1、1第 2 课时 组合的综合应用学习目标 1.能应用组合知识解决有关组合的简单实际问题.2.能解决有限制条件的组合问题知识点 组合的特点(1)组合的特点是只取不排组合要求 n 个元素是不同的，被取出的 m 个元素也是不同的，即从 n 个不同的元素中进行 m次不放回地取出(2)组合的特性元素的无序性，即取出的 m 个元素不讲究顺序，没有位置的要求(3)相同的组合根据组合的定义，只要两个组合中的元素完全相同(不管顺序如何)，就是相同的组合类型一 有限制条件的组合问题例 1 课外活动小组共 13 人，其中男生 8 人，女生 5 人，并且男、女生各有一名队长，现从中选 5 人主持某项活动，依下列条件各有
2、多少种选法？(1)至少有一名队长当选；(2)至多有两名女生当选；(3)既要有队长，又要有女生当选考点 组合的应用2题点 有限制条件的组合问题解 (1)C C 825(种)513 511(2)至多有 2 名女生当选含有三类：有 2 名女生；只有 1 名女生；没有女生，所以共有 C C C C C 966(种)选法2538 1548 58(3)分两类：第一类女队长当选，有 C 495(种)选法，412第二类女队长没当选，有 C C C C C C C 295(种)选法，1437 2427 3417 4所以共有 495295790(种)选法反思与感悟 有限制条件的抽(选)取问题，主要有两类：一是“含
3、”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出， “不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数；二是“至多” “至少”问题，其解法常有两种解决思路：一是直接分类法，但要注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏跟踪训练 1 某食堂每天中午准备 4 种不同的荤菜，7 种不同的蔬菜，用餐者可以按下述方法之一搭配午餐：(1)任选两种荤菜、两种蔬菜和白米饭；(2)任选一种荤菜、两种蔬菜和蛋炒饭则每天不同午餐的搭配方法共有( )A210 种 B420 种 C56 种 D22 种考点 组合的应用题点 有限制条件的组合问题答案 A解析 由分类加法计数原理知，两类配餐的搭配方法之和即为
4、所求，所以每天不同午餐的搭配方法共有 C C C C 210(种)2427 1427类型二 与几何有关的组合应用题例 2 如图，在以 AB 为直径的半圆周上，有异于 A， B 的六个点 C1， C2， C6，线段 AB 上有异于 A， B 的四个点 D1， D2， D3， D4.(1)以这 10 个点中的 3 个点为顶点可作多少个三角形？其中含 C1点的有多少个？(2)以图中的 12 个点(包括 A， B)中的 4 个点为顶点，可作出多少个四边形？考点 组合的应用题点 与几何有关的组合问题解 (1)方法一 可作出三角形 C C C C C 116(个)36 16 24 26 143方法二 可作
5、三角形 C C 116(个)，310 34其中以 C1为顶点的三角形有 C C C C 36(个)25 15 14 24(2)可作出四边形 C C C C C 360(个)46 36 16 26 26反思与感悟 (1)图形多少的问题通常是组合问题，要注意共点、共线、共面、异面等情形，防止多算常用直接法，也可采用间接法(2)在处理几何问题中的组合问题时，应将几何问题抽象成组合问题来解决跟踪训练 2 空间中有 10 个点，其中有 5 个点在同一个平面内，其余点无三点共线，无四点共面，则以这些点为顶点，共可构成四面体的个数为( )A205 B110 C204 D200考点 组合的应用题点 与几何有关
6、的组合问题答案 A解析 方法一 可以按从共面的 5 个点中取 0 个、1 个、2 个、3 个进行分类，则得到所有的取法总数为 C C C C C C C C 205.0545 1535 2525 3515方法二 从 10 个点中任取 4 个点的方法数中去掉 4 个点全部取自共面的 5 个点的情况，得到所有构成四面体的个数为 C C 205.410 45类型三 分组、分配问题命 题 角 度 1 不 同 元 素 分 组 、 分 配 问 题例 3 6 本不同的书，分为 3 组，在下列条件下各有多少种不同的分配方法？(1)每组 2 本(平均分组)；(2)一组 1 本，一组 2 本，一组 3 本(不平均
7、分组)；(3)一组 4 本，另外两组各 1 本(局部平均分组)考点 排列组合综合问题题点 分组分配问题解 (1)每组 2 本，均分为 3 组的方法数为 15.C26C24C2A3 15616(2)一组 1 本，一组 2 本，一组 3 本的分组种数为 C C C 20360.36231(3)一组 4 本，另外两组各 1 本的分组种数为 15.C46C12C1A2 1522反思与感悟 一般地， n 个不同的元素分成 p 组，各组内元素数目分别为 m1， m2， mp，其中 k 组元素数目相等，那么分组方法数是 .Cm1nCm2n m1Cm3n m1 m2CmpmpAk跟踪训练 3 6 本不同的书，
8、分给甲、乙、丙 3 人，在下列条件下各有多少种不同的分配方法？(1)甲 2 本，乙 2 本，丙 2 本；4(2)甲 1 本，乙 2 本，丙 3 本；(3)甲 4 本，乙、丙每人 1 本；(4)每人 2 本；(5)一人 1 本，一人 2 本，一人 3 本；(6)一人 4 本，其余两人每人 1 本考点 排列组合综合问题题点 分组分配问题解 (1)(2)(3)中，由于每人分的本数固定，属于定向分配问题，由分步乘法计数原理得：(1)共有 C C C 90(种)不同的分配方法；26242(2)共有 C C C 60(种)不同的分配方法；16253(3)共有 C C C 30(种)不同的分配方法46121
9、(4)(5)(6)属于不定向分配问题，是该类题中比较困难的问题分配给 3 人，同一本书给不同的人是不同的分法，属于排列问题实际上可看作两个步骤：先分为 3 组，再把这 3 组分给甲、乙、丙 3 人的全排列数 A 即可因此，(4)共有 C C C A A 90(种)不同的分3 26242 3 3配方法；(5)共有 C C C A 360(种)不同的分配方法；16253 3(6)共有 C C C A A 90(种)不同的分配方法46121 2 3命 题 角 度 2 相 同 元 素 分 配 问 题例 4 将 6 个相同的小球放入 4 个编号为 1,2,3,4 的盒子，求下列方法的种数(1)每个盒子都
10、不空；(2)恰有一个空盒子；(3)恰有两个空盒子考点 排列组合综合问题题点 分组分配问题解 (1)先把 6 个相同的小球排成一行，在首尾两球外侧放置一块隔板，然后在小球之间 5个空隙中任选 3 个空隙各插一块隔板，有 C 10(种)35(2)恰有一个空盒子，插板分两步进行先在首尾两球外侧放置一块隔板，并在 5 个空隙中任选 2 个空隙各插一块隔板，如|0|000|00|，有 C 种插法，然后将剩下的一块隔板与前面25任意一块并放形成空盒，如|0|000|00|，有 C 种插法，故共有 C C 40(种)14 25 14(3)恰有两个空盒子，插板分两步进行先在首尾两球外侧放置一块隔板，并在 5
11、个空隙中任选 1 个空隙各插一块隔板，有 C 种插15法，如|00|0000|，然后将剩下的两块隔板插入形成空盒这两块板与前面三块板形成不相邻的两个盒子，5如|00|0000|，有 C 种插法23将两块板与前面三块板之一并放，如|00|0000|，有 C 种插法13故共有 C (C C )30(种)15 23 13反思与感悟 相同元素分配问题的处理策略(1)隔板法：如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置，便可看作在排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相邻两块隔板形成一个“盒” 每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法，此法称之为隔板法隔板法专门解决相同元素的分配问题(2)将 n 个相同
12、的元素分给 m 个不同的对象( n m)，有 C 种方法可描述为 n1 个空中m 1n插入 m1 块板跟踪训练 4 某同学有同样的画册 2 本，同样的集邮册 3 本，从中取出 4 本赠送给 4 位朋友，每位朋友 1 本，则不同的赠送方法共有( )A4 种 B10 种C18 种 D20 种考点 排列组合综合问题题点 分组分配问题答案 B解析 由于只剩一本书，且这些画册、集邮册分别相同，可以从剩余的书的类别进行分析又由于排列、组合针对的是不同的元素，应从 4 位朋友中进行选取第一类：当剩余的一本是画册时，相当于把 3 本相同的集邮册和 1 本画册分给 4 位朋友，只有 1 位朋友得到画册即把 4
13、位朋友分成人数为 1,3 的两队，有 1 个元素的那队分给画册，另一队分给集邮册，有 C 种分法14第二类：当剩余的一本是集邮册时，相当于把 2 本相同的画册和 2 本相同的集邮册分给 4 位朋友，有 2 位朋友得到画册，即把 4 位朋友分成人数为 2,2 的两队，一队分给画册，另一队分给集邮册，有 C 种分法24因此，满足题意的赠送方法共有 C C 4610(种)14 241某乒乓球队有 9 名队员，其中 2 名是种子选手，现在挑选 5 名选手参加比赛，种子选手必须在内，那么不同选法共有( )A26 种 B84 种 C35 种 D21 种考点 组合的应用题点 有限制条件的组合问题答案 C6解
14、析 从 7 名队员中选出 3 人有 C 35(种)选法377653212身高各不相同的 7 名同学排成一排照相，要求正中间的同学最高，左右两边分别顺次一个比一个低，这样的排法种数是( )A5 040 B36 C18 D20考点 组合的应用题点 有限制条件的组合问题答案 D解析 最高的同学站中间，从余下 6 人中选 3 人在一侧只有一种站法，另 3 人在另一侧也只有一种站法，所以排法有 C 20(种)363直角坐标平面 xOy 上，平行直线 x n(n0,1,2，5)与平行直线y n(n0,1,2，5)组成的图形中，矩形共有( )A25 个 B36 个 C100 个 D225 个考点 组合的应用
15、题点 与几何有关的组合问题答案 D解析 从垂直于 x 轴的 6 条直线中任取 2 条，从垂直于 y 轴的 6 条直线中任取 2 条，四条直线相交得出一个矩形，所以矩形总数为 C C 1515225.26 264从 7 名志愿者中安排 6 人在周六、周日两天参加社区公益活动，若每天安排 3 人，则不同的安排方案共有_种(用数字作答)考点 排列组合综合问题题点 分组分配问题答案 140解析 安排方案分为两步完成：从 7 名志愿者中选 3 人安排在周六参加社区公益活动，有 C种方法；再从剩下的 4 名志愿者中选 3 人安排在周日参加社区公益活动，有 C 种方法故37 34不同的安排方案共有 C C
16、4140(种)37347653215正六边形顶点和中心共 7 个点，可组成_个三角形考点 组合的应用题点 与几何有关的组合问题答案 32解析 不共线的三个点可组成一个三角形，7 个点中共线的是：正六边形过中心的 3 条对角线，即共有 3 种情况，故组成三角形的个数为 C 332.3771无限制条件的组合应用题其解题步骤为：(1)判断；(2)转化；(3)求值；(4)作答2有限制条件的组合应用题：(1)“含”与“不含”问题：这类问题的解题思路是将限制条件视为特殊元素和特殊位置，一般来讲，特殊要先满足，其余则“一视同仁” 若正面入手不易，则从反面入手，寻找问题的突破口，即采用排除法解题时要注意分清“
17、有且仅有” “至多” “至少” “全是” “都不是” “不都是”等词语的确切含义，准确把握分类标准(2)几何中的计算问题：在处理几何问题中的组合应用问题时，应先明确几何中的点、线、面及构型，明确平面图形和立体图形中的点、线、面之间的关系，将几何问题抽象成组合问题来解决(3)分组、分配问题：分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同，是不可区分的，而后者即使两组元素个数相同，但因元素不同，仍然是可区分的一、选择题1若从 1,2,3，9 这 9 个整数中同时取 3 个不同的数，使其和为奇数，则不同的取法共有( )A30 种 B33 种 C37 种 D40 种考点 组合的应用题点
18、有限制条件的组合问题答案 D解析 从 1,2,3，9 这 9 个数中取出 3 个不同的数，使其和为奇数的情况包括：(1)取出的 3 个数都是奇数，取法有 C 10(种)；(2)取出的 3 个数中有 2 个偶数、1 个奇数，取法35有 C C 30(种)，根据分类加法计数原理，满足题意的取法共有 103040(种)24152某班级要从 4 名男生、2 名女生中选派 4 人参加某次社区服务，如果要求至少有 1 名女生，那么不同的选派方案种数为( )A24 种 B14 种 C28 种 D48 种考点 组合的应用题点 有限制条件的组合问题答案 B解析 方法一 分两类完成：8第 1 类，选派 1 名女生
19、、3 名男生，有 C C 种选派方案；12 34第 2 类，选派 2 名女生、2 名男生，有 C C 种选派方案2 24故共有 C C C C 14(种)不同的选派方案12 34 2 24方法二 6 人中选派 4 人的组合数为 C ，其中都选男生的组合数为 C ，所以至少有 1 名女46 4生的选派方案有 C C 14(种)46 43直线 a b， a 上有 5 个点， b 上有 4 个点，以这九个点为顶点的三角形个数为( )AC C C C B(C C )(C C )2514 1524 25 14 15 24CC 9 DC C39 39 35考点 组合的应用题点 与几何有关的组合问题答案 A
20、解析 可以分为两类： a 上取两点， b 上取一点，则可构成三角形个数为 C C ； a 上取一点，2514b 上取两点，则可构成三角形个数为 C C ，利用分类加法计数原理可得以这九个点为顶点的1524三角形个数为 C C C C ，故选 A.2514 15244从乒乓球运动员男 5 名、女 6 名中组织一场混合双打比赛，不同的组合方法有( )AC C 种 BC A 种2526 2526CC A C A 种 DA A 种252262 2526考点 排列组合综合问题题点 排列与组合的综合应用答案 B解析 先从 5 名男选手中任意选取 2 名，有 C 种选法，再从 6 名女选手中任意选择两名与2
21、5选出的男选手打比赛，有 C A ，即 A 种所以共有 C A 种262 26 25265将标号为 A， B， C， D， E， F 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封中，若每个信封放 2 张卡片，其中标号为 A， B 的卡片放入同 1 个信封，则不同的放法共有( )A12 种 B18 种 C36 种 D54 种考点 排列组合综合问题题点 分组分配问题答案 B解析 由题意知，不同的放法共有 C C 3 18(种)13244326某地招募了 20 名志愿者，他们编号分别为 1 号，2 号，19 号，20 号，如果要从中任意选取 4 人再按编号大小分成两组去做一些预备服务工作，其中两个编号较小的
22、人在一组，两个编号较大的人在另一组，那么确保 5 号与 14 号入选并被分配到同一组的选取种数是( )A16 B21 C24 D909考点 排列组合综合问题题点 分组分配问题答案 B解析 分 2 类：第 1 类，5 号与 14 号为编号较大的一组，则另一组编号较小的有 C 6(种)选取方法24第 2 类，5 号与 14 号为编号较小的一组，则编号较大的一组有 C 15(种)选取方法26由分类加法计数原理得，共有 C C 61521(种)选取方法24 267北京财富全球论坛期间，某高校有 14 名志愿者参加接待工作，若每天早、中、晚三班，每班 4 人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种
23、数为( )AC C C BC A A12441248 12441248C. DC C C AC124C412C48A3 1244124838考点 排列组合综合问题题点 分组分配问题答案 A解析 首先从 14 人中选出 12 人共 C 种，然后将 12 人平均分为 3 组共 种，然124C412C48C4A3后这两步相乘，得 .将三组分配下去共 C C C 种故选 A.C124C412C48A3 124 412 488假如北京大学给中山市某三所重点中学 7 个自主招生的推荐名额，则每所中学至少分到一个名额的方法数为( )A30 B21 C10 D15考点 排列组合综合问题题点 分组分配问题答案
24、D解析 用“隔板法” 在 7 个名额中间的 6 个空位上选 2 个位置加 2 个隔板，有 C 15(种)26分配方法二、填空题9在 2017 年的上海高考改革方案中，要求每位考生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理 6 门学科中选择 3 门学科参加等级考试小明同学决定在生物、政治、历史三门中至多选择一门，那么小明同学的选择方案有_种考点 组合的应用题点 有限制条件的组合问题答案 10解析 在生物、政治、历史三门中选择 1 门，则在物理、化学、地理中选 2 门，有10C C 9(种)选法；1323在生物、政治、历史三门中选择 0 门，则物理、化学、地理全选，有 C 1(种)选法3共有选法 9
25、110(种)10.如图所示的几何体是由一个正三棱锥 P ABC 与正三棱柱 ABC A1B1C1组合而成，现用 3种不同颜色对这个几何体的表面涂色(底面 A1B1C1不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的涂色方案共有_种考点 涂色问题题点 涂色问题答案 12解析 先涂三棱锥 P ABC 的三个侧面，然后涂三棱柱的三个侧面，共有C C C C 321212(种)不同的涂法13 12 1 1211在 8 张奖券中有一、二、三等奖各 1 张，其余 5 张无奖将这 8 张奖券分配给 4 个人，每人 2 张，不同的获奖情况有_种(用数字作答)考点 排列组合综合问题题点 排列与组合的综合应用答案 60解
26、析 一、二、三等奖，三个人获得，有 A 24(种)34一、二、三等奖，有一个人获得 2 张，一个人获得 1 张，共有 C A 36(种)，共有2324243660(种)不同的获奖情况三、解答题12现有 16 张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各 4 张从中任取 3 张，要求这 3 张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多 1 张，求不同取法的种数考点 组合的应用题点 有限制条件的组合问题解 若没有红色卡片，则需从黄、蓝、绿三色卡片中选 3 张，若都不同色，则有 C C C14 1464(种)，14若 2 张同色，则有 C C C C 144(种)，23 12 24 14若红色卡片有 1
27、 张，剩余 2 张不同色，则有 C C C C 192(种)，14 23 14 14剩余 2 张同色，则有 C C C 72(种)，14 13 24所以共有 6414419272472(种)不同的取法1113现有 8 名青年，其中有 5 名能胜任英语翻译工作，有 4 名能胜任德语翻译工作(其中有1 名青年两项工作都能胜任)现在要从中挑选 5 名青年承担一项任务，其中 3 名从事英语翻译工作，2 名从事德语翻译工作，则有多少种不同的选法？考点 排列组合综合问题题点 分组分配问题解 可以分三类第一类，让两项工作都能胜任的青年从事英语翻译工作，有 C C 种选法；2423第二类，让两项工作都能胜任的
28、青年从事德语翻译工作，有 C C 种选法；3413第三类，让两项工作都能胜任的青年不从事任何工作，有 C C 种选法3423根据分类加法计数原理，一共有 C C C C C C 42(种)不同的选法2423 3413 3423四、探究与拓展1420 个不加区别的小球放入编号为 1,2,3 的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，则不同的放法种数为_考点 排列组合综合问题题点 分组分配问题答案 120解析 先在编号为 2,3 的盒内分别放入 1,2 个球，还剩 17 个小球，三个盒内分别至少再放入 1 个球，将 17 个球排成一排，有 16 个空隙，插入 2 块挡板分为三堆放入三个盒中
29、即可，共 C 120(种)方法21615已知 10 件不同产品中有 4 件是次品，现对它们进行一一测试，直至找出所有 4 件次品为止(1)若恰在第 5 次测试，才测试到第一件次品，第 10 次才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？(2)若恰在第 5 次测试后，就找出了所有 4 件次品，则这样的不同测试方法数是多少？考点 排列组合综合问题题点 排列与组合的综合应用解 (1)先排前 4 次测试，只能取正品，有 A 种不同测试方法，再从 4 件次品中选 2 件排在46第 5 和第 10 的位置上测试，有 C A A (种)测法，再排余下 4 件的测试位置，有 A 种测242 24 4法所以共有不同测试方法 A A A 103 680(种)46 24 4(2)第 5 次测试恰为最后一件次品，另 3 件在前 4 次中出现，从而前 4 次有一件正品出现，所以共有不同测试方法 C C A 576(种)16344
