1、1三 反证法与放缩法课后篇巩固探究1.设实数 a,b,c满足 a+b+c= ,则 a,b,c中( )13A.至多有一个不大于19B.至少有一个不小于19C.至多有两个不小于19D.至少有两个不小于19解析 假设 a,b,c都小于 ,即 ac0,则 .1+ 1+ 1+ +1+MQ ,故 MQN.答案 D3. 导学号 26394038设 M= + ,则( )1210+ 1210+1+ 1210+2 1211-1A.M=1B.M1D.M与 1大小关系不确定解析 分母全换成 210,共有 210个单项 .答案 B34.某同学准备用反证法证明如下一个问题:函数 f(x)在0,1上有意义,且 f(0)=f
2、(1),如果对于不同的 x1,x20,1,都有 |f(x1)-f(x2)|0”是“ P,Q,R同时大于零”的 条件 . 解析 必要性是显然成立的;当 PQR0时,若 P,Q,R不同时大于零,则其中两个为负,一个为正,不妨设P0,Q0矛盾,即充分性也成立 .答案 充要6.设 a,b是两个实数,给出下列条件: a+b 1;a+b= 2;a+b 2;a 2+b22;ab 1.其中能推出“ a,b中至少有一个大于 1”的条件是 .(填序号) 解析 可取 a=0.5,b=0.6,故不正确; a+b= 2,可取 a=1,b=1,故不正确; a+b 2,则 a,b中至少有一个大于 1,正确; a 2+b22
3、,可取 a=-2,b=-1,故不正确; ab 1,可取 a=-2,b=-1,故不正确 .答案 7.设 f(x)=x2-x+13,a,b0,1,求证 |f(a)-f(b)| |a-b|.证明 |f(a)-f(b)|=|a2-a-b2+b|=|(a-b)(a+b-1)|=|a-b|a+b-1|,因为 0 a1,0 b1,所以 0 a+b2 .所以 -1 a+b-11,所以 |a+b-1|1 .故 |f(a)-f(b)| |a-b|.8.已知 x0,y0,且 x+y2,试证: 中至少有一个小于 2.1+ ,1+4证明 假设 都不小于 2,即1+ ,1+2,且 2 .1+ 1+因为 x0,y0,所以
4、1+x2 y,且 1+y2 x.把这两个不等式相加,得 2+x+y2( x+y),从而 x+y2,这与已知条件 x+y2矛盾 .因此, 都不小于 2是不可能的,即原命题成立 .1+ ,1+9. 导学号 26394039已知 Sn= + ,求证:对于正整数 m,n,当12 +222+323 2mn时, |Sm-Sn|n时, |Sm-Sn|=| +am|+1+2 | |+| |+|am|+1 +2 +12+1+ 12+2 12=12+11-(12)-1-12= .121-(12)-12510. 导学号 26394040若数列 xn的通项公式为 xn= ,求证 x1x3x5x2n-+11 .1-1+证明 因为 ,1-1+=1- +11+ +1=12+1又2-122-12+1=2-12+12= =1,42-12 422所以 ,2-12 2-12+1所以 x1x3x5x2n-1= 1234 2-12 ,13352-12+1= 12+1故 x1x3x5x2n-1 .1-1+
