1、1第二章 柯西不等式与排序不等式及其应用本章复习课1.认识柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，会用二维、三维柯西不等式进行简单的证明与求最值.2.理解并掌握两个或三个正数的算术平均、几何平均数不等式并会应用它们求一些特定函数的最值.3.了解排序不等式及平均值不等式.知识结构知识梳理1.二维形式的柯西不等式(1)定理 1(二维)：设 a1， a2， b1， b2均为实数，则( a a )(b b )( a1b1 a2b2)2，21 2 21 2上式等号成立 a1b2 a2b1.(2)(二维变式)： | ac bd|.a2 b2 c2 d2(3)定理 2(向量形式)：设 ， 为平面上的两
2、个向量，则| | | |，当 及 为非零向量时，上式中等号成立向量 与 共线( 或平行) 存在实数 0，使得 .(4)定理 3(三角不等式)：设 a1， a2， b1， b2为实数，则 ，（ a1 b1） 2 （ a2 b2） 2等号成立存在非负实数 及 ，使 a 1 b 1， a 2 b 2.(5)三角变式：设 a1， a2， b1， b2， c1， c2为实数，则 （ a1 b1） 2 （ a2 b2） 2 （ b1 c1） 2 （ b2 c2） 2，等号成立存在非负实数 及 使得 (a1 b1)（ a1 c1） 2 （ a2 c2） 22 (b1 c1)且 (a2 b2) (b2 c2)
3、.(6)三角向量式：设 ， ， 为平面向量，则| | | |.2.三维形式的柯西不等式：( a a a )(b b b )( a1b1 a2b2 a3b3)2.21 2 23 21 2 233.柯西不等式的一般形式：设 a1， a2， an， b1， b2， b3， bn为实数，则(a a a ) (b b b ) | a1b1 a2b2 anbn|，其中等号成立21 2 2n1221 2 2n12 .a1b1 a2b2 anbn4.柯西不等式的一般形式的证明：参数配方法.5.排序不等式：设 a1 a2 an， b1 b2 bn为两组实数， c1， c2， cn为b1， b2， bn的任一排列
4、，则有：a1bn a2bn1 anb1 a1c1 a2c2 ancn a1b1 a2b2 anbn等号成立(反序和等于顺序和) a1 a2 an或 b1 b2 bn.排序原理可简记作：反序和 乱序和顺序和.6.平均值不等式(1)定理 1：设 a1， a2， an为 n 个正数，则 ，等号成立a1 a2 ann na1a2ana1 a2 an.(2)推论 1：设 a1， a2， an为 n 个正数，且 a1a2an1，则 a1 a2 an n，且等号成立 a1 a2 an1.(3)推论 2：设 C 为常数，且 a1， a2， an为 n 个正数，当 a1 a2 an nC 时，则a1a2an C
5、n，且等号成立 a1 a2 an.(4)定理 2：设 a1， a2， an为 n 个正数，则 ，等号成立na1a2ann1a1 1a2 1ana1 a2 an.典例剖析知识点 1 利用柯西不等式证明不等式【例 1】 设 a， b， c， d 为正数，且不全相等，求证： 2a b 2b c 2c d 2d a.16a b c d证明 构造两组数 ， ， ， ，与 ， ， ， ，a b b c c d d a1a b 1b c 1c d 1d a3则由柯西不等式得：(a b b c c d d a)(1a b 1b c 1c d 1d a)(1111) 2.即 2(a b c d) 16，(1a
6、b 1b c 1c d 1d a)于是 ，2a b 2b c 2c d 2d a 16a b c d等号成立 a b1a bb c1b cc d1c dd a1d aa b b c c d d aa b c d.因题设 a， b， c， d 不全相等，故 .2a b 2b c 2c d 2d a 16a b c d知识点 2 利用柯西不等式求最值【例 2】 已知 x y z1，求 的最大值.3x 1 3y 2 3z 3解 由柯西不等式，得( 1 1 1)3x 1 3y 2 3z 3 3x 1 3y 2 3z 3 12 12 12 3 .3（ x y z） 6 3 27 3等号成立 ，3x 11
7、 3y 21 3z 31即 3x13 y23 z3设 3x1 k，则 x ， y ， z .k 13 k 23 k 33代入 x y z1，得 k3. x ， y ， z0 时取等号.23 13知识点 3 利用排序不等式证明不等式【例 3】 设 a， b， c 为正数，求证：2 .(a2b c b2c a c2a b) b2 c2b c c2 a2c a a2 b2a b证明 由对称性，不妨设 a b c0，于是 a b a c b c，4故 a2 b2 c2， ，1b c 1c a 1a b由排序不等式得： a2b c b2c a c2a b c2b c a2c a b2a b a2b c
8、b2c a c2a b b2b c c2c a a2a b以上两式相加得：2 (a2b c b2c a c2a b) .b2 c2b c c2 a2c a a2 b2a b知识点 4 平均值不等式的实际应用【例 4】 在半径为 R 的球的所有外切圆锥中求全面积最小的一个.解 设 x 为圆锥底面半径， S 为它的全面积，则S x2 xAC x2 x(x CD)由 Rt CAERt COD 得 CDR CEx AC2 AE2x .（ CD x） 2 x2x解得 CD .2R2xx2 R2于是 S x .(x x2R2xx2 R2) 2 x4x2 R2因为 S 和 同时取得最小值，所以考虑 的最小值
9、问题.S2 S2 S2 x4x2 R2 x4 R4 R4x2 R2 x2 R2 ( x2 R2) 2 R2R4x2 R2 R4x2 R22 2 R24 R2.于是 S8 R2，R4等号成立 x2 R2 x R.R4x2 R2 2所以圆锥的最小全面积为 8 R2.基础达标1.已知 2x3 y4 z10，则 x2 y2取到最小值时的 x， y， z 的值为( ) 5A. ， ， B. ， ，53 109 56 2029 3029 4029C.1， ， D.1， ，12 13 14 19解析 当且仅当 时， x2 y2 z2取到最小值，所以联立 可得x2 y3 z4 x2 y3 z4，2x 3y 4
10、z 10， )x ， y ， z .2029 3029 4029答案 B2.设 x1， x2， xn，取不同的正整数，则 m 的最小值是( )x112 x222 xnn2A.1 B.2C.1 D.1 12 13 1n 122 132 1n2解析 x1， x2， xn是 n 个不同的正整数，所以 1，2，3， n 就是最小的一组，m 1 (前边是乱序和，后面是反序和).x112 x222 xnn2 12 13 1n答案 C3.一批救灾物资随 26 辆汽车从 A 市以 v km/h 匀速直达灾区，已知两地公路长 400 km，为安全起见，两车间距不得小于 km，那么这批物资全部到灾区，至少需要 _
11、h.( )(v20)2 A.5 B.10 C.15 D.20解析 依题意，所用时间为 v 10，当且仅当 v80 时取等号.25(v20)2 400v 25400 400v答案 B4.已知 x2 y3 z1，则 x2 y2 z2的最小值为_.解析 ( x2 y2 z2)(122 23 2)( x2 y3 z)21. x2 y2 z2 .114当且仅当 ，即 x ， y ， z 时，x1 y2 z3 114 17 314x2 y2 z2取最小值 .114答案 1145.设 a， b， cR ，且 a b c1，则 的最大值是_.a b c解析 3( a b c)(111)( a b c)( )2
12、.a b c6所以 .a b c 3（ a b c） 3答案 36.已知正数 a， b， c 满足 a b c1，证明： a3 b3 c3 .a2 b2 c23证明 利用柯西不等式(a2 b2 c2)2 (a32a12 b32b12 c32c12)2 ( a )2( b )2( c )2a b c32 32 32( a3 b3 c3)(a b c)2 ( a b c1)又因为 a2 b2 c2 ab bc ca，在此不等式两边同乘以 2，再加上 a2 b2 c2得：( a b c)23( a2 b2 c2)( a2 b2 c2)2( a3 b3 c3)3(a2 b2 c2)故 a3 b3 c3
13、 .a2 b2 c23综合提高7.已知 3x22 y21，则 3x2 y 的取值范围是( )A.0， B. ，05 5C. ， D.5，55 5解析 |3 x2 y| .（ 3x） 2 （ 2y） 2 （ 3） 2 （ 2） 2 5所以 3 x2 y .5 5答案 C8.已知 x， y， zR ，且 1，则 x 的最小值是( )1x 2y 3z y2 z3A.5 B.6C.8 D.9解析 x y2 z3 (1x 2y 3z)(x y2 z3) (1xx 2yy23zz3)2 79.答案 D9.函数 y2 的最大值是_.2 x 2x 3解析 y 12 4 2x 2x 3 .（ 2） 2 12（
14、4 2x 2x 3） 3答案 310.设 x1， x2， xn取不同的正整数，则 m 的最小值是_.x112 x222 xnn2解析 设 a1， a2， an是 x1， x2， xn的一个排列，且满足 a1 ，122132 1n2所以 x11 x222 x332 xnn2 a1 a222 a332 ann2112 3 n122 132 1n21 .12 13 1n答案 1 12 13 1n11.求椭圆 1 ( ab0)的内接矩形的最大面积，并求此时矩形的边长.x2a2 y2b2解 方法一：设第一象限顶点坐标( x， y). S 与 S2同时取得最大值.又 y2 (a2 x2)，b2a2 S21
15、6 x2y216 x2 (a2 x2)b2a2 x2(a2 x2) 4 a2b2.16b2a2 16b2a2x2 （ a2 x2）2 2 Smax2 ab.此时有 x2 a2 x2，即 x a 时，内接矩形面积最大，22此时，矩形的边长分别为 a， b.2 28方法二： S4 xy4 ab 4 ab 2 ab.xa yb x2a2 y2b22等号当且仅当 ，xa yb即 ，xa ba2 x2ab即 x a， y b 时成立.22 22当矩形的边长分别为 a， b 时，2 2内接矩形面积最大为 S2 ab.12.某自来水厂要制作容积为 500 m3的无盖长方体水箱，现有三种不同规格的长方形金属制
16、箱材料(单位：m)：1919；3010；2512.请你选择其中的一种规格材料，并设计出相应的制作方案.要求：用料最省；简便易行.解 设无盖长方体水箱的长、宽、高分别为 a m， b m， c m.由题意，可得 abc500.长方体水箱的表面积为 S2 bc2 ac ab.由均值不等式，知 S2 bc2 ac ab3 3 300.32bc2acab 345002当且仅当 2bc2 ca ab，即 a b10， c5 时，S2 bc2 ca ab300 为最小，这表明将无盖长方体水箱的尺寸设计为 10105 时，其用料最省.如何选择材料并设计制作方案？就要研究三种供选择的材料，哪一种更易制作成无盖长方体水箱的平面展开图.逆向思维：先将无盖长方体水箱展开成平面图如图(1)所示，进一步剪拼成如图(2)所示的长 30 m，宽 10 m(长宽31)的长方形.因此，应选择规格为 3010 的制作材料，制作方案如图(3).
