1、1第一章 导数及其应用章末检测试卷(一)(时间：120 分钟 满分：150 分)一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分)1由曲线 y x2，直线 y0 和 x1 所围成的图形的面积是( )A. B.18 16C. D.13 12考点 利用定积分求曲线所围成图形面积题点 不需分割的图形的面积求解答案 C解析 由题意知，其围成的图形的面积为 x2dxError! .10 10132函数 f(x)的定义域为开区间( a， b)，导函数 f( x)在( a， b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间( a， b)内极小值点的个数为( )A1 B2C3 D0考点 函数极值的综
2、合应用2题点 函数极值在函数图象上的应用答案 A解析 设极值点依次为 x1， x2， x3且 a0；1 1 10B 项， (1| x|)dx 1dx |x|dx210；1 1 1 1 1 1C 项， |x1|d x (1 x)dxError! 20；1 1 1 1 1 1D 项， (|x|1)d x |x|dx 1dx120)，则 f(x)( )13A在区间 ，(1，e)内均有零点(1e， 1)B在区间 ，(1，e)内均无零点(1e， 1)C在区间 内无零点，在区间(1，e)内有零点(1e， 1)D在区间 内有零点，在区间(1，e)内无零点(1e， 1)考点 函数极值的综合应用题点 函数零点与
3、方程的根答案 C解析 由题意得 f( x) .x 33x令 f( x)0 得 x3；令 f( x)0， f(e) 10，(1e) 13e所以 f(x)在区间 内无零点，在区间(1，e)内有零点(1e， 1)10函数 f(x)在定义域 R 上的导函数是 f( x)，若 f(x) f(2 x)，且当 x(，1)时，(x1) f( x)bcC a0， f(x)在区间(，1)上为增函数又 f(x) f(2 x)， f(x)的图象关于直线 x1 对称， f(x)在区间(1，)上为减函数 a f(0) f(2)， b f( )， c f(log28) f(3)，2 c0，则 a 的取值范围是( )A(2，
4、) B(，2)C(1，) D(，1)考点 函数极值的综合应用题点 函数零点与方程的根答案 B解析 当 a0 时，由 f(x)3 x210，解得 x ，函数 f(x)有两个零点，不符合题意33当 a0 时，令 f( x)3 ax26 x3 ax 0，(x2a)解得 x0 或 x 0，2a此时 f( x)， f(x)随 x 的变化情况如下表：x (，0) 0 (0， 2a) 2a (2a， )f( x) 0 0 f(x) 极大值 极小值 当 x时， f(x)，且 f(0)10，存在 x00，且当 x时， f(x)，存在 x00，使得 f(x0)0.又 f(x)存在唯一的零点 x0，极小值 f a
5、33 210，(2a) (2a) (2a) a2 或 a0，于是 f( x)0，故 f(x)在区间(1，)上是增函数，故正确；当 x(1,0)时， f( x)0)的极大值为正数，极小值为负数，则 a 的取值范围为_考点 利用导数研究函数的极值题点 已知极值求参数答案 (22， )解析 f( x)3 x23 a2(a0)，当 xa 时， f( x)0，当 a .22三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分)17(10 分)已知 f(x)log 3 ， x(0，)，是否存在实数 a， b，使 f(x)同时x2 ax bx满足下列两个条件： f(x)在(0,1)上是减函数，在1，)上是增函数；
6、f(x)的最小值是 1.若存在，求出 a， b，若不存在，请说明理由考点 导数在最值问题中的应用题点 已知最值求参数解 设 g(x) ，则 g( x) ，x2 ax bx x2 bx2 f(x)在(0,1)上是减函数，在1，)上是增函数， g(x)在(0,1)上是减函数，在1，)上是增函数，9又 f(x)的最小值为 1，则 g(x)的最小值为 3，Error! Error!解得Error!经检验，当 a1， b1 时， f(x)满足题设的两个条件18(12 分)设函数 f(x) a(x5) 26ln x，其中 aR， f(x)的图象在点(1， f(1)处的切线与 y 轴相交于点(0,6)(1)
7、求 a 的值；(2)求函数 f(x)的单调区间与极值考点 函数在某点处取得极值的条件题点 含参数求极值问题解 (1) f(x) a(x5) 26ln x(x0)， f( x)2 a(x5) (x0)6x令 x1，得 f(1)16 a， f(1)68 a， f(x)的图象在点(1， f(1)处的切线方程为 y16 a(68 a)(x1)切线与 y 轴相交于点(0,6)，616 a8 a6， a .12(2)由(1)知， f(x) (x5) 26ln x(x0)，12f( x)( x5) (x0)6x x 2x 3x令 f( x)0，得 x2 或 x3.当 03 时， f( x)0， f(x)在区
8、间(0,2)，(3，)上为增函数；当 20；当 x(1,0)时， f( x)0.故 f(x)在(，1)，(0，)上单调递增，在(1,0)上单调递减(2)f(x) x(ex1 ax)令 g(x)e x1 ax，则 g( x)e x a.若 a1，则当 x(0，)时， g( x)0， g(x)为增函数，而 g(0)0，从而当 x0 时， g(x)0，即 f(x)0.若 a1，则当 x(0，ln a)时， g( x)0，故 g(x)在(1，)上单调递增，因此， x1 是 g(x)的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点所以最小值为 g(1)1.(2)g ln x x.(1x)设 h(x) g(x)
9、 g 2ln x x ，(1x) 1x则 h( x) 0，x 12x2即 h(x)在(0，)上单调递减当 x1 时， h(1)0，即 g(x) g .(1x)当 0h(1)0，即 g(x)g .(1x)当 x1 时， h(x)0，所以 g(x)在(1，e)上单调递减，在(e，)上单调递增故当 xe 时， g(x)有最小值且最小值为 g(e)e.所以 me.即 m 的取值范围是(，e(2)由题意，得 k(x) x2ln x a.令 (x) x2ln x，又函数 k(x)在(1,3)上恰有两个不同零点，相当于函数 (x) x2ln x 与直线 y a 有两个不同的交点 ( x)1 ，2x x 2x当 x(1,2)时， ( x)0， (x)单调递增又 (1)1， (2)22ln 2， (3)32ln 3，要使直线 y a 与函数 (x) x2ln x 有两个交点，则 22ln 2 a32ln 3.即实数 a 的取值范围是(22ln 2,32ln 3)
