1、13.三个正数的算术-几何平均不等式课后篇巩固探究A组1.若 a0,则 2a+ 的最小值为( )12A.2 B.3 C.1 D.32 32解析 2a+ =a+a+ 3 =3,当且仅当 a= ,即 a=1时,2 a+ 取最小值 3.12 12 312 12 12答案 D2.设 x,y,zR +,且 x+y+z=6,则 lg x+lg y+lg z的取值范围是( )A.(- ,lg 6 B.(- ,3lg 2C.lg 6,+ ) D.3lg 2,+ )解析 因为 x,y,zR +,所以 6=x+y+z3 ,即 xyz8,所以 lg x+lg y+lg z=lg xyzlg 8 =3lg 32(当且
2、仅当 x=y=z=2时,等号成立) .答案 B3.已知 x+2y+3z=6,则 2x+4y+8z的最小值为( )A.3 B.2 C.12 D.1236 2 352解析 因为 2x0,4y0,8z0,所以 2x+4y+8z=2x+22y+23z3 =3 =34=12.322223 32+2+3当且仅当 2x=22y=23z,即 x=2y=3z,即 x=2,y=1,z= 时,等号成立 .23答案 C4.若 a,b,c为正数,且 a+b+c=1,则 的最小值为( )1+1+1A.9 B.8 C.3 D.13解析 a 0,b0,c0,且 a+b+c=1,1+1+1=+ + +=3+3 +66=3+6=
3、9(当且仅当 =,.即 =13时 ,等号成立 )答案 A5.用一张钢板制作一个容积为 4 m3的无盖长方体水箱,可用的长方形钢板有四种不同规格(长 宽的尺寸如各选项所示,单位:m) .若既要够用,又要所剩最少,则应选择钢板的规格是( )A.25 B.25.5 C.26.1 D.35解析 设长方体水箱长、宽、高分别为 x m,y m,z m,则 xyz=4.水箱的表面积 S=xy+2xz+2yz=xy+2x+2y =xy+ 3 =124 4 8+8 388 ( 当 .且仅当 =8=8,即 =2,=1时 ,等号成立 )故要制作容积为 4 m3的无盖水箱,所需的钢板面积最小为 12 m2,所以选项
4、A,B排除,而选项C,D均够用,但选项 D剩较多,故选项 C正确 .3答案 C6.若 a,b,c同号,则 k,则 k的取值范围是 . +解析 因为 a,b,c同号,所以 0,于是 3 =3(当且仅当 a=b=c时,等号成立),因此, + 3k的取值范围是 k3 .答案 k37.若 xb0,则 a+ 的最小值为 . 1(-)解析 因为 ab0,所以 a-b0,于是 a+ =(a-b)+b+ 3 =3,1(-) 1(-) 3(-) 1(-)当且仅当 a-b=b= ,即 a=2,b=1时, a+ 的最小值为 3.1(-) 1(-)答案 39.已知实数 a,b,cR, a+b+c=1,求 4a+4b+
5、 的最小值,并求出取最小值时 a,b,c的值 .42解 由三个正数的算术 -几何平均不等式,得 4a+4b+ 3 =3 (当且仅当 a=b=c2时,等42 34442 34+2号成立) .a+b+c= 1,4a+b= 1-c.则 a+b+c2=c2-c+1= ,当 c= 时, a+b+c2取得最小值 .(-12)2+34 12 34从而当 a=b= ,c= 时,4 a+4b+ 取最小值,最小值为 3 .14 1242 210. 导学号 26394008已知 x,y均为正数,且 xy,求证 2x+ 2 y+3.12-2+2证明 因为 x0,y0,x-y0,所以 2x+ -2y12-2+2=2(x
6、-y)+ =(x-y)+(x-y)+1(-)2 1(-)23 =3,3(-)(-) 1(-)2所以 2x+12-2+22 y+3 .(当且仅当 -= 1(-)2时 ,等号成立 )B组1.若 logxy=-2,则 x+y的最小值为( )A. B. C. D.3322 2333 332 223解析 由 logxy=-2得 y= ,因此 x+y=x+ 312 12=2+2+12 32212=3322(当且仅当 2=12,即 .=32时 ,等号成立 )答案 A2.设 x0,则 f(x)=4-x- 的最大值为( )1225A.4- B.4- C.不存在 D.22252解析 x 0,f (x)=4-x-
7、=4-122 (2+2+122)4 -3 =4-322 122 32=52.(当且仅当 2=122时 ,等号成立 )答案 D3.已知圆柱的轴截面周长为 6,体积为 V,则下列不等式正确的是( )A.V B.V C.V D.V8 8解析 如图,设圆柱的半径为 R,高为 h,则 4R+2h=6,即 2R+h=3.V=Sh= R2h= RRh =,当且仅当 R=R=h=1时,等号成立 .(+3 )3答案 B4.设三角形的三边长为 3,4,5,P是三角形内的一点,则 P到这个三角形三边距离乘积的最大值是 .解析 设 P到长度为 3,4,5的三角形三边的距离分别是 x,y,z,三角形的面积为 S,则 S
8、= (3x+4y+5z).12因为 32+42=52,所以这个三角形为直角三角形,其面积 S= 34=6,所以 3x+4y+5z=26=12,所12以 12=3x+4y+5z3 =3 ,所以 xyz ,当且仅当 3x=4y=5z,即 x= ,y=1,z= 时,等号33453601615 43 45成立 .6答案16155. 导学号 26394009设 x,y,z0,且 x+3y+4z=6,求 x2y3z的最大值 .解 因为 6=x+3y+4z= +y+y+y+4z6 =6 ,所以 x2y3z1 .2+2 6224623当且仅当 =y=4z,即 x=2,y=1,z= 时,等号成立,所以 x2y3z的最大值为 1.2 146. 导学号 26394010设 a1,a2,an为正实数,求证 + 2 .1+2+ 112 证明 a 1,a2,an为正实数, + n =na1a2an,1+2 12当且仅当 a1=a2=an时,等号成立 .又 na1a2an+ 2 ,112当且仅当 na1a2an= 时,等号成立,112 + 2 .1+2+ 112
