点.解 由柯西不等式(4 x29 y2)(121 2)(2 x3 y)21，4 x29 y2 .12当且仅当 2x13 y1，8即 2x3 y时取等号.由 得2x 3y，2x 3y 1.) x 14，y 16.)4 x29 y2的最小值为 ，最小值点为 .12 (14， 16)12.设 a， bR ，若 a b2，求 的最小值.1a 1b解 ( a b)(1a 1b)( )2( )2a b (1a)2 (1b)2 (11) 24.(a1a b1b)2 2 4，(1a 1b)即 2.(1a 1b)当且仅当 ，a1b b 1a即 a b时取等号，当 a b1 时， 的最小值为 2.1a 1b
