1、1一 数学归纳法课后篇巩固探究1.用数学归纳法证明 1+2+3+(2n+1)=(n+1)(2n+1)时,在验证 n=1 成立时,左边所得的代数式为( )A.1 B.1+3C.1+2+3 D.1+2+3+4解析 当 n=1 时,左边有 2n+1=21+1=3,所以左边所得的代数式为 1+2+3.答案 C2.已知 n 是正奇数,用数学归纳法证明时,若已假设当 n=k(k1,且为奇数)时命题为真,则还需证明( )A.当 n=k+1 时命题成立B.当 n=k+2 时命题成立C.当 n=2k+2 时命题成立D.当 n=2(k+2)时命题成立解析 因为 n 是正奇数,所以只需证明等式对所有奇数都成立即可
2、.又 k 的下一个奇数是 k+2,故选 B.答案 B3.用数学归纳法证明 12+22+(n-1)2+n2+(n-1)2+22+12= 时,由 n=k(k1)的假设到(22+1)3证明 n=k+1 时,等式左边应添加的式子是( )A.(k+1)2+2k2 B.(k+1)2+k2C.(k+1)2 D. (k+1)2(k+1)2+1132解析 当 n=k(k1)时,左边为 12+22+(k-1)2+k2+(k-1)2+22+12,当 n=k+1 时,左边为12+22+k2+(k+1)2+k2+22+12,分析等式变化规律可知左边实际增加的是( k+1)2+k2.答案 B4. 导学号 26394063
3、 下列代数式(其中 kN +)能被 9 整除的是( )A.6+67k B.2+7k-1C.2(2+7k+1) D.3(2+7k)解析 (1)当 k=1 时,显然只有 3(2+7k)能被 9 整除 .(2)假设当 k=n(nN +,n1)时命题成立,即 3(2+7k)能被 9 整除 .当 k=n+1 时,3(2 +7k+1)=21(2+7k)-36 也能被 9 整除 .这就是说,当 k=n+1 时命题也成立 .由(1)(2)可知,3(2 +7k)能被 9 整除对任何 kN +都成立 .答案 D5.用数学归纳法证明 1- + + ,第一步应验证的等式12+1314 12-112= 1+1+ 1+2
4、 12是 . 解析 当 n=1 时,等式的左边为 1- ,右边 = ,所以左边 =右边 .12=12 12答案 1-12=126.若凸 n(n4)边形有 f(n)条对角线,则凸( n+1)边形的对角线条数 f(n+1)为 .解析 由题意知 f(n+1)-f(n)=n-1,则 f(n+1)=f(n)+n-1.答案 f(n)+n-17.若 s(n)=1+ + (nN +),则 s(5)-s(4)= . 12+13 13-13解析 依题意, s(5)=1+ + ,12+13 114s(4)=1+ + ,12+13 111于是 s(5)-s(4)= .112+113+114答案112+113+1148
5、.已知 f(n)=(2n+7)3n+9(nN +),用数学归纳法证明 f(n)能被 36 整除 .证明 (1)当 n=1 时, f(1)=(2+7)3+9=36,能被 36 整除,命题成立 .(2)假设当 n=k(k1)时命题成立,即 f(k)=(2k+7)3k+9 能被 36 整除 .当 n=k+1 时, f(k+1)=2(k+1)+73k+1+9=(2k+7)3k+1+23k+1+9=(2k+7)3k3+23k+1+9=3(2k+7)3k+9-27+23k+1+9=3(2k+7)3k+9+18(3k-1-1).由于 3k-1-1 是 2 的倍数,则 18(3k-1-1)能被 36 整除,即
6、当 n=k+1 时命题也成立 .由(1)(2)可知,对一切正整数 n,都有 f(n)=(2n+7)3n+9 能被 36 整除 .9. 导学号 26394064 用数学归纳法证明:1 2-22+32-42+(-1)n-1n2=(-1)n-1(nN +).(+1)2证明 (1)当 n=1 时,左边 =12=1,右边 =(-1)0 =1,左边 =右边,命题成立 .1(1+1)2(2)假设当 n=k(k1)时命题成立,即 12-22+32-42+(-1)k-1k2=(-1)k-1 .(+1)2当 n=k+1 时,12-22+32-42+(-1)k-1k2+(-1)k(k+1)24=(-1)k-1 +(
7、-1)k(k+1)2(+1)2=(-1)k(k+1)(+1)-2=(-1)k .(+1)(+1)+12因此,当 n=k+1 时命题也成立,根据(1)(2)可知,命题对于任何 nN +等式成立 .10. 导学号 26394065 已知正项数列 an的前 n 项和为 Sn,且 +2an=4Sn.2(1)计算 a1,a2,a3,a4的值,并猜想数列 an的通项公式;(2)用数学归纳法证明(1)中猜想的结论 .解 (1)当 n=1 时, +2a1=4S1,即 +2a1=4a1,21 21整理,得 -2a1=0,21解得 a1=2(a1=0 舍去) .当 n=2 时, +2a2=4S2,即 +2a2=4
8、(2+a2),22 22整理,得 -2a2-8=0,22解得 a2=4(a2=-2 舍去) .当 n=3 时, +2a3=4S3,即 +2a3=4(2+4+a3),23 23整理,得 -2a3-24=0,23解得 a3=6(a3=-4 舍去) .当 n=4 时, +2a4=4S4,即 +2a4=4(2+4+6+a4),24 24整理,得 -2a4-48=0,24解得 a4=8(a4=-6 舍去) .由以上结果猜想数列 an的通项公式为 an=2n.5(2)下面用数学归纳法证明 an的通项公式为 an=2n. 当 n=1 时, a1=2,由(1)知,猜想成立 . 假设当 n=k(k1)时猜想成立,即 ak=2k,这时有 +2ak=4Sk,即 Sk=k2+k.2当 n=k+1 时, +2ak+1=4Sk+1,2+1即 +2ak+1=4(Sk+ak+1),2+1所以 -2ak+1=4k2+4k,2+1解得 ak+1=2k+2(ak+1=-2k 舍去) .故当 n=k+1 时,猜想也成立 .由 可知,猜想对任意 nN +都成立 .
