1、12.1.2 离散型随机变量的分布列(二)学习目标 1.进一步理解离散型随机变量的分布列的求法、作用.2.理解两点分布和超几何分布知识点一 两点分布随机变量 X 的分布列为X 0 1P 1 p p若随机变量 X 的分布列具有上表的形式，则称 X 服从两点分布，并称 p P(X1)为成功概率知识点二 超几何分布思考 在含有 5 名男生的 100 名学生中，任选 3 人，求恰有 2 名男生的概率表达式答案 .C25C195C3100梳理 一般地，在含有 M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有 X 件次品，则 P(X k) ， k0,1,2， m，其中 mmin M， n，且 n N，
2、M N， n， M， NN *，称分布CkMCn kN MCnN列X 0 1 m2P C0MCn 0N MCnN C1MCn 1N MCnN CmMCn mN MCnN为超几何分布列如果随机变量 X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量 X 服从超几何分布类型一 两点分布例 1 (1)某运动员射击命中 10 环的概率为 0.9，求他在一次射击中命中 10 环的次数的分布列；(2)若离散型随机变量 X 的分布列为X 0 1P 9c2 c 38 c求出 c，并说明 X 是否服从两点分布，若是，则成功概率是多少？考点 离散型随机变量的分布列题点 两点分布解 (1)设该运动员射击一次命中 10 环的次
3、数为 X，则 P(X1)0.9， P(X0)10.90.1.X 0 1P 0.1 0.9(2)由(9 c2 c)(38 c)1，解得 c 或 c ，13 23又 9c2 c0,38 c0，所以 c ，所以 c .19 38 13X 的取值为 0,1，故 X 服从两点分布，成功概率为 38 c .13反思与感悟 两步法判断一个分布是否为两点分布(1)看取值：随机变量只取两个值：0 和 1.(2)验概率：检验 P(X0) P(X1)1 是否成立如果一个分布满足以上两点，则该分布是两点分布，否则不是两点分布跟踪训练 1 已知一批 100 件的待出厂产品中，有 1 件不合格品，现从中任意抽取 2 件进
4、行检查，若用随机变量 X 表示抽取的 2 件产品中的次品数，求 X 的分布列3考点 离散型随机变量的分布列题点 两点分布解 由题意知， X 服从两点分布， P(X0) ， P(X1)1 .所以随机变量C299C2100 4950 4950 150X 的分布列为X 0 1P 4950 150类型二 超几何分布例 2 一个袋中装有 6 个形状、大小完全相同的小球，其中红球有 3 个，编号为 1,2,3；黑球有 2 个，编号为 1,2；白球有 1 个，编号为 1.现从袋中一次随机抽取 3 个球(1)求取出的 3 个球的颜色都不相同的概率；(2)记取得 1 号球的个数为随机变量 X，求随机变量 X 的
5、分布列考点 超几何分布题点 求超几何分布的分布列解 (1)从袋中一次随机抽取 3 个球，基本事件总数 nC 20，取出的 3 个球的颜色都不36相同包含的基本事件的个数为 C C C 6，所以取出的 3 个球的颜色都不相同的概率为 P13121 .620 310(2)由题意知 X0,1,2,3.P(X0) ， P(X1) ，C3C36 120 C13C23C36 920P(X2) ， P(X3) .C23C13C36 920 C3C36 120所以 X 的分布列为X 0 1 2 3P 120 920 920 120引申探究1在本例条件下，若记取到白球的个数为随机变量 ，求随机变量 的分布列解
6、由题意可知 0,1，服从两点分布又 P( 1) ，所以 的分布列为C25C36 12 0 14P 12 122将本例的条件“一次随机抽取 3 个球”改为“有放回地抽取 3 次球，每次抽取 1 个球” ，其他条件不变，结果又如何？解 (1)取出 3 个球颜色都不相同的概率P .C13C12C1A363 16(2)由题意知 X0,1,2,3.P(X0) ，3363 18P(X1) .C1333363 38P(X2) ，C23C133363 38P(X3) .3363 18所以 X 的分布列为X 0 1 2 3P 18 38 38 18反思与感悟 超几何分布的求解步骤(1)辨模型：结合实际情景分析所
7、求概率分布问题是否由具有明显的两部分组成，如“男生、女生” ， “正品、次品” “优劣”等，或可转化为明显的两部分具有该特征的概率模型为超几何分布模型(2)算概率：可以直接借助公式 P(X k) 求解，也可以利用排列、组合及概率的知CkMCn kN MCnN识求解，需注意借助公式求解时应理解参数 M， N， n， k 的含义(3)列分布表：把求得的概率值通过表格表示出来跟踪训练 2 某市 A， B 两所中学的学生组队参加辩论赛， A 中学推荐了 3 名男生、2 名女生，B 中学推荐了 3 名男生、4 名女生，两校所推荐的学生一起参加集训由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取 3 人
8、、女生中随机抽取 3 人组成代表队(1)求 A 中学至少有 1 名学生入选代表队的概率；5(2)某场比赛前，从代表队的 6 名队员中随机抽取 4 人参赛，设 X 表示参赛的男生人数，求X 的分布列考点 超几何分布题点 求超几何分布的分布列解 (1)由题意知，参加集训的男生、女生各有 6 人代表队中的学生全从 B 中学抽取(等价于 A 中学没有学生入选代表队)的概率为 ，C3C34C36C36 1100因此， A 中学至少有 1 名学生入选代表队的概率为 1 .1100 99100(2)根据题意， X 的所有可能取值为 1,2,3.P(X1) ， P(X2) ，C13C3C46 15 C23C2
9、3C46 35P(X3) .C3C13C46 15所以 X 的分布列为X 1 2 3P 15 35 151设某项试验的成功率是失败率的 2 倍，用随机变量 去表示 1 次试验的成功次数，则P( 0)等于( )A0 B. C. D.12 13 23考点 离散型随机变量的分布列题点 两点分布答案 C解析 由题意知该分布为两点分布，又 P( 1)2 P( 0)且 P( 1) P( 0)1， P( 0) .132已知在 15 个村庄中有 7 个村庄交通不方便，现从中任意选 10 个村庄，用 X 表示 10 个村庄中交通不方便的村庄数，则下列概率中等于 的是( )C47C68C105A P(X2) B
10、P(X2)6C P(X4) D P(X4)考点 超几何分布题点 利用超几何分布求概率答案 C解析 X 服从超几何分布，基本事件总数为 C ，所求事件数为 C C ， P(X4)105 X710 X8.C47C68C1053若随机变量 X 服从两点分布，且 P(X0)0.8， P(X1)0.2.令 Y3 X2，则P(Y2)等于( )A0.8 B0.2 C0.4 D0.1考点 离散型随机变量的分布列题点 两点分布答案 A解析 因为 Y3 X2，所以 X (Y2)当 Y2 时， X0，所以 P(Y2) P(X0)130.8.4从 4 名男生和 2 名女生中任选 3 人参加数学竞赛，则所选 3 人中，
11、女生的人数不超过 1人的概率为_考点 超几何分布题点 利用超几何分布求概率答案 45解析 设所选女生数为随机变量 X，则 X 服从超几何分布，所以 P(X1) P(X0) P(X1) .C02C34C36 C12C24C36 455交 5 元钱，可以参加一次摸奖，一袋中有同样大小的球 10 个，其中 8 个标有 1 元钱，2个标有 5 元钱，摸奖者只能从中任取 2 个球，他所得奖励是所抽 2 球的钱数之和，求抽奖人所得钱数的分布列考点 超几何分布题点 求超几何分布的分布列解 设抽奖人所得钱数为随机变量 ，则 2,6,10.P( 2) ，C28C210 2845P( 6) ，C18C12C210
12、 16457P( 10) .C2C210 145故 的分布列为 2 6 10P 2845 1645 1451两点分布：两点分布是很简单的一种概率分布，两点分布的试验结果只有两种可能，要注意成功概率的值指的是哪一个量2超几何分布：超几何分布在实际生产中常用来检验产品的次品数，只要知道 N， M 和 n 就可以根据公式：P(X k) 求出 X 取不同值 k 时的概率学习时，不能机械地去记忆公式，而要结合CkMCn kN MCnN条件以及组合知识理解 M， N， n， k 的含义一、选择题1从一副不含大、小王的 52 张扑克牌中任意抽出 5 张，则至少有 3 张是 A 的概率为( )A. B.C34
13、C248C52 C348C24C52C1 D.C148C4C52 C34C248 C4C148C52考点 超几何分布题点 利用超几何分布求概率答案 D解析 设 X 为抽出的 5 张扑克牌中含 A 的张数，则 P(X3) P(X3) P(X4) C34C248C52.C4C148C522下列随机事件中的随机变量 X 服从超几何分布的是( )A将一枚硬币连抛 3 次，正面向上的次数 XB从 7 名男生与 3 名女生共 10 名学生干部中选出 5 名优秀学生干部，选出女生的人数为 XC某射手的命中率为 0.8，现对目标射击 1 次，记命中目标的次数为 XD盒中有 4 个白球和 3 个黑球，每次从中摸
14、出 1 球且不放回， X 是首次摸出黑球时的总次8数考点 超几何分布题点 超几何分布的概念答案 B解析 由超几何分布的定义可知 B 正确3在 100 张奖券中，有 4 张能中奖，从中任取 2 张，则 2 张都能中奖的概率是( )A. B. C. D.150 125 1825 14 950考点 超几何分布题点 利用超几何分布求概率答案 C解析 记 X 为 2 张中的中奖数，则 P(X2) .C24C096C2100 1825410 名同学中有 a 名女生，若从中抽取 2 个人作为学生代表，恰抽取 1 名女生的概率为 ，1645则 a 等于( )A1 B2 或 8 C2 D8考点 超几何分布题点
15、利用超几何分布求概率答案 B解析 由题意知， ，1645 C 110 aC1aC210解得 a2 或 8.5一个盒子里装有大小相同的 10 个黑球，12 个红球，4 个白球，从中任取 2 个，其中白球的个数记为 X，则下列概率等于 的是( )C122C14 C2C26A P(02 02轿车数量(辆) 2 3 45 5 45每辆利润(万元) 1 2 3 1.8 2.9将频率视为概率，解答下列问题：(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率；(2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为 X1，生产一辆乙品牌轿车的利润为 X2，分别求 X1， X
16、2的分布列考点 离散型随机变量的分布列题点 求离散型随机变量的分布列解 (1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件 A，则 P(A) .2 350 110(2)依题意得， X1的分布列为X1 1 2 3P 125 350 910X2的分布列为X2 1.8 2.9P 110 910四、探究与拓展14一袋中装有 10 个大小相同的黑球和白球已知从袋中任意摸出 2 个球，至少得到 1 个白球的概率是 .从袋中任意摸出 3 个球，记得到白球的个数为 X，则 P(X2)_.7912考点 超几何分布题点 利用超几何分布求概率答案 512解析 设 10 个球中有白球 m 个，则 1 ，C 210
17、 mC210 79解得 m5 或 m14(舍去)所以 P(X2) .C25C15C310 51215为了迎接即将到来的某商界大会，大会组委会在某学院招募了 12 名男志愿者和 18 名女志愿者做接待工作，将这 30 名志愿者的身高编成如图所示的茎叶图(单位：cm)若身高在175 cm 以上(包括 175 cm)定义为“高个子” ，身高在 175 cm 以下(不包括 175 cm)定义为“非高个子” ，且只有“女高个子”才担任“礼仪小姐” (1)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中选取 5 人，再从这 5 人中选 2 人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？(2)若从所有“高个子
18、”中选 3 名志愿者，用 X 表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出 X 的分布列考点 超几何分布题点 求超几何分布的分布列解 (1)根据茎叶图，有“高个子”12 人， “非高个子”18 人，用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是 ，所以选中的“高个子”有 12 2(人)， “非高个子”有530 16 1618 3(人)16用事件 A 表示“至少有一名高个子被选中” ，则它的对立事件 表示“没有一个高个子被选中” ，A则 P(A)1 P( )1 1 .AC23C25 310 710因此，至少有一人是“高个子”的概率是 .710(2)依题意， X 的可能取值为 0,1,2,3.13P(X0) ，C38C312 1455P(X1) ，C14C28C312 2855P(X2) ，C24C18C312 1255P(X3) .C34C312 155因此， X 的分布列为X 0 1 2 3P 1455 2855 1255 155
