1、1模块综合试卷(时间：120 分钟，满分：150 分)一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分)1(2016四川)设 i 为虚数单位，则( xi) 6的展开式中含 x4的项为( )A15 x4 B15 x4C20i x4 D20i x4考点 二项展开式中的特定项问题题点 求二项展开式的特定项答案 A解析 由题意可知，含 x4的项为 C x4i215 x4.262已知集合 A5， B1,2， C1,3,4，若从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为( )A36 B35 C34 D33考点 分步乘法计数原理题点 分步乘法计数原理的应用答案
2、 D解析 不考虑限定条件确定的不同点的个数为 C C A 36，12133但集合 B， C 中有相同元素 1，由 5,1,1 三个数确定的不同点的个数只有三个，故所求的个数为 36333.3抛掷一枚质地均匀的硬币两次，在第一次正面向上的条件下，第二次反面向上的概率为( )A. B. C. D.14 13 12 23考点 条件概率的定义及计算公式2题点 直接利用公式求条件概率答案 C解析 记事件 A 表示“第一次正面向上” ，事件 B 表示“第二次反面向上” ，则 P(AB) ， P(A) ， P(B|A) .14 12 PABPA 124已知随机变量 服从正态分布 N(1， 2)，且 P( 2
3、)0.6，则 P(0 1)等于( )A0.4 B0.3 C0.2 D0.1考点 正态分布的概念及性质题点 求正态分布的均值或方差答案 D解析 由已知可得曲线关于直线 x1 对称， P( 2)0.6，所以 P( 2) P( 0)0.4，故 P(0 1) P(0 2) (10.40.4)0.1.12 125给出以下四个说法：绘制频率分布直方图时，各小长方形的面积等于相应各组的组距；在刻画回归模型的拟合效果时， R2的值越大，说明拟合的效果越好；设随机变量 服从正态分布 N(4,22)，则 P( 4) ；12对分类变量 X 与 Y，若它们的随机变量 K2的观测值 k 越小，则判断“ X 与 Y 有关
4、系”的犯错误的概率越小其中正确的说法是( )A B C D考点 独立性检验思想的应用题点 独立性检验与线性回归方程、均值的综合应用答案 B解析 中各小长方形的面积等于相应各组的频率；正确，相关指数 R2越大，拟合效果越好， R2越小，拟合效果越差；随机变量 服从正态分布 N(4,22)，正态曲线对称轴为x4，所以 P( 4) ；对分类变量 X 与 Y，若它们的随机变量 K2的观测值 k 越小，则12说明“ X 与 Y 有关系”的犯错误的概率越大6设某地区历史上从某次特大洪水发生以后，在 30 年内发生特大洪水的概率是 0.8，在 40年内发生特大洪水的概率是 0.85.在过去的 30 年内该地
5、区都未发生特大洪水，则在未来 10年内该地区发生特大洪水的概率是( )A0.25 B0.3 C0.35 D0.4考点 互斥、对立、独立重复试验的概率问题3题点 互斥事件、对立事件、独立事件的概率问题答案 A解析 设在未来 10 年内该地区发生特大洪水的概率是 P，根据条件可得，0.81(10.8)P0.85，解得 P0.25.7某机构对儿童记忆能力 x 和识图能力 y 进行统计分析，得到如下数据：记忆能力 x 4 6 8 10识图能力 y 3 5 6 8由表中数据，求得线性回归方程为 0.8 x ，若某儿童记忆能力为 12，则预测他的识图y a 能力约为( )A9.5 B9.8 C9.2 D1
6、0考点 线性回归分析题点 线性回归方程的应用答案 A解析 (46810)7， (3568)5.5，样本点的中心为(7,5.5)，x14 y 14代入回归方程得 5.50.87 ， 0.1，a a 0.8 x0.1，y 当 x12 时， 0.8120.19.5，故选 A.y 8甲、乙、丙 3 位志愿者安排在周一至周五 5 天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面，则不同的安排方法共有( )A40 种 B30 种 C20 种 D60 种考点 排列的应用题点 排列的简单应用答案 C解析 分类解决甲排周一，乙，丙只能是周二至周五 4 天中选两天进行安排，有
7、A 12(种)方法；甲排周二，乙，丙只能是周三至周五选两天安排，有 A 6(种)方法；甲24 23排周三，乙丙只能安排在周四和周五，有 A 2(种)方法由分类加法计数原理可知，共有2126220(种)方法9如图所示， A， B， C 表示 3 种开关，若在某段时间内它们正常工作的概率分别为0.9,0.8,0.7，那么此系统的可靠性为( )4A0.504 B0.994C0.496 D0.06考点 互斥、对立、独立重复试验的概率问题题点 互斥事件、对立事件、独立事件的概率问题答案 B解析 1 P( )1 P( )P( )P( )ABC A B C10.10.20.310.0060.994.10已知
8、 5的展开式中含32x的项的系数为 30，则 a 等于( )(x ax)A. B C6 D63 3考点 二项展开式中的特定项问题题点 由特定项或特定项的系数求参数答案 D解析 5的展开式通项 Tk1 C52kx(1) kak 2x(1) kakC52x，(x ax) k5 k5令 k ，则 k1，52 32 T2 aC x， aC 30， a6，故选 D.15 1511假设每一架飞机的引擎在飞行中出现故障的概率为 1 p，且各引擎是否有故障是独立的，已知 4 引擎飞机中至少有 3 个引擎正常运行，飞机就可成功飞行；2 引擎飞机要 2 个引擎全部正常运行，飞机才可以成功飞行要使 4 引擎飞机更安
9、全，则 p 的取值范围是( )A. B.(23， 1) (13， 1)C. D.(0，23) (0， 13)考点 独立重复试验的计算题点 用独立重复试验的概率公式求概率答案 B解析 4 引擎飞机成功飞行的概率为 C p3(1 p) p4,2 引擎飞机成功飞行的概率为 p2，要使34C p3(1 p) p4 p2，必有 p1.341312若在二项式 n的展开式中前三项的系数成等差数列，则把展开式中所有的项重(x 124x)5新排成一列，有理项都互不相邻的概率为( )A. B. C. D.16 14 13 512考点 排列与组合的应用题点 排列、组合在古典概型中的应用答案 D解析 注意到二项式 n
10、的展开式的通项是 Tk1 C ( )n k kC 2 k(x 124x) kn x (124x) kn234nkx.依题意有 C C 22 2C 21 n，即 n29 n80，( n1)( n8)0( n2)，0n 2n 1n解得 n8.二项式 8的展开式的通项是 Tk1 C 2 k34kx，展开式中的有理(x 124x) k8项共有 3 项，所求的概率为 .A6A37A9 512二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)13任意选择四个日期，设 X 表示取到的四个日期中星期天的个数，则 E(X)_， D(X)_.考点 二项分布、两点分布的均值题点 二项分布的均值答案 47
11、 2449解析 由题意得， X B ，所以 E(X) ， D(X) .(4，17) 47 244914围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出 2 粒都是黑子的概率为 ，都是白子的概17率是 .则从中任意取出 2 粒恰好是同一色的概率是_1235考点 排列与组合的应用题点 排列、组合在古典概型中的应用答案 1735解析 设“从中取出 2 粒都是黑子”为事件 A， “从中取出 2 粒都是白子”为事件 B， “任意取出 2 粒恰好是同一色”为事件 C，则 C A B，且事件 A 与 B 互斥所以 P(C) P(A) P(B) .即任意取出 2 粒恰好是同一色的概率为 .17 1235 1735 1
12、73515某数学老师身高为 176 cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是 173 cm,170 cm 和 182 cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为_ cm.6考点 线性回归分析题点 线性回归方程的应用答案 183.5解析 记从爷爷起向下各代依次为 1,2,3,4,5 用变量 x 表示，其中 5 代表孙子各代人的身高为变量 y，则有x 1 2 3 4y 173 170 176 182计算知 2.5， 175.25.由回归系数公式得 3.3，x y b 175.253.32.5167，线性回归方程为 3.3 x167，当 x5 时，a y b x y
13、 y3.35167183.5，故预测其孙子的身高为 183.5 cm.16某城市新修建的一条道路上有 12 盏路灯，为了节省用电而又不能影响正常的照明，可以熄灭其中的 3 盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，则熄灯的方法有_种(填数字)考点 组合的应用题点 有限制条件的组合问题答案 56解析 分析题意可知，最终剩余的亮着的灯共有 9 盏，且两端的必须亮着，所以可用插空的方法，共有 8 个空可选，所以应为 C 56(种)38三、简答题(本大题共 6 小题，共 70 分)17(10 分)已知( a21) n展开式中的各项系数之和等于 5的展开式的常数项，而(165x2 1x)(a21
14、) n的展开式的系数最大的项等于 54，求 a 的值考点 二项式定理的应用题点 二项式定理的简单应用解 5的展开式的通项为 Tk1 C 5 k k 5 kC205kx，(165x2 1x) k5(165x2) (1x) (165) k5令 205 k0，得 k4，故常数项 T5C 16.45165又( a21) n展开式的各项系数之和等于 2n，由题意知 2n16，得 n4，由二项式系数的性质知，( a21) n展开式中系数最大的项是中间项 T3，故有 C a454，解得 a .24 3718(12 分)从 7 名男生和 5 名女生中选出 5 人，分别求符合下列条件的选法数(1)A， B 必须
15、被选出；(2)至少有 2 名女生被选出；(3)让选出的 5 人分别担任体育委员、文娱委员等 5 种不同职务，但体育委员由男生担任，文娱委员由女生担任考点 排列与组合的应用题点 排列组合的综合应用解 (1)除选出 A， B 外，从其他 10 个人中再选 3 人，选法数为 C 120.310(2)按女生的选取情况分类：选 2 名女生、3 名男生，选 3 名女生、2 名男生，选 4 名女生、1 名男生，选 5 名女生所有选法数为 C C C C C C C 596.2537 3527 4517 5(3)选出 1 名男生担任体育委员，再选出 1 名女生担任文娱委员，从剩下的 10 人中任选 3 人担任
16、其他 3 种职务根据分步乘法计数原理，所有选法数为 C C A 25 200.17 15 31019(12 分)近年来，随着以煤炭为主的能源消耗大幅攀升、机动车持有量急剧增加，某市空气中的 PM2.5(直径小于等于 2.5 微米的颗粒物)的含量呈逐年上升的趋势，如图是根据该市环保部门提供的 2011 年至 2015 年该市 PM2.5 年均浓度值画成的散点图(为便于计算，把 2011 年编号为 1,2012 年编号为 2，2015 年编号为 5)(1)以 PM2.5 年均浓度值为因变量，年份的编号为自变量，利用散点图提供的数据，用最小二乘法求出该市 PM2.5 年均浓度值与年份编号之间的线性回
17、归方程 x ；y b a (2)按世界卫生组织(WHO)过渡期1 的标准，空气中的 PM2.5 的年均浓度限值为 35 微克/立方米，该市若不采取措施，试预测到哪一年该市空气中 PM2.5 的年均浓度值将超过世界卫生组织(WHO)过渡期1 设定的限制参考公式： ， .b ni 1xi xyi yni 1xi x2 a y b x考点 线性回归分析题点 线性回归方程的应用8解 (1)由散点图可得，变量 xi， yi组成的几组数据为(1,13)，(2,15)，(3,20)，(4,22)，(5,25)，则 3， 19，x y所以 3.1.b 2 6 1 4 01 13 26 22 12 02 12
18、22 193.139.7.a y b x所以所求线性回归方程为 3.1 x9.7.y (2)由 3.1x9.735，得 x8.16，因为 xN，所以 x9.故可预测到 2019 年该市空气中 PM2.5 的年均浓度值将超过世界卫生组织(WHO)过渡期1 设定的限值20(12 分)将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落小球在下落过程中，将 3 次遇到黑色障碍物，最后落入 A 袋或 B 袋中已知小球每次遇到黑色障碍物时向左、右两边下落的概率都是 .12(1)求小球落入 A 袋中的概率 P(A)；(2)在容器入口处依次放入 4 个小球，记 为落入 A 袋中小球的个数，试
19、求 3 的概率与 的均值 E( )考点 常见的几种均值题点 二项分布的均值解 (1)方法一 记小球落入 B 袋中的概率为 P(B)，则 P(A) P(B) 1.由于小球每次遇到黑色障碍物时一直向左或者一直向右下落，小球将落入 B 袋， P(B) 3 3 ，(12) (12) 14 P(A)1 .14 34方法二 由于小球每次遇到黑色障碍物时，有一次向左和两次向右或两次向左和一次向右下9落时小球将落入 A 袋， P(A)C 3C 3 .13(12) 23(12) 34(2)由题意， B ，(4，34) P( 3)C 3 1 ，34(34)(14) 2764 E( )4 3.3421(12 分)“
20、中国式过马路”存在很大的交通安全隐患某调查机构为了解路人对“中国式过马路”的态度是否与性别有关，从马路旁随机抽取 30 名路人进行了问卷调查，得到了如下列联表：男性 女性 总计反感 10不反感 8总计 30已知在这 30 人中随机抽取 1 人抽到反感“中国式过马路”的路人的概率是 .815(1)请将上面的列联表补充完整(直接写结果，不需要写求解过程)，并据此资料分析反感“中国式过马路”与性别是否有关？(2)若从这 30 人中的女性路人中随机抽取 2 人参加一活动，记反感“中国式过马路”的人数为 X，求 X 的分布列和均值附： K2 .nad bc2a bc da cb dP(K2 k0) 0.
21、10 0.05 0.010 0.005k0 2.706 3.841 6.635 7.879考点 独立性检验思想的应用题点 独立性检验与线性回归方程、均值的综合应用解 (1)男性 女性 总计反感 10 6 16不反感 6 8 14总计 16 14 3010由已知数据得 K2的观测值 k 1.1582.706.30108 66216141614所以，没有充足的理由认为反感“中国式过马路”与性别有关(2)X 的可能取值为 0,1,2，P(X0) ，C28C214 413P(X1) ，C16C18C214 4891P(X2) .C26C214 1591所以 X 的分布列为X 0 1 2P 413 48
22、91 1591X 的均值为 E(X)0 1 2 .413 4891 1591 6722(12 分)设袋子中装有 a 个红球、 b 个黄球、 c 个蓝球，且规定：取出 1 个红球得 1 分，取出 1 个黄球得 2 分，取出 1 个蓝球得 3 分(1)当 a3， b2， c1 时，从该袋子中依次任取(有放回，且每个球取到的机会均等)2 个球，记随机变量 为取出此 2 球所得分数之和，求 的分布列；(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1 个球，记随机变量 为取出此球所得分数若E( ) ， D( ) ，求 a b c.53 59考点 均值与方差的应用题点 均值与方差的综合应用解 (1)根据题意，
23、得 的所有可能取值为 2,3,4,5,6.故 P( 2) ， P( 3) ，3366 14 23266 13P( 4) ，231 2266 518P( 5) ，22166 19P( 6) .1166 136所以 的分布列为 2 3 4 5 611P 14 13 518 19 136(2)根据题意，知 的分布列为 1 2 3P aa b c ba b c ca b c所以 E( ) ，aa b c 2ba b c 3ca b c 53D( ) 2 2 2 ，(153) aa b c (2 53) ba b c (3 53) ca b c 59化简Error!解得 a3 c， b2 c，故 a b c321.
