1、1专题 3.5 带电粒子在有界匀强磁场中的临界极值问题该类问题主要解决外界提供什么样以及多大的磁场，使运动电荷在有限的空间内完成规定偏转程度的要求，一般求解磁场分布区域的最小面积，它在实际中的应用就是磁约束。1. 从关键词找突破口：许多临界问题，题干中常用“恰好” 、 “最大” 、 “至少” 、 “不相撞” 、 “不脱离”等词语对临界状态给以暗示，审题时，一定要抓住这些特定的词语挖掘其隐藏的规律，找出临界条件。2. 常用方法对称法：如果磁场边界是直线，那么粒子进入磁场时速度与边界的夹角和射出磁场时速度和边界的夹角相等。旋转平移法：当带电粒子进入磁场时的速率相同而方向不同时，粒子运动轨迹的圆周半
2、径是相同的，所以可将圆周以入射点为转轴进行旋转或平移，从而探索出临界条件，这种方法称为“旋转平移法” 。 放缩法：粒子源发射速度方向一定、大小不同的带电粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速率的变化而变化，将半径放缩作轨迹，从而探索出临界条件，这种方法称为“放缩法” 。【典例 1】(2016全国卷) 平面 OM 和平面 ON 之间的夹角为 30，其横截面(纸面)如图所示，平面 OM上方存在匀强磁场，磁感应强度大小为 B，方向垂直于纸面向外。一带电粒子的质量为 m，电荷量为 q(q0)。粒子沿纸面以大小为 v 的速度从 OM 的某点向左上方射入磁场，速度与 OM 成
3、 30角。已知该粒子在磁场中的运动轨迹与 ON 只有一个交点，并从 OM 上另一点射出磁场。不计重力。粒子离开磁场的出射点到两平面交线 O 的距离为( )A. B.mv2qB 3mvqBC. D.2mvqB 4mvqB【答案】 D【解析】 如图所示，粒子在磁场中运动的轨迹半径为 R 。设入射点为 A，出射点为 B，圆弧与 ON 的交点为 P。由粒子运动mvqB的对称性及粒子的入射方向知， AB R。2由几何图形知， AP R，则 AO AP3 R，所以 OB4 R 。故选项 D 正确。3 34mvqB【典例 2】如图所示，成 30角的直线 OA、 OB 间(含 OA、 OB 线上)有一垂直纸面
4、向里的匀强磁场， OA 边界上的 S 点有一电子源，在纸面内向各个方向均匀发射速率相同的电子，电子在磁场中运动的半径为 r、周期为 T。已知从 OB 边界射出的电子在磁场中运动的最短时间为 ，则下列说法正确的是( )T6A沿某一方向发射的电子，可能从 O 点射出B沿某一方向发射的电子，可能沿垂直于 OB 的方向射出C从 OA 边界射出的电子在磁场中运动的最长时间为T3D从 OB 边界射出的电子在磁场中运动的最长时间为T4【答案】BC 【解析】当出射点 D 与 S 点的连线垂直于 OB 时，弦 SD 最短，轨迹所对的圆心角最小，则粒子在磁场中运动的时间最短， t T ，则 60，如图 1 所示：
5、360 T6【典例 3】如图所示，在平面直角坐标系 xOy 的第四象限有垂直纸面向里的匀强磁场，一质量为m5.010 8 kg、电量为 q1.010 6 C 的带电粒子，从静止开始经 U010 V 的电压加速后，从 P 点沿图示方向进入磁场，已知 OP30 cm，(粒子重力不计，sin 370.6，cos 370.8)，求：3(1)带电粒子到达 P 点时速度 v 的大小；(2)若磁感应强度 B2.0 T，粒子从 x 轴上的 Q 点离开磁场，求 OQ 的距离；(3)若粒子不能进入 x 轴上方，求磁感应强度 B满足的条件。【答案】 (1)20 m/s (2)0.90 m (3) B5.33 T(取
6、“”也可)【解析】 (1)对带电粒子的加速过程，由动能定理 qU0 mv212代入数据得： v20 m/s。(2)带电粒子仅在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，有：由几何关系可知：OQ R Rsin 53故 OQ0.90 m。(3)带电粒子不从 x 轴射出(如图乙)，由几何关系得：OPR Rcos 53RmvqB4由以上两式并代入数据得：B T5.33 T(取“”也可)。163【典例 4】(2018 福州模拟)如图所示，有一矩形区域 abcd，水平边长为 s m，竖直边长为 h1 m，当3该区域只存在大小为 E10 N/C、方向竖直向下的匀强电场时，一比荷为 0.1 C/kg 的正粒子由 a 点沿
7、qmab 方向以速率 v0进入该区域，粒子运动轨迹恰好通过该区域的几何中心。当该区域只存在匀强磁场时，另一个比荷也为 0.1 C/kg 的负粒子由 c 点沿 cd 方向以同样的速率 v0进入该区域，粒子运动轨迹也恰qm好通过该区域的几何中心。不计粒子的重力，则( )A正、负粒子离开矩形区域时的速率均为 m/s32B磁感应强度大小为 T，方向垂直纸面向外32C正、负粒子各自通过矩形区域所用时间之比为6D正、负粒子各自离开矩形区域时的动能相等【答案】C【解析】 当区域内只有竖直向下的电场时，由正粒子恰好通过该区域的几何中心，则有：水平方向 v0t；竖直方向有 t2，联立解得 v0 m/s，显然离开
8、电场时从 cd 边射出，此时速率为 v s2 h2 12 Eqm 32 m/s，负粒子在匀强磁场区域做匀速圆周运动，离开矩形区域的速度为 v0 m/s，v02 2Eqmh 112 32所以选项 A 错误；当负粒子沿 cd 方向射入时，由几何关系和题意知道负粒子做匀速圆周运动的半径r h1 m，由洛伦兹力提供向心力得 B 5 T，方向垂直纸面向里，所以选项 B 错误；当正粒子mv0qr 3从 cd 边射出时： h t 2，代入数据得 t s，由上述分析，负粒子在磁场中偏转 90后从12 Eqm 2ab 边射出，时间 t T s，所以两者的时间之比 ，所以选项 C 正确；由于正粒子14 14 2
9、mBq 3 tt 6在电场中是做匀加速曲线运动，所以速度将增加，而负粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，速度大小不变，且两种粒子的比荷虽然相等，但质量大小情况不明，所以两种粒子离开矩形区域时动能不相等，所以选项D 错误。【典例 5】(2016全国卷)一圆筒处于磁感应强度大小为 B 的匀强磁场中，磁场方向与筒的轴平行，筒5的横截面如图所示。图中直径 MN 的两端分别开有小孔，筒绕其中心轴以角速度 顺时针转动。在该截面内，一带电粒子从小孔 M 射入筒内，射入时的运动方向与 MN 成 30角。当筒转过 90时，该粒子恰好从小孔 N 飞出圆筒。不计重力。若粒子在筒内未与筒壁发生碰撞，则带电粒子的比荷为(
10、)A. B.3B 2BC. D. B 2B【答案】 A【解析】 如图所示，粒子在磁场中做匀速圆周运动，圆弧 AMP所对应的圆心角由几何知识知为 30，则 ，即2 2 mqB 30360 ，选项 A 正确。qm 3B【跟踪训练】1.如图所示，在 x0、 y0 的空间有恒定的匀强磁场，磁感应强度的方向垂直于 xOy 平面向里，大小为 B，现有四个质量及电荷量均相同的带电粒子，由 x 轴上的 P 点以不同的初速度平行于 y 轴射入此磁场，其出射方向如图所示，不计重力的影响，则( )A初速度最大的粒子是沿方向射出的粒子B初速度最大的粒子是沿方向射出的粒子C在磁场中运动时间最长的是沿方向射出的粒子6D在
11、磁场中运动时间最短的是沿方向射出的粒子【答案】A 2如图所示，在一挡板 的上方，有磁感应强度为 的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里。 为 上的一个粒子发射源，它能连续垂直磁场方向发射速率为 、质量为 、带电量为 的粒子，假设不计粒子的重力和粒子间的相互作用，粒子打到挡板上时均被挡板吸收。则在垂直于磁场的平面内，有粒子经过的区域面积是A B C D 【答案】C【解析】由题意可知粒子在磁场中的运动半径 ，所有粒子在磁场中半径相同，由图可知，由 O 点射入水平向右的粒子恰好应为最右端边界；随着粒子的速度方向偏转，粒子转动的轨迹圆可认为是以 O 点为圆心以 2R 为半径转动。如图所示，由几何图形可知，带
12、电粒子可能经过的区域的面积为： ，故选 C.3. 如图所示，垂直于纸面向里的匀强磁场分布在正方形 abcd 区域内， O 点是 cd 边的中点。一个带正电的粒子仅在磁场力的作用下，从 O 点沿纸面以垂直于 cd 边的速度射入正方形内，经过时间 t0后刚好从 c 点射出磁场。现设法使该带电粒子从 O 点沿纸面以与 Od 成 30角的方向，以大小不同的速率射入正方形内，那么下列说法中正确的是( )7A若该带电粒子在磁场中经历的时间是 t0，则它一定从 cd 边射出磁场53B若该带电粒子在磁场中经历的时间是 t0，则它一定从 ad 边射出磁场23C若该带电粒子在磁场中经历的时间是 t0，则它一定从
13、bc 边射出磁场54D若该带电粒子在磁场中经历的时间是 t0，则它一定从 ab 边射出磁场【答案】AC 【解析】如图所示，4. 如图所示，在平面直角坐标系中有一垂直纸面向里的圆形匀强磁场(未画出)，其边界过原点 O 和 y 轴上的点 a(0， L)。一质量为 m、电荷量为 e 的电子从 a 点以初速度 v0平行于 x 轴正方向射入磁场，并从 x轴上的 b 点射出磁场，此时速度的方向与 x 轴正方向的夹角为 60，下列说法正确的是( )A电子在磁场中运动的时间为 Lv0B电子在磁场中运动的时间为2 L3v0C磁场区域的圆心坐标为 (32L， L2)8D电子在磁场中做圆周运动的圆心坐标为(0，2
14、L)【答案】BC 【解析】 设电子的轨迹半径为 R，电子运动轨迹如图所示，由几何知识， Rcos 60 R L，得 R2 L，电子在磁场中运动时间 t ，而 T ，得： t ，AT6 2 Rv0 2 L3v0错误，B 正确；设磁场区域的圆心坐标为( x， y)，其中 x Rsin 60 L， y ，所以磁场圆心坐标为12 32 L2，故 C 正确；由 R 2L，且入射点坐标为(0， L)，所以电子的圆周运动的圆心坐标为(0， L)，故(32L， L2)D 错误。5如图所示，在一个圆形区域内，两个方向相反且都垂直于纸面的匀强磁场分布在以直径 A2A4为边界的两个半圆形区域、中， A2A4与 A1
15、A3的夹角为 60。一质量为 m、电荷量为 q 的粒子以某一速度从区的边缘点 A1处沿与 A1A3成 30角的方向射入磁场，随后该粒子沿垂直于 A2A4的方向经过圆心 O 进入区，最后再从 A4处射出磁场。已知该粒子从射入到射出磁场所用的时间为 t，求：(1)画出粒子在磁场和中的运动轨迹；(2)粒子在磁场和中的轨迹半径 R1和 R2的比值；(3)区和区中磁感应强度的大小(忽略粒子重力)。【答案】：(1)见解析 (2)21 (3) 5 m6qt 5 m3qt【解析】(1)画出粒子在磁场和中的运动轨迹如图所示。(2)设粒子的入射速度为 v，已知粒子带正电，故它在磁场中先顺时针做圆周运动，再逆时针做
16、圆周运动，最后从 A4点射出，用 B1、 B2， R1、 R2， T1、 T2分别表示在磁场、区的磁感应强度、轨迹半径和周期。9设圆形区域的半径为 r，已知带电粒子过圆心且垂直于 A2A4进入区磁场，连接 A1A2， A1OA2为等边三角形， A2为带电粒子在区磁场中运动轨迹的圆心，由几何关系知，其半径 R1 A1A2 OA2 r粒子在区磁场中运动的轨迹半径 R2r2即 21。R1R2(3)qvB1 mv2R1qvB2 mv2R2T1 2 R1v 2 mqB1T2 2 R2v 2 mqB2圆心角 A1A2O60，带电粒子在区磁场中运动的时间为 t1 T116在区磁场中运动的时间为 t2 T21
17、2带电粒子从射入到射出磁场所用的总时间 t t1 t2由以上各式可得 B1 ， B2 。5 m6qt 5 m3qt高考+模拟综合提升训练1.(2018 江苏高考 15)如图所示,真空中四个相同的矩形匀强磁场区域,高为 4d,宽为 d,中间两个磁场区域间隔为 2d,中轴线与磁场区域两侧相交于 O、O点,各区域磁感应强度大小相等。某粒子质量为 m、电荷量为+q,从 O 沿轴线射入磁场。当入射速度为 v0时,粒子从 O 上方 2d处射出磁场。取 sin 53=0.8,cos 53=0.6。(1)求磁感应强度大小 B。10(2)入射速度为 5v0时,求粒子从 O 运动到 O的时间 t。(3)入射速度仍
18、为 5v0,通过沿轴线 OO平移中间两个磁场(磁场不重叠),可使粒子从 O 运动到 O的时间增加t,求 t 的最大值。【答案】:(1) 04mvqd (2) 0(53+72)18dv (3) 05v【解析】(1)粒子圆周运动的半径 mrqB由题意知 r0= 4d,解得 0vBd(2)设粒子在矩形磁场中的偏转角为 ,半径为 r,由 r= mvqB得 r=5r0=54由 d=rsin ,得 sin = 5,即 =53在一个矩形磁场中的运动时间 12360mtqB,解得 t1= 05372dv直线运动的时间 t2= dv,解得 t2= 05v则 120(53+7)48tt粒子做直线运动路程的最大值
19、sm= 2cox+(2d-2xm)=3d增加路程的最大值 s m=sm-2d=d11增加时间的最大值 t m= 05sdv2.（2017 新课标 18）如图，虚线所示的圆形区域内存在一垂直于纸面的匀强磁场，P 为磁场边界上的一点，大量相同的带电粒子以相同的速率经过 P 点，在纸面内沿不同的方向射入磁场，若粒子射入的速度为 1v，这些粒子在磁场边界的出射点分布在六分之一圆周上；若粒子射入速度为 2v，相应的出射点分布在三分之一圆周上，不计重力及带电粒子之间的相互作用，则 21:v为A. 32： B. 1： C. 3： D. 2： 【答案】C【解析】当粒子在磁场中运动半个圆周时，打到圆形磁场的位置
20、最远，则当粒子射入的速度为 1v，如图，由几何知识可知，粒子运动的轨道半径为 11cos602rR；同理，若粒子射入的速度为 2v，由几何知识可知，粒子运动的轨道半径为 23；根据 mvrqB，则 21:=3:1vr，故选 C.3(2017全国卷)如图，虚线所示的圆形区域内存在一垂直于纸面的匀强磁场， P 为磁场边界上的一点，大量相同的带电粒子以相同的速率经过 P 点，在纸面内沿不同方向射入磁场。若粒子射入的速率为 v1，这些粒子在磁场边界的出射点分布在六分之一圆周上；若粒子射入速率为 v2，相应的出射点分布在三分之一圆周上。不计重力及带电粒子之间的相互作用。则 v2 v1为( )12A. 2
21、 B. 13 2C. 1 D33 2【答案】C 【解析】由于是相同的粒子，粒子进入磁场时的速度大小相同，由 qvB m 可知， R ，即粒子在磁场v2R mvqB中做圆周运动的半径相同。若粒子运动的速度大小为 v1，如图所示，4(2016四川高考)如图所示，正六边形 abcdef 区域内有垂直于纸面的匀强磁场。一带正电的粒子从 f点沿 fd 方向射入磁场区域，当速度大小为 vb时，从 b 点离开磁场，在磁场中运动的时间为 tb，当速度大小为 vc时，从 c 点离开磁场，在磁场中运动的时间为 tc，不计粒子重力。则( )A vb vc12， tb tc21B vb vc21， tb tc12C
22、vb vc21， tb tc21D vb vc12， tb tc12【答案】A 【解析】如图所示，设正六边形的边长为 l，当带电粒子的速度大小为 vb时，其圆心在 a 点，轨道半径 r1 l，转过的圆心角13 1 ，当带电粒子的速度大小为 vc时，其圆心在 O 点(即 fa、 cb 延长线的交点)，故轨道半径23r22 l，转过的圆心角 2 ，根据 qvB m ，得 v ，故 。由于 T 得 T ，所 3 v2r qBrm vbvc r1r2 12 2 rv 2 mqB以两粒子在磁场中做圆周运动的周期相等，又 t T，所以 。故选项 A 正确，选项 B、C、D2 tbtc 1 2 21错误。5
23、. (2016海南高考)如图， A、 C 两点分别位于 x 轴和 y 轴上， OCA30， OA 的长度为 L。在 OCA区域内有垂直于 xOy 平面向里的匀强磁场。质量为 m、电荷量为 q 的带正电粒子，以平行于 y 轴的方向从OA 边射入磁场。已知粒子从某点入射时，恰好垂直于 OC 边射出磁场，且粒子在磁场中运动的时间为 t0。不计重力。(1)求磁场的磁感应强度的大小；(2)若粒子先后从两不同点以相同的速度射入磁场，恰好从 OC 边上的同一点射出磁场，求该粒子这两次在磁场中运动的时间之和；(3)若粒子从某点射入磁场后，其运动轨迹与 AC 边相切，且在磁场内运动的时间为 t0，求粒子此次入射
24、53速度的大小。【答案】 (1) (2)2 t0 (3) m2qt0 3 L7t0【解析】 (1)粒子在磁场中做匀速圆周运动，在时间 t0内其速度方向改变了 90，故其周期 T4 t0设磁感应强度大小为 B，粒子速度为 v，圆周运动的半径为 r。由洛伦兹力公式和牛顿第二定律得 qvB mv2r匀速圆周运动的速度满足 v 2 rT联立式得 B 。 m2qt0(2)设粒子从 OA 边两个不同位置射入磁场，能从 OC 边上的同一点 P 射出磁场，粒子在磁场中运动的轨迹如图(a)所示。设两轨迹所对应的圆心角分别为 1和 2。由几何关系有 1180 214粒子两次在磁场中运动的时间分别为 t1与 t2，
25、则 t1 t2 2 t0。T2(3)如图(b)，由题给条件可知，该粒子在磁场区域中的轨迹圆弧对应的圆心角为 150。设 O为圆弧的圆心，圆弧的半径为 r0，圆弧与 AC 相切与 B 点，从 D 点射出磁场，由几何关系和题给条件可知，此时有 OO D BO A306(2016 四川理综，11) 如图所示，图面内有竖直线 DD，过 DD且垂直于图面的平面将空间分成、两区域。区域有方向竖直向上的匀强电场和方向垂直于图面的匀强磁场 B(图中未画出)；区域有固定在水平地面上高 h2 l、倾角 的光滑绝缘斜面，斜面顶端与直线 DD距离 s4 l，区域可 4加竖直方向的大小不同的匀强电场(图中未画出)； C
26、 点在 DD上，距地面高 H3 l。零时刻，质量为 m、带电量为 q 的小球 P 在 K 点具有大小 v0 、方向与水平面夹角 的速度，在区域内做半径 rgl 3的匀速圆周运动，经 C 点水平进入区域。某时刻，不带电的绝缘小球 A 由斜面顶端静止释放，在某处3l与刚运动到斜面的小球 P 相遇。小球视为质点，不计空气阻力及小球 P 所带电量对空间电磁场的影响。 l已知， g 为重力加速度。(1)求匀强磁场的磁感应强度 B 的大小；(2)若小球 A、 P 在斜面底端相遇，求释放小球 A 的时刻 tA；(3)若小球 A、 P 在时刻 t ( 为常数)相遇于斜面某处，求此情况下区域的匀强电场的场强 E
27、，并lg15讨论场强 E 的极大值和极小值及相应的方向。【答案】 (1) (2)(32 ) m3qLgl 2 lg(3) 极大值 ，竖直向上；极小值 0（ 11 2） mgq（ 1） 7mg8q【解析】 (1)由题知，小球 P 在区域内做匀速圆周运动，有m qv0B代入数据解得 B m3lqgl(3)设所求电场方向向下，在 tA时刻释放小球 A，小球 P 在区域运动加速度为 aP，有s v0(t tC) aA(t tA) 2cos 12mg qE maPH h aA(t tA) 2sin aP(t tC)212 12联立相关方程解得 E（ 11 2） mgq（ 1）对小球 P 的所有运动情形讨
28、论可得 3 5由此可得场强极小值为 Emin0；场强极大值为 Emax ，方向竖直向上。7mg8q7. (2015 山东理综，24) 如图所示，直径分别为 D 和 2D 的同心圆处于同一竖直面内, O 为圆心， GH 为大圆的水平直径两圆之间的环形区域(区)和小圆内部(区)均存在垂直圆面向里的匀强磁场间距为 d 的两平行金属极板间有一匀强电场，上极板开有一小孔一质量为 m、电量 为 q 的粒子由小孔下方 处静止d2释放，加速后粒子以竖直向上的速度 v 射出 电场，由 H 点紧靠大圆内侧射入磁场不计粒子的重力16(1)求极板间电场强度的大小；(2)若粒子运动轨迹与小圆相切，求区磁感应强度的大小；
29、(3)若区、区磁感应强度的大小分别为 、 ,粒子运动一段时间后再次经过 H 点，求这段时间粒子2mvqD 4mvqD运动的路程【答案】 (1) (2) 或 (3)5.5 Dmv2qd 4mvqD 4mv3qD【解析】 (1)设极板间电场强度的大小为 E，对粒子在电场中的加速运动，由动能定理得qE mv2d2 12解得 E mv2qd(2)设区磁感应强度的大小为 B，粒子做圆周运动的半径为 R，由牛顿第二定律得qvB mv2R甲如图甲所示，粒子运动轨迹与小圆相切有两种情况若粒子轨迹与小圆外切，由几何关系得R D4联立式得B 4mvqD若粒子轨迹与小圆内切，由几何关系得R 3D4联立式得17B 4
30、mv3qD乙据题意分析，粒子两次与大圆相切的时间间隔内，运动轨迹如图乙所示，根据对称可知，区两段圆弧所对圆心角相同，设为 1，区内圆弧所对圆心角设为 2，圆弧和大圆的两个切点与圆心 O 连线间的夹角设为 ，由几何关 系得 1120 218060丙粒子重复上述交替运动回到 H 点，轨迹如图丙所示，设粒子在区和区做圆周运动的时间分别为 t1、 t2可得t1 T1，360 1236018t2 T2360 2360设粒子运动的路程为 s，由运动学公式得s v(t1 t2) 联立 式得s5.5 D8 （2019 北京市通州区潞河中学高三开学检测）如图所示，虚线框 MNQP 内存在匀强磁场，磁场方向垂直纸
31、面向里。 a、 b、 c 是三个质量和电荷量都相等的带电粒子，它们从 PQ 边上的中点沿垂直于磁场的方向射入磁场，图中画出了它们在磁场中的运动轨迹。若不计粒子所受重力，则( )A 粒子 a 带负电，粒子 b、 c 带正电B 粒子 a 在磁场中运动的时间最长C 粒子 b 在磁场中的加速度最大D 粒子 c 在磁场中的动量最大【答案】C9 （2019 届江西省红色七校高三第一次联考）如图所示，在直角三角形 ABC 内充满垂直纸面向外的匀强磁场（图中未画出） ，AB 边长度为 d， .现19垂直 AB 边射入一群质量均为 m、电荷量均为 q、速度大小均为 v 的带正电粒子，已知垂直 AC 边射出的粒子
32、在磁场中运动的时间为 t，而运动时间最长的粒子在磁场中的运动时间为 （不计重力） 则下列判断中正确的是( ) A 粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为 4tB 该匀强磁场的磁感应强度大小为C 粒子在磁场中运动的轨道半径为D 粒子进入磁场时速度大小为【答案】ABC根据几何关系有： ，解得：R= d，故 C 正确；根据粒子在磁场中运动的速度为：v= ，周期为：T=4t 0，半径为：R= d，联立可得：v= ，故 D 错误。故选 ABC。10 （2019 届四川省成都市第七中学高三零诊模拟考试）如图所示， M， N 为两块带等量异种电荷的平行金属板，两板间电压可取从零到某一最大值之间的各种数值。20静
33、止的带电粒子带电荷量为 q，质量为 m（不计重力） ，从点 P 经电场加速后，从小孔 Q 进入 N 板右侧的匀强磁场区域，磁感应强度大小为 B，方向垂直于纸面向外， CD 为磁场边界上的一绝缘板，它与 N 板的夹角为 30，孔 Q 到板的下端 C 的距离为 L，当 M， N 两板间电压取最大值时，粒子恰垂直打在 CD 板上，则下列说法正确的是( ) A 两板间电压的最大值B CD 板上可能被粒子打中区域的长度C 粒子在磁场中运动的最长时间D 能打到 N 板上的粒子的最大动能为【答案】ACD【解析】画出粒子运动轨迹的示意图，如图所示，A. 当 M、N 两板间电压取最大值时，粒子恰垂直打在 CD
34、板上，可知粒子半径 r=L，的加速电场中，根据动能定理： ，在偏转磁场中，根据洛伦兹力提供向心力可得： ，联立可得：，故 A 正确；B.设粒子轨迹与 CD 相切于 H 点，此时粒子半径为 ，粒子轨迹垂直打在 CD 边上的 G 点，则 GH 间距离即为粒子打中区域的长度 x，根据几何关系： ，可得： ，根据几何关系可得粒子打中区域的长度： ，故 B 错误；C.粒子在磁场中运动的周期为：21，粒子在磁场中运动的最大圆心角： ，所以粒子在磁场中运动的最长时间为：，故 C 正确；11 （2019 届安徽省六安二中高三（上）开学测试）如图所示，直角三角形 ABC 的区域内有垂直纸面的匀强磁场， O、 D
35、 是 AB 和 AC 边的中点，一束带电粒子沿OD 方向射入磁场中，恰好从 B 点射出磁场，下列说法中正确的是 A 只改变带电粒子的带电性质，粒子将从 A 点射出磁场B 只改变带电粒子的带电性质，粒子将从 AD 边界上的某点射出磁场C 只将磁场方向反向，粒子将从 OA 边界上的某点射出磁场D 只将磁场方向反向，粒子不可能从 A 点射出磁场【答案】BD【解析】一束带电粒子沿 OD 方向射入磁场中，恰好从 B 点射出磁场，运动轨迹如图实线所示：A、B、如果只改变带电粒子的带电性质，粒子在磁场中受到的洛伦兹力方向相反，粒子将向上偏转，粒子将从 AD 边界上某点射出磁场，如图虚线所示，故 A 错误，B
36、 正确。C、D、如果只将磁场方向反向，粒子在磁场中受到的洛伦兹力反向，粒子将向上偏转，运动轨迹如图中虚22线所示，粒子将从 AD 边界上的某点射出磁场，粒子不可能经过 A 点，不可能从 A 点射出磁场，故 C 错误，D 正确。故选 BD12 （2019 届山西省榆社中学高三上学期第一次联考）如图所示，xOy 平面内 y 轴和垂直于 x 轴的虚线 MN 间存在着沿 y 轴正方向的匀强电场，一质量为 m、带电荷量为q 的粒子从坐标原点 O 以大小为 v0的速度沿 x 轴正方向射出，从线上的 M（2 l， l）点进人虚线右侧，粒子运动一段时间后进入一个磁感应强度大小为 B、方向与 xOy 平面垂直的
37、圆形匀强磁场区域（图中未画出） ，最后又从虚线上的 N 点沿 x 轴负方向射出磁场。不计粒子重力。求（1）匀强电场的电场强度的大小；（2）粒子在匀强磁场中的转动半径；（3）圆形磁场的最小面积。 （可用三角函数表示）【答案】 （1） （2） （3）【解析】【详解】 （1）粒子从 O 点进入电场后做类平抛运动，设电场强度大小为 E则：由牛顿第二定律得：联立方程，得： （2）设粒子从 M 点射入虚线右侧时速度方向与 x 轴夹角为 ，则：，解得： ，所以23粒子进入磁场后做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有：，解得：13 （2019 届安徽省江淮十校高三第一次联考）如图所示，坐标空间中有场强为 E=
38、100 N/C 的匀强电场和磁感应强度为 B=10-3T 的匀强磁场，y 轴为两种场的分界面，图中虚线为磁场区域的右边界，现有一质量为 m，电荷量为-q 的带电粒子从电场中坐标位置(-1，0)处，以初速度 vo=105 m/s 沿 x 轴正方向开始运动，且已知带电粒子的比荷 = 108 C/kg，粒子的重力忽略不计，则：(1)求带电粒子进入磁场的速度大小；(2)为使带电粒子能穿越磁场区域而不再返回电场中，求磁场的宽度 d 应满足的条件。【答案】(1) m/s (2)2.41m24【解析】 （1）带电粒子在电场中做类平抛运动，设运动的加速度为 a，由牛顿第二定律可得：qE=ma设粒子出电场、入磁场时的速度大小为 v，此时在 y 方向的分速度为 vy，粒子在电场中运动的时间为 t，则：v y=at l=v0t解得 vy=v0 （2）设 v 的方向与 y 轴夹角为 ，则有 可得 =45 0粒子进入磁场后在洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动，如图：则有：可得 要使粒子穿越磁场区域，磁场的宽度应满足的条件： 综合已知条件解以上各式可得：
