1、1第一章 导数及其应用滚动训练一(1.11.2)一、选择题1自变量 x 从 x0变化到 x1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( )A从 x0到 x1的平均变化率B在 x x1处的变化率C在 x x1处的变化量D在区间 x0， x1上的导数考点 平均变化率题点 函数的平均变化率答案 A解析 表示函数从 x0到 x1的平均变化率 y x fx1 fx0x1 x02下列求导结果正确的是( )A( a x2)12 x B(2 )3x3 xC(cos 60)sin 60 Dln(2 x)12x考点 导数公式的应用题点 导数公式的应用答案 B解析 根据题意，依次分析选项：对于 A，( a x2
2、) a( x2)2 x，故 A 错误；2对于 B，(2 )(32x)2 12x3 ，故 B 正确；x332 x对于 C，(cos 60)0，故 C 错误；对于 D，ln(2 x)(2 x) ，故 D 错误故选 B.12x 1x3函数 y x(1 ax)2(a0)，且 y| x2 5，则实数 a 的值为( )A. B013C1 D2考点 导数乘除法则及运算题点 导数乘除法则及运算答案 C解析 y(1 ax)2 x(1 ax)2(1 ax)2 x2(1 ax)( a)(1 ax)22 ax(1 ax)，由 y| x2 (12 a)24 a(12 a)12 a28 a15( a0)，解得 a1.4曲
3、线 yln x 在点 M 处的切线过原点，则该切线的斜率为( )A1 BeC D.1e 1e考点 导数公式的应用题点 导数公式的应用答案 D解析 设 M(x0，ln x0)，由 yln x 得 y ，1x所以切线斜率 k 0=|x ，1x0所以切线方程为 yln x0 (x x0)1x0由题意得 0ln x0 (0 x0)1，1x0即 ln x01，所以 x0e.所以 k ，故选 D.1x0 1e35已知函数 f(x) asin x bx31( a， bR)， f( x)为 f(x)的导函数，则 f(2 016) f(2 016) f(2 017) f(2 017)等于( )A2 017 B2
4、 016C2 D0考点 导数的加减法则及运算题点 导数的加减法则及运算答案 C解析 函数的导数 f( x) acos x3 bx2，则 f( x)为偶函数，则 f(2 017) f(2 017) f(2 017) f(2 017)0，由 f(x) asin x bx31，得 f(2 016) asin 2 016 b2 01631，f(2 016) asin 2 016 b2 01631，则 f(2 016) f(2 016)2，则 f(2 016) f(2 016) f(2 017) f(2 017)202，故选 C.6设 f(x)ln( x1) ax b(a， bR 且为常数)，曲线 y
5、f(x)与直线 y x 在x 132点(0,0)相切，则 a b 的值为( )A1 B1 C0 D2答案 A解析 由 y f(x)过点(0,0)得 b1， f(x)ln( x1) ax1，x 1 f( x) a，1x 1 12x 1又曲线 y f(x)与直线 y x 在点(0,0)相切，即曲线 y f(x)在点(0,0)处切线的斜率为 ，32 32 f(0) ，即 1 a ，32 12 32 a0，故 a b1，选 A.7已知函数 f(x)及其导数 f( x)，若存在 x0使得 f(x0) f( x0)，则称 x0是 f(x)的一个“巧值点” 给出四个函数： f(x) x2， f(x)e x，
6、 f(x)ln x， f(x)tan x，其中有“巧值点”的函数的个数是( )A1 B2C3 D44考点 导数公式的应用题点 导数公式的应用答案 B解析 根据题意，依次分析所给的函数：若 f(x) x2，则 f( x)2 x，由 x22 x，得 x0 或 x2，这个方程显然有解，符合要求；若 f(x)e x，则 f( x)e x，即 e xe x，此方程无解，不符合要求； f(x)ln x，则 f( x) ，若 ln x ，利用数形结合可知该方程存在实数解，符合1x 1x要求； f(x)tan x，则 f( x) ，即 sin xcos x1，变形得 sin 2x2，无解，不符1cos2x合要
7、求，故选 B.8若函数 f(x) eax(a0， b0)的图象在 x0 处的切线与圆 x2 y21 相切，则 a b1b的最大值为( )A4 B2 2C2 D. 2考点 简单复合函数的导数题点 简单复合函数的导数的综合应用答案 D解析 函数的导数为 f( x) eaxa，1b所以 f(0) e0a ，1b ab即在 x0 处的切线斜率 k ，ab又 f(0) e0 ，1b 1b所以切点坐标为 ，(0， 1b)所以切线方程为 y x，即 ax by10.1b ab圆心到直线 ax by10 的距离 d 1，1a2 b2即 a2 b21，所以 a2 b212 ab，即 00， f(x) ax22
8、x1ln( x1)， l 是曲线 y f(x)在点 P(0， f(0)处的切线，求切线 l 的方程考点 求函数在某点处的切线方程题点 求函数在某点处的切线方程解 f(x) ax22 x1ln( x1)， f(0)1， f( x)2 ax2 ， f(0)1，1x 1切点 P 的坐标为(0,1)， l 的斜率为1，切线 l 的方程为 x y10.四、探究与拓展14已 知 函 数 f(x) cos x e x x2 016， 令 f1(x) f (x)， f2(x) f1 (x)， f3(x) f2( x)， fn1 (x) fn( x)，则 f2 017(x)等于( )Asin xe x Bcos
9、 xe xCsin xe x Dcos xe x考点 导数公式的应用题点 导数公式的应用答案 C解析 f1(x) f( x)sin xe x2 016 x2 015，f2(x) f1( x)cos xe x2 0162 015 x2 014，f3(x) f2( x)sin xe x2 0162 0152 014 x2 013，f4(x) f3( x)cos xe x2 0162 0152 0142 013 x2 012， f2 016(x) f 2 015(x)cos xe x2 0162 0152 0142 0131， f2 017(x)sin xe x，故选 C.15已知函数 f(x) x
10、33 x 及曲线 y f(x)上一点 P(1，2)，过点 P 作直线 l.7(1)若直线 l 与曲线 y f(x)相切于点 P，求直线 l 的方程；(2)若直线 l 与曲线 y f(x)相切，且切点异于点 P，求直线 l 的方程考点 求函数过某点的切线方程题点 求函数过某点的切线方程解 (1)由 f(x) x33 x，得 f( x)3 x23.过点 P 且以 P(1，2)为切点的直线 l 的斜率为 f(1)0，故所求直线 l 的方程为 y2.(2)设过点 P(1，2)的直线 l 与曲线 y f(x)相切于点( x0， x 3 x0)30由 f( x0)3 x 3，20得直线 l 的方程为 y( x 3 x0)(3 x 3)( x x0)30 20又直线 l 过点 P(1，2)，所以2( x 3 x0)(3 x 3)(1 x0)，30 20即( x01) 2(x02)3( x 1)( x01)，20解得 x01(舍去)或 x0 ，12故直线 l 的斜率 k ，94故直线 l 的方程为 y(2) (x1)，94即 9x4 y10.
