1、1第一章 计数原理滚动训练一(1.11.2)一、选择题1456( n1) n 等于( )AA BA4n n 4nC n！4! DA n 3n考点 排列数公式题点 利用排列数公式计算答案 D解析 因为 A n(n1)( n2)( n m1)，所以 A n(n1)( n2) n( n3)1mn n 3n n(n1)654.2在某次数学测验中，学号 i(i1,2,3,4)的四位同学的考试成绩 f(i)90,92,93,96,98，且满足 f(1)f(2) f(3)f(4)，则这四位同学的考试成绩的所有可能情况的种数为( )A9 B5 C23 D15考点 组合的应用题点 有限制条件的组合问题答案 D解
2、析 从所给的 5 个成绩中，任意选出 4 个的一个组合，即可得到四位同学的考试成绩按f(1)f(2)f(3)f(4)排列的一个可能情况，故方法有 C 5(种)从所给的 5 个成绩中，45任意选出 3 个的一个组合，即可得到四位同学的考试成绩按 f(1)f(2) f(3)f(4)排列的一个可能情况，故方法有 C 10(种)综上可得，满足 f(1)f(2) f(3)f(4)的这四位同35学的考试成绩的所有可能情况共有 51015(种)，故选 D.23某公司将 5 名员工分配至 3 个不同的部门，每个部门至少分配一名员工，其中甲、乙两名员工必须分配在同一个部门的不同分配方法数为( )A24 B30
3、C36 D42考点 排列组合综合问题题点 分组分配问题答案 C解析 把甲、乙两名员工看作一个整体，5 个人变成了 4 个，再把这 4 个人分成 3 部分，每部分至少一人，共有 C 6(种)方法再把这 3 部分人分到 3 个不同的部门，有 A 6(种)24 3方法根据分步乘法计数原理可知，不同分法的种数为 6636.4我市正在建设最具幸福感城市，原计划沿渭河修建 7 个河滩主题公园为提升城市品位、升级公园功能，打算减少 2 个河滩主题公园，两端河滩主题公园不在调整计划之列，相邻的两个河滩主题公园不能同时被调整，则调整方案的种数为( )A4 B8 C6 D12考点 排列的应用题点 元素“在”与“不
4、在”问题答案 C解析 利用间接法，任选中间 5 个的 2 个，再减去相邻的 4 个，故有 C 46(种)，故选 C.2552017 年的 3 月 25 日，中国国家队在 2018 俄罗斯世界杯亚洲区预选赛 12 强战小组赛中，在长沙以 1 比 0 力克韩国国家队，赛后有六人队员打算排成一排照相，其中队长主动要求排在排头或排尾，甲、乙两人必须相邻，则满足要求的排法有( )A34 种 B48 种 C96 种 D144 种考点 排列的应用题点 排列的简单应用答案 C解析 根据题意，分 3 步进行分析：队长主动要求排在排头或排尾，则队长有 2 种站法；甲、乙两人必须相邻，将 2 人看成一个整体，考虑
5、2 人的左右顺序，有 A 2(种)情况；2将甲、乙整体与其余 3 人进行全排列，有 A 24(种)情况4则满足要求的排法有 222496(种)故选 C.6登山运动员 10 人，平均分为两组，其中熟悉道路的有 4 人，每组都需要 2 人，那么不同的分配方法种数是( )A30 B60 C120 D240考点 排列组合综合问题3题点 分组分配问题答案 B解析 先将 4 个熟悉道路的人平均分成两组，有 种，再将余下的 6 人平均分成两组，有C24C2A2种，然后这四个组自由搭配还有 A 种，故最终分配方法有 60(种)C36C3A2 2 C24C36A27在某次针对重启“六方会谈”的记者招待会上，主持
6、人要从 5 名国内记者与 4 名国外记者中选出 3 名记者进行提问，要求 3 人中既有国内记者又有国外记者，且国内记者不能连续提问，不同的提问方式有( )A180 种 B220 种C260 种 D320 种考点 排列组合综合问题题点 排列与组合的综合应用答案 C解析 若 3 人中有 2 名中国记者和 1 名国外记者，则不同的提问方式的种数是C C A 80，25142若 3 人中有 1 名中国记者和 2 名国外记者，则不同的提问方式的种数是 C C A 180，15243故所有的不同的提问方式的种数是 80180260，故选 C.8某公园有 P， Q， R 三只小船， P 船最多可乘 3 人，
7、 Q 船最多可乘 2 人， R 船只能乘 1 人，现有 3 个大人和 2 个小孩打算同时分乘若干只小船，规定有小孩的船必须有大人，共有不同的乘船方法( )A36 种 B33 种C27 种 D21 种考点 排列组合综合问题题点 排列与组合的综合应用答案 C解析 P 船乘 1 个大人和 2 个小孩共 3 人， Q 船乘 1 个大人， R 船乘 1 个大人，有A 6(种)情况3 P 船乘 1 个大人和 1 个小孩共 2 人， Q 船乘 1 个大人和 1 个小孩， R 船乘 1 个大人，有A A 12(种)情况3 2 P 船乘 2 个大人和 1 个小孩共 3 人， Q 船乘 1 个大人和 1 个小孩共
8、有 C 26(种)情况23 P 船乘 1 个大人和 2 个小孩共 3 人， Q 船乘 2 个大人，有 C 3(种)情况，则共有136126327(种)情况二、填空题9已知 A 2C 272( m， nN *)，则 m n_.mn mn4考点 组合数公式题点 组合数公式的应用答案 19解析 C ，A 2 ，A 2， m2.mnAmnAm mn AmnAm m又 A 272， n(n1)1716，解得 n17， m n19.2n10如图，从 A C 有_种不同的走法考点 两个计数原理的区别与联系题点 两个原理的简单综合应用答案 6解析 A 到 C 分两类，第一类， A B C，分两步，第一步， A
9、 B 有 2 种走法，第二步，B C 有 2 种走法，故 A B C 有 4 种走法，第二类： A C 有 2 种走法，故 A C 有426(种)走法，故答案为 6.11把 5 件不同的产品摆成一排，若产品 A 与产品 B 相邻，且产品 A 与产品 C 不相邻，则不同的摆法有_种考点 排列的应用题点 元素“相邻”与“不相邻”问题答案 36解析 先将 A， B 捆绑在一起，有 A 种摆法，再将它们与其他 3 件产品全排列，有 A 种摆2 4法，共有 A A 种摆法，而 A， B， C 这 3 件产品在一起，且 A， B 相邻， A， C 相邻有 2A 种24 3摆法，故 A， B 相邻， A，
10、C 不相邻的摆法有 A A 2A 36(种)24 312某企业有 4 个分厂，新培训了一批 6 名技术人员，将这 6 名技术人员分配到各分厂，要求每个分厂至少 1 人，则不同的分配方案种数为_考点 排列组合综合问题题点 分组分配问题答案 1 560解析 先把 6 名技术人员分成 4 组，每组至少一人若 4 个组的人数按 3,1,1,1 分配，则不同的分配方案有 20(种)不同的方法C36C13C12C1A3若 4 个组的人数为 2,2,1,1，则不同的分配方案有 45(种)不同的方法C26C242！ C122！5故所有分组方法共有 204565(种)再把 4 个组的人分给 4 个分厂，不同的方
11、法有 65A 1 560(种)4三、解答题13将四个编号为 1,2,3,4 的小球放入四个编号为 1,2,3,4 的盒子中(1)有多少种放法？(2)若每盒至多一球，则有多少种放法？(3)若恰好有一个空盒，则有多少种放法？(4)若每个盒内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，则有多少种放法？考点 排列组合综合问题题点 排列与组合的综合应用解 (1)每个小球都可能放入四个盒子中的任何一个，将小球一个一个放入盒子，共有44444 4256(种)放法(2)这是全排列问题，共有 A 24(种)放法4(3)先取四个球中的两个“捆”在一起，有 C 种选法，把它与其他两个球共三个元素分别放24入四
12、个盒子中的三个盒子，有 A 种投放方法，所以共有 C A 144(种)放法34 2434(4)一个球的编号与盒子编号相同的选法有 C 种，当一个球与一个盒子的编号相同时，用局14部列举法可知其余三个球的投入方法有 2 种，故共有 C 28(种)放法14四、探究与拓展14将 1,2,3，9 这 9 个数字填在如图所示的九个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下依次增大，当 3,4 固定在图中位置时，所填写空格的方法有( )34A.6 种 B12 种 C18 种 D24 种考点 组合的应用题点 有限制条件的组合问题答案 A解析 由题意可得数字 1,2,9 的位置也是固定的，如图所示，5,6,7
13、,8 四个数字在A， B， C， D 四个位置上， A， B 两个位置的填法有 C 种， C， D 两个位置则只有 C 种填法.24 21 3 C2 4 DA B 96由分步乘法计数原理知，不同的填法共有 C C 6(种)24 215用 0,1,2,3,4 这五个数字组成无重复数字的自然数(1)在组成的三位数中，求所有偶数的个数；(2)在组成的三位数中，若十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数” ，如 301,423 等都是“凹数” ，试求“凹数”的个数；(3)在组成的五位数中，求恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的自然数的个数考点 排列的应用题点 数字的排列问题解
14、 (1)将组成的三位数中所有偶数分为两类，若个位数为 0，则共有 A 12(个)；24若个位数为 2 或 4，则共有 23318(个)故共有 30 个符合题意的三位数(2)将这些“凹数”分为三类：若十位上的数字为 0，则共有 A 12(个)；24若十位上的数字为 1，则共有 A 6(个)；23若十位上的数字为 2，则共有 A 2(个)2故共有 126220(个)符合题意的“凹数” (3)将符合题意的五位数分为三类：若两个奇数数字在万位和百位上，则共有 A A 12(个)；23若两个奇数数字在千位上和十位上，则共有 A A A 8(个)；2122若两个奇数数字在百位和个位上，则共有 A A A 8(个)故共有 128828(个)符合2122题意的五位数
