1、12.1.1 平面上的柯西不等式的代数和向量形式1.认识并理解平面上的柯西不等式的代数和向量形式，以及定理 3、定理 4、定理 5等几种不同形式，理解它们的几何意义.2.会用柯西不等的代数形式和向量形式以及定理 3、定理 4、定理 5，证明比较简单的不等式，会求某些函数的最值.自学导引1.若 a1， a2， b1， b2R，则( a a )(b b )( a1b1 a2b2)2，等号成立 a1b2 a2b1.21 2 21 22.设 ， 为平面上的两个向量，则| | | |，等号成立 与 共线 ( 0)；| | | |，等号成立的条件为 ， 0 或 与 同向或 ( 0).3.设 a1， a2，
2、 b1， b2为实数，则 ，等号成立存（ a1 b1） 2 （ a2 b2） 2在非负实数 及 ，使得 a 1 b 1， a 2 b 2.4.设平面上三点坐标为 A(a1， a2)、 B(b1， b2)、 C(c1， c2)，则 （ a1 b1） 2 （ a2 b2） 2 （ b1 c1） 2 （ b2 c2） 2，其几何意义为：| AB| BC| AC|.（ a1 c1） 2 （ a2 c2） 25.设 ， ， 为平面向量，则| | | |，等号成立的充要条件为 ( )_( 0).基础自测1.已知 a， bR *且 a b1，则 P( ax by)2与 Q ax2 by2的关系是( )A.P
3、 Q B.PQ解析 P( ax by)2 ( x) ( y)2a a b b( ax2 by2)(a b) ax2 by2 Q2 P Q，选 A.答案 A2.下列说法：二维形式的柯西不等式中 a， b， c， d没有取值限制.二维形式的柯西不等式中 a， b， c， d只能取数，不能为代数式.柯西不等式的向量式中取等号的条件是 .柯西不等式只能应用于证明不等式或求最值.其中正确的个数有( )A.1个 B.2个C.3个 D.4个解析 由柯西不等式的概念知，只正确， a， b， c， d是实数，没有其取值限制.答案 A3.设 a， b， m， nR，且 a2 b25， ma nb5，则 的最小值为
4、_.m2 n2解析 运用柯西不等式求解.根据柯西不等式( ma nb)2( a2 b2)(m2 n2)，得 255( m2 n2)， m2 n25， 的m2 n2最小值为 .5答案 5知识点 1 利用柯西不等式证明不等式【例 1】 已知 3x22 y26，求证：2 x y .11证明 由于 2x y ( x) ( y).23 3 12 2由柯西不等式( a1b1 a2b2)2( a a )(b b )得21 2 21 2(2x y)2 (3x22 y2)(23)2 (12)2 6 611，(43 12) 116|2 x y| ，2 x y .11 11反思感悟：柯西不等式( a a )(b b
5、 )( a1b1 a2b2)2 | a1b1 a2b2|，应21 2 21 2用时关键是对已知条件的变形.31.已 知 a， b， c， d R， x0， y0， 且 x2 a2 b2， y2 c2 d2， 求 证 ： xy ac bd.证明 由柯西不等式知： ac bd xy. xy ac bd.a2 b2c2 d2 x2 y2【例 2】 (二维形式的三角不等式)设 x1， y1， x2， y2R，用代数的方法证明 .（ x1 x2） 2 （ y1 y2） 2证明 ( )2 x y 2 x y21 21 2 2 x y 2| x1x2 y1y2| x y21 21 2 2 x y 2( x1
6、x2 y1y2) x y21 21 2 2 x 2 x1x2 x y 2 y1y2 y21 2 21 2( x1 x2)2( y1 y2)2 （ x1 x2） 2 （ y1 y2） 2反思感悟：在平面中设 ( x1， y1)， ( x2， y2)，则 ( x1x2， y1y2)由向量加法的三角形法则知：| | | | ，由向量减法的几何意义知：（ x1 x2） 2 （ y1 y2） 2| | | | .（ x1 x2） 2 （ y1 y2） 22.利用柯西不等式证明： .a2 b28 (a b4 )2 证明 (a b4 )2 (a4 b4)2 ( a2 b2) .(14)2 (14)2 a2
7、b28知识点 2 利用柯西不等式求函数的最值【例 3】 求函数 y5 的最大值.x 1 10 2x解 函数的定义域为 x|1 x5.y5 x 1 25 x 52 2x 1 5 x 26 当且仅当 5 27 3 5 x 2x 14即 x 时取等号，故函数的最大值为 6 .12727 3反思感悟：解题的关键是对函数解析式进行变形，使形式上适合应用柯西不等式，还要注意求出使函数取得最值时的自变量的值.3.已知 x y1，求 2x23 y2的最小值.解 2 x23 y2( x)2( y)2 2 3 (12)2 (13)2 6565(2x12 3y13)2 (x y)2 .65 65课堂小结1.二维形式
8、的柯西不等式(a a )(b b )( a1b1 a2b2)2当且仅当 a1b2 a2b1时等号成立.21 2 21 22.推论：(1)( a b)(c d)( )2；ac bd(2) | a1b1 a2b2|；(3) | a1b1| a2b2|.3.柯西不等式的向量形式| | | |.当且仅当存在实数 0，使 时等号成立.4.二维形式的三角不等式(1) (或 （ a1 b1） 2 （ a2 b2） 2)；（ a1 b1） 2 （ a2 b2） 2(2) （ a1 b1） 2 （ a2 b2） 2 （ b1 c1） 2 （ b2 c2） 2.（ a1 c1） 2 （ a2 c2） 2随堂演练1
9、.写出空间直角坐标系中柯西不等式的代数形式.解 ( a a a )(b b b )21 2 23 21 2 23( a1b1 a2b2 a3b3)2(a1， a2， a3， b1， b2， b3R).当且仅当 时等号成立.a1b1 a2b2 a3b32.写出空间代数形式的三角不等式.5解 有两种形式分别对应定理 3、定理 4.定理 3为 （ a1 b1） 2 （ a2 b2） 2 （ a3 b3） 2定理 4为 （ a1 b1） 2 （ a2 b2） 2 （ a3 b3） 2（ b1 c1） 2 （ b2 c2） 2 （ b3 c3） 2 .（ a1 c1） 2 （ a2 c2） 2 （ a3
10、 c3） 23.已知 a2 b2 c21， x2 y2 z21.求证： ax by cz1.证明 由柯西不等式得：(a2 b2 c2)(x2 y2 z2)( ax by cz)2 a2 b2 c21， x2 y2 z21，| ax by cz|1. ax by cz1.基础达标1.函数 y 的最小值是( )2x 91 2x(x (0， 12)A.20 B.25C.27 D.18解析 y 2 x(12 x)2x 91 2x 2x 91 2x( )2( )22x 1 2x (2x)2 ( 91 2x)2 (23) 225.(2x2x 1 2x 91 2x)2 答案 B2.若 a， bR，且 a2
11、b210，则 a b的取值范围是( )A.2 ，2 B.2 ，2 5 5 10 10C. ， D. ， 10 10 5 5解析 ( a2 b2)12(1) 2( a b)2| a b| 2 ， a b2 ，2 .20 5 5 5答案 A63.已知 4x25 y21，则 2x y的最大值是( )5A. B.12C.3 D.9解析 2 x y2 x1 y15 5 .（ 2x） 2 （ 5y） 2 12 12 1 2 22 x y的最大值为 .5 2答案 A4.设 a、 b、 c是正实数，且 a b c9，则 的最小值是_.2a 2b 2c解析 ( a b c)(2a 2b 2c)( )2( )2(
12、 )2( )2( )2( )2 18.a b c2a 2b 2c (a2a b2b c2c)2 2.2a 2b 2c答案 25.若 a2 b2 c22， x2 y2 z24，则 ax by cz的取值范围是_.解析 ( a2 b2 c2)(x2 y2 z2)( ax by cz)2，( ax by cz)28，2 ax by cz2 .2 2答案 2 ，2 2 26.已知 a2 b21， a， bR，求证：| acos bsin |1.证明 ( acos bsin )2( a2 b2)(cos2 sin 2 )111，| acos bsin |1.综合提高7.已知 x， yR ，且 xy1，则
13、 的最小值为( )(1 1x ) (1 1y )A.4 B.2C.1 D.14解析 (1 ) 2 24.(11x) 1y 12 (1x)2 12 (1y)2 (11 1x1y)2 (1 1xy)2 答案 A8.设 a、 bR ，且 a b， P ， Q a b，则( )a2b b2aA.PQ B.P Q7C.P0， b0， a b0. ( a b)(a2b b2a) （ a b） 2a b又 a b，而等号成立的条件是 ab a ba b即 a b， a b.(a2b b2a)即 PQ.答案 A9.设 a， b， c， d， m， n都是正实数， P ， Q ，则 P与 Q的大ab cd ma
14、 ncbm dn小_.解析 由柯西不等式，得 P ambm ncdn （ am） 2 （ nc） 2 (bm)2 (dn)2 Q.am ncbm dn答案 P Q10.函数 y2 的最大值为_.1 x 2x 1解析 y2 1 1 x 2x 1 22 2x 2x 1 （ 2） 2 12（ 2 2x） 2 （ 2x 1） 2 3.3 3当且仅当 1 取等号.2 2x 2 2x 1即 22 x4 x2， x0 时取等号.答案 311.若 2x3 y1，求 4x29 y2的最小值，并求出最小值点.解 由柯西不等式(4 x29 y2)(121 2)(2 x3 y)21，4 x29 y2 .12当且仅当 2x13 y1，8即 2x3 y时取等号.由 得2x 3y，2x 3y 1.) x 14，y 16.)4 x29 y2的最小值为 ，最小值点为 .12 (14， 16)12.设 a， bR ，若 a b2，求 的最小值.1a 1b解 ( a b)(1a 1b)( )2( )2a b (1a)2 (1b)2 (11) 24.(a1a b1b)2 2 4，(1a 1b)即 2.(1a 1b)当且仅当 ，a1b b 1a即 a b时取等号，当 a b1 时， 的最小值为 2.1a 1b
