1、1习题课 圆周运动学习目标 1.熟 练 掌 握 圆 周 运 动 各 物 理 量 的 关 系 以 及 向 心 力 、 向 心 加 速 度 的 公 式 .2.会 分析 圆 周 运 动 所 需 向 心 力 来 源 .3.会 分 析 圆 锥 摆 在 水 平 面 内 的 圆 周 运 动 .4.会 分 析 汽 车 过 拱(凹 )形 桥 问 题 一、描述圆周运动的各物理量间的关系例 1 如图 1 所示，光滑的水平面上固定着一个半径逐渐减小的螺旋形光滑水平轨道，一个小球以一定速度沿轨道切线方向进入轨道，下列物理量中数值将减小的是( )图 1A周期 B线速度C角速度 D向心加速度答案 A解析 轨道对小球的支持力
2、与速度方向垂直，轨道的支持力只改变速度的方向不改变速度的大小，即小球的线速度大小不变，故 B 错误；根据 v R ，线速度大小不变，转动半径减小，故角速度变大，故 C 错误；根据 T ，角速度增大，故周期减小，故 A 正确；根据2a ，转动半径减小，故向心加速度增大，故 D 错误v2R21线速度 v、角速度 以及周期 T 之间的关系： v R .2 RT2角速度 与转速 n 的关系： 2 n(注： n 的单位为 r/s)这些关系不仅在物体做匀速圆周运动中适用，在变速圆周运动中也适用，此时关系中各量是瞬时对应的二、分析圆周运动问题的基本方法例 2 如图 2 所示，两根长度相同的轻绳(图中未画出)
3、，连接着相同的两个小球，让它们穿过光滑的杆在水平面内做匀速圆周运动，其中 O 为圆心，两段细绳在同一直线上，此时，两段绳子受到的拉力之比为多少？图 2答案 32解析 对两小球受力分析如图所示，设每段绳子长为 l，对球 2 有 F22 ml 2对球 1 有： F1 F2 ml 2由以上两式得： F13 ml 2由牛顿第三定律得， .F1F2 32分析圆周运动问题的基本方法：(1)首先要明确物体做圆周运动的轨道平面、圆心和半径(2)其次，准确受力分析，弄清向心力的来源，不能漏力或添力(向心力)(3)然后，由牛顿第二定律 F ma 列方程，其中 F 是指向圆心方向的合外力， a 是向心加速度针对训练
4、 1 (多选)如图 3 所示，在粗糙水平板上放一个物块，使水平板和物块一起在竖直平面内沿逆时针方向做匀速圆周运动， ab 为水平直径， cd 为竖直直径，在运动中木板始终保持水平，物块相对于木板始终静止，则( )3图 3A物块始终受到三个力作用B物块受到的合外力始终指向圆心C在 c、 d 两个位置，支持力 N 有最大值，摩擦力 f 为零D在 a、 b 两个位置摩擦力提供向心力，支持力 N mg答案 BD解析 物块在竖直平面内做匀速圆周运动，受到的重力与支持力在竖直方向上， c、 d 两点的向心力可以由重力和支持力的合力提供，其他时候要受到摩擦力的作用，故 A 错误；物块在竖直平面内做匀速圆周运
5、动，匀速圆周运动的向心力指向圆心，故 B 正确设物块做匀速圆周运动的线速度为 v，物块在 c、 d 两位置摩擦力 f 为零，在 c 点有Nc mg ，在 d 点有 Nd mg ，故在 d 位置 N 有最大值，C 错误mv2R mv2R在 b 位置受力如图，因物块做匀速圆周运动，故只有向心加速度，所以有 N mg， f .mv2R同理 a 位置也如此，故 D 正确三、水平面内的常见圆周运动模型例 3 如图 4 所示，已知绳长为 L20 cm，水平杆长为 L0.1 m，小球质量 m0.3 kg，整个装置可绕竖直轴转动( g 取 10 m/s2)问：(结果均保留三位有效数字)图 4(1)要使绳子与竖
6、直方向成 45角，试求该装置必须以多大的角速度转动才行？(2)此时绳子的张力多大？答案 (1)6.44 rad/s (2)4.24 N解析 小球绕竖直轴做圆周运动，其轨道平面在水平面内，轨道半径 r L Lsin 45.对小球受力分析，设绳对小球拉力为 T，小球重力为 mg，则绳的拉力与重力的合力提供小球做圆周运动的向心力4对小球利用牛顿第二定律可得：mgtan 45 m 2rr L Lsin 45联立两式，将数值代入可得 6.44 rad/sT 4.24 N.mgcos 451模型特点：(1)运动平面是水平面(2)合外力提供向心力，且沿水平方向指向圆心2常见装置：运动模型 飞机在水平面内做圆
7、周运动 火车转弯 圆锥摆向心力的来源图示运动模型 飞车走壁 汽车在水平路面转弯 水平转台向心力的来源图示四、汽车过桥问题例 4 如图 5 所示，质量 m2.010 4 kg 的汽车以不变的速率先后驶过凹形桥面和凸形桥面，两桥面的圆弧半径均为 20 m如果桥面承受的压力不得超过 3.0105 N， g 取 10 m/s2，则：图 5(1)汽车允许的最大速度是多少？(2)若以(1)中所求速度行驶，汽车对桥面的最小压力是多少？答案 (1)10 m/s (2)1.010 5 N解析 (1)汽车在凹形桥最低点时存在最大允许速度，由牛顿第二定律得： N mg m ，由v2R题意知 N3.010 5 N，代
8、入数据解得 v10 m/s.5(2)汽车在凸形桥最高点时对桥面有最小压力，由牛顿第二定律得： mg N1 ，mv2R代入数据解得 N11.010 5 N.由牛顿第三定律知，汽车对桥面的最小压力等于 1.0105 N.1.汽车过拱形桥(如图 6)图 6汽车在最高点满足关系： mg N m ，即 N mg m .v2R v2R(1)当 v 时， N0.gR(2)当 0 v 时，汽车将脱离桥面做平抛运动，发生危险gR2.汽车过凹形桥(如图 7)图 7汽车在最低点满足关系： N mg ，即 N mg .mv2R mv2R由此可知，汽车对桥面的压力大于其自身重力，故凹形桥易被压垮，因而实际中拱形桥多于凹
9、形桥针对训练 2 在较大的平直木板上相隔一定距离钉几个钉子，将三合板弯曲成拱桥形卡入钉子内形成拱形桥，三合板上表面事先铺上一层牛仔布以增大摩擦，这样玩具惯性车就可以在桥面上跑起来了把这套系统放在电子秤上做实验，如图 8 所示，关于实验中电子秤的示数下列说法正确的是( )图 8A玩具车静止在拱形桥顶端时的示数小一些B玩具车运动通过拱形桥顶端时的示数大一些6C玩具车运动通过拱形桥顶端时处于超重状态D玩具车运动通过拱形桥顶端时速度越大(未离开拱桥)，示数越小答案 D解析 玩具车运动到最高点时，受向下的重力和向上的支持力作用，根据牛顿第二定律有mg N m ，即 N mg m vBB周期 TAfB答案
10、 A解析 由题意可知， A、 B 两物体的角速度相同，由 v R 知，线速度与半径成正比， A 的半径大，则其线速度大，故选项 A 正确；由 T 可知周期相同，故选项 B 错误；圆筒对2物体的支持力提供物体随筒一起匀速转动的向心力，因此支持力 N F m 2R，由于角速度相同， A 的半径大，则其所受支持力大，故选项 C 错误；由于物体所受摩擦力为静摩擦力，大小等于物体自身重力，故选项 D 错误7在光滑的圆锥漏斗的内壁，两个质量相同的小球 A 和 B，分别紧贴着漏斗在水平面内做匀速圆周运动，其中小球 A 的位置在小球 B 的上方，如图 6 所示下列判断正确的是( )图 6A A 球的速率小于
11、B 球的速率B A 球的角速度大于 B 球的角速度C A 球对漏斗壁的压力大于 B 球对漏斗壁的压力D A 球的转动周期大于 B 球的转动周期答案 D解析 先对 A、 B 两球进行受力分析，两球均只受重力和漏斗给的支持力如图所示，12对 A 球据牛顿第二定律：NAsin mgNAcos m m A2rAvA2rA对 B 球据牛顿第二定律：NBsin mgNBcos m m B2rBvB2rB由两球质量相等可得 NA NB，C 项错误由可知，两球所受向心力相等，m m ，因为 rArB，所以 vAvB，A 项错误vA2rA vB2rBm A2rA m B2rB，因为 rArB，所以 ATB，D
12、项正确2T考点三 汽车过桥的问题8如图 7 所示，汽车厢顶部悬挂一个轻质弹簧，弹簧下端拴一个质量为 m 的小球当汽车以某一速率在水平地面上匀速行驶时，弹簧长度为 L1，当汽车以相同的速率匀速通过一个桥面为圆弧形的凸形桥的最高点时，弹簧长度为 L2，下列选项中正确的是( )图 7A L1 L2B L1L2C L1L2D前三种情况均有可能答案 B【考点】竖直面内的圆周运动分析【题点】汽车过桥问题9(多选)一个质量为 m 的物体(体积可忽略)，在半径为 R 的光滑半球顶点处以水平速度 v0运动，如图 8 所示，则下列说法正确的是( )图 813A若 v0 ，则物体对半球顶点无压力gRB若 v0 ，则
13、物体对半球顶点的压力为 mg12gR 12C若 v00，则物体对半球顶点的压力为 mgD若 v00，则物体对半球顶点的压力为零答案 AC解析 设物体受到的支持力为 N，若 v0 ，则 mg N m ，得 N0，则由牛顿第三定gRv02R律知物体对半球顶点无压力，A 正确若 v0 ，则 mg N m ，得 N mg，则物体对12gR v02R 34半球顶点的压力为 mg，B 错误若 v00，根据牛顿第二定律 mg N m 0，得34 v02RN mg，由牛顿第三定律知物体对半球顶点的压力为 mg，C 正确，D 错误【考点】向心力公式的简单应用【题点】竖直面内圆周运动中的动力学问题10.一辆卡车在
14、丘陵地带匀速率行驶，地形如图 9 所示，由于轮胎太旧，途中爆胎，爆胎可能性最大的地段应是( )图 9A a 处 B b 处C c 处 D d 处答案 D解析 卡车在 a、 c 处有竖直向下的向心加速度，处于失重状态，轮胎受到的压力比车重小，卡车在 b、 d 处有竖直向上的向心加速度，处于超重状态，轮胎受到的压力比车重大，选项A、C 错误；卡车在 b、 d 处有 N mg m ，得 N mg m ，由于在 d 处做圆周运动的半径v2R v2RR 较小，所以在 d 处受到的支持力 N 较大，爆胎的可能性最大，选项 D 正确，B 错误二、非选择题11(汽车过桥问题)如图 10 所示，一辆质量为 4
15、t 的汽车匀速经过一半径为 50 m 的凸形桥( g10 m/s 2)图 10(1)汽车若能安全驶过此桥，它的速度范围为多少？(2)若汽车经最高点时对桥的压力等于它重力的一半，求此时汽车的速度多大？14答案 (1) v22.4 m/s (2)15.8 m/s解析 (1)汽车经最高点时受到桥面对它的支持力 N，设汽车的行驶速度为 v.则 mg N mv2R当 N0 时， v gR此时汽车从最高点开始离开桥面做平抛运动，汽车不再安全，故汽车过桥的安全速度v m/s22.4 m/s.gR 1050(2)设 汽 车 对 桥 的 压 力 为 mg 时 汽 车 的 速 度 为 v ， 由 牛 顿 第 三
16、定 律 知 桥 对 汽 车 的 支 持 力12为 mg，则12mg mg m12 v 2Rv 15.8 m/s.gR212(水平面内的圆周运动)如图 11 所示，半径为 R 的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心 O 的对称轴 OO重合转台以一定角速度 匀速旋转，一质量为 m 的小物块落入陶罐内，经过一段时间，小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，它和 O 点的连线与 OO之间的夹角 为 60.重力加速度大小为 g.图 11(1)若 0，小物块受到的静摩擦力恰好为零，求 0；(2)若 (1 k) 0，且 0k1，求小物块受到的摩擦力的大小和方向答案 (1) (2)
17、见解析2gR解析 (1)小物块在水平面内做匀速圆周运动，当小物块受到的摩擦力恰好等于零时，小物块所受的重力和陶罐的支持力的合力提供其做圆周运动的向心力，有 mgtan m 02Rsin 代入数据得 02gR(2)当 (1 k) 0时，小物块受到的摩擦力沿陶罐壁切线向下，设摩擦力的大小为 f，陶罐壁对小物块的支持力为 N，沿水平方向和竖直方向建立坐标系，则水平方向Nsin fcos m 2Rsin 15竖直方向 Ncos fsin mg0代入数据解得 f mg，3k2 k2方向沿陶罐切线向下同理，当 (1 k) 0时，小物块受到的摩擦力沿陶罐壁切线向上，则水平方向： Nsin fcos m 2Rsin 竖直方向： Ncos fsin mg0代入数据解得 f mg，方向沿陶罐壁切线向上3k2 k2
