1、12.2.3 独立重复试验与二项分布学习目标 1.理解 n 次独立重复试验的模型.2.掌握二项分布公式.3.能利用独立重复试验的模型及二项分布解决一些简单的实际问题知识点一 独立重复试验思考 1 要研究抛掷硬币的规律，需做大量的掷硬币试验其前提是什么？答案 条件相同思考 2 试验结果有哪些？答案 正面向上或反面向上，即事件发生或者不发生思考 3 各次试验的结果有无影响？答案 无，即各次试验相互独立梳理 (1)定义：在相同条件下重复做的 n 次试验称为 n 次独立重复试验(2)基本特征：每次试验是在同样条件下进行每次试验都只有两种结果：发生与不发生各次试验之间相互独立每次试验，某事件发生的概率都
2、是一样的知识点二 二项分布在体育课上，某同学做投篮训练，他连续投篮 3 次，每次投篮的命中率都是 0.8，用Ai(i1,2,3)表示第 i 次投篮命中这个事件，用 Bk表示仅投中 k 次这个事件思考 1 用 Ai如何表示 B1，并求 P(B1)2答案 B1( A1 2 3)( 1A2 3)( 1 2A3)，A A A A A A因为 P(A1) P(A2) P(A3)0.8，且 A1 2 3， 1A2 3， 1 2A3两两互斥，A A A A A A故 P(B1)0.80.2 20.80.2 20.80.2 230.80.2 20.096.思考 2 试求 P(B2)和 P(B3)答案 P(B2
3、)30.20.8 20.384，P(B3)0.8 30.512.思考 3 由以上问题的结果你能得出什么结论？答案 P(Bk)C 0.8k0.23 k(k0,1,2,3)k3梳理 在 n 次独立重复试验中，用 X 表示事件 A 发生的次数，设每次试验中事件 A 发生的概率为 p，则 P(X k)C pk(1 p)n k， k0,1,2， n.kn此时称随机变量 X 服从二项分布，记作 X B(n， p)，并称 p 为成功概率1有放回地抽样试验是独立重复试验( )2在 n 次独立重复试验中，各次试验的结果相互没有影响( )3在 n 次独立重复试验中，各次试验中事件发生的概率可以不同( )4如果在
4、1 次试验中某事件发生的概率是 p，那么在 n 次独立重复试验中这个事件恰好发生 k 次的概率 P(X k)C pk(1 p)n k， k0,1,2， n.( )kn类型一 独立重复试验的概率例 1 甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是 和 ，假设每次射击是否击中目标，23 34相互之间没有影响(结果需用分数作答)(1)求甲射击 3 次，至少有 1 次未击中目标的概率；(2)求两人各射击 2 次，甲恰好击中目标 2 次且乙恰好击中目标 1 次的概率考点 独立重复试验的计算题点 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率解 (1)记“甲射击 3 次至少有 1 次未击中目标”为事件 A1，由
5、题意，知射击 3 次，相当于3 次独立重复试验，故 P(A1)1 P( 1)1 3 .A (23) 19273(2)记“甲射击 2 次，恰有 2 次击中目标”为事件 A2， “乙射击 2 次，恰有 1 次击中目标”为事件 B2，则 P(A2)C 2 ， P(B2)C 1 ，由于甲、乙射击相互独立，2 (23) 49 12 (34) (1 34) 38故 P(A2B2) .49 38 16引申探究1在本例(2)的条件下，求甲、乙均击中目标 1 次的概率解 记“甲击中目标 1 次”为事件 A3， “乙击中目标 1 次”为事件 B3，则 P(A3)C ， P(B3) ，1223 13 49 38所以
6、甲、乙均击中目标 1 次的概率为 P(A3B3) .49 38 162在本例(2)的条件下，求甲未击中，乙击中 2 次的概率解 记“甲未击中目标”为事件 A4， “乙击中 2 次”为事件 B4，则 P(A4)C 2 ， P(B4)C 2 ，所以甲未击中、乙击中 2 次的概率为 P(A4B4)02(123) 19 2(34) 916 .19 916 116反思与感悟 独立重复试验概率求法的三个步骤(1)判断：依据 n 次独立重复试验的特征，判断所给试验是否为独立重复试验(2)分拆：判断所求事件是否需要分拆(3)计算：就每个事件依据 n 次独立重复试验的概率公式求解，最后利用互斥事件概率加法公式计
7、算跟踪训练 1 某气象站天气预报的准确率为 80%，计算(结果保留到小数点后面第 2 位)：(1)“5 次预报中恰有 2 次准确”的概率；(2)“5 次预报中至少有 2 次准确”的概率考点 独立重复试验的计算题点 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率解 (1)记“预报一次准确”为事件 A，则 P(A)0.8，5 次预报相当于 5 次独立重复试验“恰有 2 次准确”的概率为PC 0.820.230.051 20.05，25因此 5 次预报中恰有 2 次准确的概率约为 0.05.(2)“5 次预报中至少有 2 次准确”的对立事件为“5 次预报全部不准确或只有 1 次准确” 其概率为 PC (
8、0.2)5C 0.80.240.006 72.05 15所以所求概率为 1 P10.006 720.99.4所以“5 次预报中至少有 2 次准确”的概率约为 0.99.类型二 二项分布例 2 已知某种从太空飞船中带回来的植被种子每粒成功发芽的概率都为 ，某植物研究所13分两个小组分别独立开展该种子的发芽试验，每次试验种一粒种子，如果某次没有发芽，则称该次试验是失败的(1)第一小组做了 3 次试验，记该小组试验成功的次数为 X，求 X 的分布列；(2)第二小组进行试验，到成功了 4 次为止，求在第 4 次成功之前共有 3 次失败的概率考点 二项分布的计算及应用题点 求二项分布的分布列解 (1)由
9、题意，得随机变量 X 可能取值为 0,1,2,3，则 X B .(3，13)即 P(X0)C 0 3 ，03(13)(1 13) 827P(X1)C 1 2 ，13(13)(1 13) 49P(X2)C 2 1 ，23(13)(1 13) 29P(X3)C 3 .3(13) 127所以 X 的分布列为X 0 1 2 3P 827 49 29 127(2)第二小组第 7 次试验成功，前面 6 次试验中有 3 次失败，3 次成功，每次试验又是相互独立的，因此所求概率为 PC 3 3 .36(13) (1 13) 13 1602 187反思与感悟 (1)当 X 服从二项分布时，应弄清 X B(n，
10、p)中的试验次数 n 与成功概率 p.(2)解决二项分布问题的两个关注点对于公式 P(X k)C pk(1 p)n k(k0,1,2， n)，必须在满足“独立重复试验”时kn才能应用，否则不能应用该公式判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验是独立重复地进行了 n 次5跟踪训练 2 某一中学生心理咨询中心服务电话接通率为 ，某班 3 名同学商定明天分别就34同一问题询问该服务中心且每人只拨打一次，求他们中成功咨询的人数 X 的分布列考点 二项分布的计算及应用题点 求二项分布的分布列解 由题意可知 X B ，(3，34)
11、所以 P(X k)C k 3 k， k0,1,2,3，k3(34) (14)即 P(X0)C 0 3 ；03 (34) (14) 164P(X1)C 2 ；1334 (14) 964P(X2)C 2 ；23 (34) 14 2764P(X3)C 3 .3 (34) 2764所以 X 的分布列为X 0 1 2 3P 164 964 2764 2764类型三 二项分布的综合应用例 3 一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有 5 个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是 .13(1)求这名学生在途中遇到红灯的次数 的分布列；(2)求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停
12、车前经过的路口数 的分布列；(3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率考点 二项分布的计算及应用题点 二项分布的实际应用解 (1)由 B ，则 P( k)C k 5 k， k 0,1,2,3,4,5.(5，13) k5(13)(23)即 P( 0)C 0 5 ；05 (13) (23) 32243P( 1)C 4 ；1513 (23) 802436P( 2)C 2 3 ；25 (13) (23) 80243P( 3)C 3 2 ；35 (13) (23) 40243P( 4)C 4 ；45 (13) 23 10243P( 5)C 5 .5 (13) 1243故 的分布列为 0 1 2 3 4
13、 5P 32243 80243 80243 40243 10243 1243(2) 的分布列为 P( k) P(前 k 个是绿灯，第 k1 个是红灯) k ， k0,1,2,3,4，(23) 13即 P( 0) 0 ；(23) 13 13P( 1) ；23 13 29P( 2) 2 ；(23) 13 427P( 3) 3 ；(23) 13 881P( 4) 4 ；(23) 13 16243P( 5) P(5 个均为绿灯) 5.(23)故 的分布列为 0 1 2 3 4 5P 13 29 427 881 16243 32243(3)所求概率为 P( 1)1 P( 0)1 5 .(23) 2112
14、43反思与感悟 对于概率问题的综合题，首先，要准确地确定事件的性质，把问题化归为古典概型、互斥事件、独立事件、独立重复试验四类事件中的某一种；其次，要判断事件是7A B 还是 AB，确定事件至少有一个发生，还是同时发生，分别应用相加或相乘事件公式；最后，选用相应的求古典概型、互斥事件、条件概率、独立事件、 n 次独立重复试验的概率公式求解跟踪训练 3 一个口袋内有 n(n3)个大小相同的球，其中 3 个红球和( n3)个白球，已知从口袋中随机取出 1 个球是红球的概率为 p.若 6pN，有放回地从口袋中连续 4 次取球(每次只取 1 个球)，在 4 次取球中恰好 2 次取到红球的概率大于 ，求
15、 p 与 n 的值827考点 二项分布的计算及应用题点 二项分布的实际应用解 由题设知，C p2(1 p)2 .24827 p(1 p)0，不等式化为 p(1 p) ，29解得 p ，故 26p4.13 23又6 pN，6 p3，即 p .由 ，得 n6.12 3n 121某一批花生种子，如果每 1 粒发芽的概率为 ，那么播下 3 粒种子恰有 2 粒发芽的概率是45( )A. B. C. D.12125 48125 16125 96125考点 独立重复试验的计算题点 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率答案 B解析 播下 3 粒种子恰有 2 粒发芽的概率为 C 2 .23(45) (1
16、45) 481252某电子管正品率为 ，次品率为 ，现对该批电子管进行测试，设第 X 次首次测到正品，34 14则 P(X3)等于( )AC 2 BC 223(14) 34 23(34) 148C. 2 D. 2(14) 34 (34) 14考点 独立重复试验的计算题点 用独立重复试验的概率公式求概率答案 C解析 P(X3) 2 .(14) 343在 4 次独立重复试验中，随机事件 A 恰好发生 1 次的概率不大于其恰好发生 2 次的概率，则事件 A 在 1 次试验中发生的概率 p 的取值范围是( )A0.4,1 B(0,0.4C(0,0.6 D0.6,1考点 独立重复试验的计算题点 n 次独
17、立重复试验概率的应用答案 A解析 由题意知 C p(1 p)3C p2(1 p)2，14 24解得 p0.4，故选 A.4设 X B(2， p)，若 P(X1) ，则 p_.59考点 二项分布的计算及应用题点 二项分布的实际应用答案 13解析 因为 X B(2， p)，所以 P(X k)C pk(1 p)2 k， k0,1,2.k2所以 P(X1)1 P(X1)1 P(X0)1C p0(1 p)21(1 p)2.02所以 1(1 p)2 ，结合 0p1，解得 p .59 135甲队有 3 人参加知识竞赛，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分假设甲队中每人答对的概率均为 ，且各人答
18、对正确与否相互之间没有影响用 表示23甲队的总得分，求随机变量 的分布列考点 二项分布的计算及应用题点 求二项分布的分布列解 由题意知， 的可能取值为 0,1,2,3，9且 P( 0)C 3 ，03 (123) 127P( 1)C 2 ，1323 (1 23) 29P( 2)C 2 ，23 (23) (1 23) 49P( 3)C 3 ，3 (23) 827所以 的分布列为 0 1 2 3P 127 29 49 8271独立重复试验要从三方面考虑：第一，每次试验是在相同条件下进行的；第二，各次试验的结果是相互独立的；第三，每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生2如果 1 次试验中某
19、事件发生的概率是 p，那么 n 次独立重复试验中这个事件恰好发生 k次的概率为 Pn(k)C pk(1 p)n k.此概率公式恰为(1 p) pn展开式的第 k1 项，故称kn该公式为二项分布公式一、选择题1若 X B(10,0.8)，则 P(X8)等于( )AC 0.880.22 BC 0.820.28810 810C0.8 80.22 D0.8 20.28考点 二项分布的计算及应用题点 利用二项分布求概率答案 A2某学生通过英语听力测试的概率为 ，他连续测试 3 次，那么其中恰有 1 次获得通过的概13率是( )A. B.29 4910C. D.427 227考点 独立重复试验的计算题点
20、n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率答案 B解析 记“恰有 1 次获得通过”为事件 A，则 P(A)C 2 .13(13) (1 13) 493一射手对同一目标独立地进行 4 次射击，已知至少命中一次的概率为 ，则此射手的命8081中率是( )A. B. C. D.13 23 14 25考点 独立重复试验的计算题点 n 次独立重复试验概率的应用答案 B解析 设此射手的命中概率为 x，则不能命中的概率为 1 x，由题意知 4 次射击全部没有命中目标的概率为 1 ，有(1 x)4 ，解得 x 或 x (舍去)8081 181 181 23 434甲、乙两人进行羽毛球比赛，比赛采取五局三胜制，
21、无论哪一方先胜三局比赛都结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为 ，则甲以 31 的比分获胜的概率为( )23A. B. C. D.827 6481 49 89考点 独立重复试验的计算题点 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率答案 A解析 当甲以 31 的比分获胜时，说明甲乙两人在前三场比赛中，甲只赢了两局，乙赢了一局，第四局甲赢，所以甲以 31 的比分获胜的概率为 PC 2 3 23(23)(1 23) 23 49 13 23，故选 A.8275位于坐标原点的一个质点 P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是 ，质点 P 移动五次后位于点
22、(2,3)的概率是( )12A. 5 BC 5(12) 25 (12)11CC 3 DC C 535 (12) 25 35 (12)考点 独立重复试验的计算题点 n 次独立重复试验概率的应用答案 B解析 如图，由题意可知，质点 P 必须向右移动 2 次，向上移动 3 次才能位于点(2,3)，问题相当于 5 次重复试验中向右恰好发生 2 次的概率，所求概率为 PC 2 3C 5.故选 B.25 (12) (12) 25 (12)6设随机变量 B(2， p)， B(3， p)，若 P( 1) ，则 P( 2)的值为( )59A. B. C. D.2027 827 727 127考点 二项分布的计算
23、及应用题点 利用二项分布求概率答案 C解析 易知 P( 0)C (1 p)21 ， p ，则 P( 2)C p3C p2(1 p)1 0259 13 3 23 127 .627 7277已知 X B ，则使 P(X k)最大的 k 的值是( )(6，12)A2 B3 C2 或 3 D4考点 二项分布的计算及应用题点 二项分布的实际应用答案 B解析 P(X k)C k 6 kC 6，k6(12) (12) k6(12)当 k3 时，C 6最大k6(12)8箱子里有 5 个黑球，4 个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱中，重新取球；若取出白球，则停止取球，那么在第 4 次取球之后停止的
24、概率为( )A. 3 B.(59) 49 C35C14C4512C. DC 335 14 14 (59) 49考点 独立重复试验的计算题点 用独立重复试验的概率公式求概率答案 A解析 由题意知前 3 次取出的均为黑球，第 4 次取得的为白球故其概率为 3 .(59) 49二、填空题9从次品率为 0.1 的一批产品中任取 4 件，恰有两件次品的概率为_考点 独立重复试验的计算题点 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率答案 0.048 6解析 PC (0.1)2(10.1) 20.048 6.2410已知实验女排和育才女排两队进行比赛，在一局比赛中实验女排获胜的概率是 ，没有23平局若采用三
25、局两胜制，即先胜两局者获胜且比赛结束，则实验女排获胜的概率为_考点 独立重复试验的计算题点 n 次独立重复试验概率的计算答案 2027解析 实验女排要获胜必须赢得两局，故获胜的概率为P 2 .(23) 23 13 23 13 23 23 202711在等差数列 an中， a42， a74，现从 an的前 10 项中随机取数，每次取出一个数，取后放回，连续抽取 3 次，假定每次取数互不影响，那么在这三次取数中，取出的数恰好为两个正数和一个负数的概率为_考点 独立重复试验的计算题点 n 次独立重复试验概率的应用答案 625解析 由已知可求得通项公式为 an102 n(n1,2,3，)，其中 a1，
26、 a2， a3， a4为正数，a50， a6， a7， a8， a9， a10为负数，从中取一个数为正数的概率为 ，为负数的概率410 25为 .取出的数恰好为两个正数和一个负数的概率为 C 2 1 .12 23 (25) (12) 625三、解答题1312某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各 2 棵设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为 和 ，且各棵大树是否成活互不影响，求移栽的 4 棵大树中，56 45(1)至少有 1 棵成活的概率；(2)两种大树各成活 1 棵的概率考点 独立重复试验的计算题点 n 次独立重复试验概率的应用解 设 Ak表示第 k 棵甲种大树成活， k1,2， Bl表示第
27、l 棵乙种大树成活， l1,2，则 A1， A2， B1， B2相互独立，且 P(A1) P(A2) ，56P(B1) P(B2) .45(1)至少有 1 棵成活的概率为 1 P( 1 2 1 2)A A B B1 P( 1)P( 2)P( 1)P( 2)A A B B1 2 2 .(16)(15) 899900(2)由独立重复试验中事件发生的概率公式知，所求概率为PC C12(56)(16) 12(45)(15) .1036 825 80900 44513在一次数学考试中，第 21 题和第 22 题为选做题规定每位考生必须且只需在其中选做一题设 4 名考生选做每一道题的概率均为 .12(1)
28、求其中甲、乙两名学生选做同一道题的概率；(2)设这 4 名考生中选做第 22 题的学生个数为 ，求 的分布列考点 二项分布的计算及应用题点 求二项分布的分布列解 (1)设事件 A 表示“甲选做第 21 题” ，事件 B 表示“乙选做第 21 题” ，则甲、乙两名学生选做同一道题的事件为“ AB ”，且事件 A， B 相互独立AB故 P(AB )AB P(A)P(B) P( )P( )A B .12 12 (1 12) (1 12) 12(2)随机变量 的可能取值为 0,1,2,3,4，14且 B .(4，12)则 P( k)C k 4 kk4(12)(1 12)C 4(k0,1,2,3,4)k
29、4(12)即 P( 0)C 4 ；04(12) 116P( 1)C 4 ；14(12) 14P( 2)C 4 ；24(12) 38P( 3)C 4 ；34(12) 14P( 4)C 4 .4(12) 116故随机变量 的分布列为 0 1 2 3 4P 116 14 38 14 116四、探究与拓展14口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球，每次有放回地摸取一个球，定义数列 an，anError! 如果 Sn为数列 an的前 n 项和，那么 S73 的概率为( )AC 2 557 (13) (23)BC 2 227 (23) (13)CC 2 557 (13) (13)DC 2 527 (23)
30、 (13)考点 独立重复试验的计算题点 n 次独立重复试验概率的应用答案 D解析 由 S73 知，在 7 次摸球中有 2 次摸取红球，5 次摸取白球，而每次摸取红球的概率为 ，摸取白球的概率为 ，则 S73 的概率为 C 2 5，故选 D.23 13 27 (23) (13)15网上购物逐步走进大学生活，某大学学生宿舍 4 人积极参加网购，大家约定：每个人通15过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪家购物，掷出点数为 5 或 6 的人去淘宝网购物，掷出点数小于 5 的人去京东商城购物，且参加者必须从淘宝网和京东商城选择一家购物(1)求这 4 个人中恰有 1 人去淘宝网购物的概率；(2)用 ， 分别
31、表示这 4 个人中去淘宝网和京东商城购物的人数，令 X ，求随机变量 X 的分布列考点 二项分布的计算及应用题点 二项分布的实际应用解 依题意，得这 4 个人中，每个人去淘宝网购物的概率为 ，去京东商城购物的概率为 .13 23设“这 4 个人中恰有 i 人去淘宝网购物”为事件 Ai(i0,1,2,3,4)，则 P(Ai)C i 4 i(i0,1,2,3,4)i4(13)(23)(1)这 4 个人中恰有 1 人去淘宝网购物的概率为P(A1)C 1 3 .14(13)(23) 3281(2)易知 X 的所有可能取值为 0,3,4.P(X0) P(A0) P(A4)C 0 4C 4 004(13) (23) 4(13) (23) ，1681 181 1781P(X3) P(A1) P(A3)C 1 3C 3 114(13) (23) 34(13) (23) ，3281 881 4081P(X4) P(A2)C 2 2 .24(13)(23) 2481所以随机变量 X 的分布列是X 0 3 4P 1781 4081 2481
