1、15、开普勒定律 万有引力定律基础训练1(2018湖北武昌实验中学检测)万有引力的发现实现了物理学史上第一次大统一：“地上物理学”和“天上物理学”的统一，它表明天体运动和地面上物体的运动遵从相同的规律牛顿发现万有引力定律的过程中将行星的椭圆轨道简化为圆轨道，还应用到了其他的规律和结论下面的规律和结论没有被用到的是( )A开普勒的研究成果B卡文迪许通过扭秤实验得出的引力常量C牛顿第二定律D牛顿第三定律答案：B 解析：牛顿在发现万有引力定律的过程中将行星的椭圆轨道简化为圆轨道就是利用开普勒第一定律，由牛顿第二定律可知万有引力提供向心力，再借助于牛顿第三定律来推算物体对地球的作用力与什么有关系，同时
2、运用开普勒第三定律来导出万有引力定律而卡文迪许通过扭秤实验得出的引力常量是在牛顿发现万有引力定律之后，故选 B.2(2018湖南岳阳一模)地球公转轨道的半径在天文学上常用来作为长度单位，叫做天文单位，用来量度太阳系内天体与太阳的距离已知木星公转的轨道半径约 5.0 天文单位，请估算木星公转的周期约为( )A3 年 B5 年 C11 年 D25 年答案：C 解析：根据开普勒第三定律，木星与地球的轨道半径的三次方与公转周期的平方的比值相等，据此列式分析即可根据开普勒第三定律，有： ，故 T 木 R3木T2木 R3地T2地T 地 1 年11(R木R地 )3 53年，选项 A、B、D 错误，C 正确3
3、(多选)GPS 全球定位系统有 24 颗卫星在轨运行，每个卫星的环绕周期为 12 小时GPS 系统的卫星与地球同步卫星相比较，下面说法正确的是( )AGPS 系统的卫星轨道半径是地球同步卫星的 倍22BGPS 系统的卫星轨道半径是地球同步卫星的 倍322CGPS 系统的卫星线速度是地球同步卫星的 倍2DGPS 系统的卫星线速度是地球同步卫星的 倍32答案：BD 解析：万有引力是卫星围绕地球转动的向心力，由 G m 2r 得卫星运Mmr2 (2T)2动的周期 T2 ，设 GPS 系统的卫星半径为 r1，周期为 T1，地球同步卫星半径为 r2，r3GM周期为 T2，根据周期公式解得 ，A 错误，B
4、 正确；r1r2 3(T1T2)2 322 ，C 错误，D 正确v1v22 r1T12 r2T2 r1r2 T2T1 324(2018河北省三市联考)如图所示，冥王星绕太阳公转的轨道是椭圆，公转周期为T0，其近日点到太阳的距离为 a，远日点到太阳的距离为 b，半短轴的长度为 c.若太阳的质量为 M，引力常量为 G，忽略其他行星对冥王星的影响，则( )A冥王星从 B C D 的过程中，速率逐渐变小B冥王星从 A B C 的过程中，万有引力对它先做正功后做负功C冥王星从 A B 所用的时间等于T04D冥王星在 B 点的加速度大小为4GM b a 2 4c2答案：D 解析：根据开普勒第二定律：对每一
5、个行星，其与太阳的连线在相同时间内扫过的面积相等，故冥王星从 B C D 的过程中，冥王星与太阳间的距离先变大后变小，故速率先减小后增大，选项 A 错误；同理从 A B C 的过程中，速率逐渐减小，万有引力做负功，选项 B 错误；冥王星的公转周期为 T0，从 A B C 的过程所用时间为 T0，由于12冥王星在此过程中，速率逐渐减小，而 A B 与 B C 的路程相等，故其从 A B 的时间小于T0，选项 C 错误；根据万有引力充当向心力可得： ma，由图中几何关系可得：14 GMmR2R2 c2 2 c2 ，联立可得： a ，选项 D 正确(a b2 a) b a 24 4GM4c2 b a
6、 25(2018辽宁省实验中学质检)设地球是一质量分布均匀的球体， O 为地心已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零在下列四个图中，能正确描述 x 轴上各点的重力加速度 g 的分布情况的是( )3ABCD答案：A 解析：设地球的密度为 ，在地球表面，重力和地球的万有引力大小相等，有 mg ，即 g ，由于地球的质量 M R3 ，所以地球表面重力加速度的表达式GMmR2 GMR2 43可写成 g .根据题意有，质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，故在深度4 GR3为 R x 的井底，物体受到地球的万有引力即为半径等于 x 的球体在其表面产生的万有引力，g x，即当 xR 时， g ， g
7、 与 x 平方成反比，故 A 正4 G3 GMx2确6(2016河南洛阳尖子生一联)设金星和地球绕太阳中心的运动是公转方向相同且轨道共面的匀速圆周运动，金星在地球轨道的内侧(称为地内行星)，在某特殊时刻，地球、4金星和太阳会出现在一条直线上，这时候从地球上观测，金星像镶嵌在太阳脸上的小黑痣缓慢走过太阳表面，天文学称这种现象为“金星凌日” 假设地球公转轨道半径为 R， “金星凌日”每隔 t0年出现一次，则金星的公转轨道半径为( )A. R B Rt01 t0 2( t01 t0)3C R D R3(1 t0t0 )2 3( t01 t0)2答案：D 解析： 根据开普勒第三定律有 ， “金星凌日”
8、每隔 t0年出现一次，R3金R3 T2金T2地故 t02，已知 T 地 1 年，联立解得 ，因此金星的公转轨道半(2T金 2T地 ) R金R 3( t01 t0)2径 R 金 R ，故 D 正确3( t01 t0)27发射宇宙飞船的过程中要克服引力做功，已知将质量为 m 的飞船在距地球中心无限远处移到距地球中心为 r 处的过程中，引力做功为 W ，飞船在距地球中心为 r 处的引GMmr力势能公式为 Ep ，式中 G 为引力常量， M 为地球质量若在地球的表面发射一颗人GMmr造地球卫星，如果发射的速度很大，此卫星可以上升到离地心无穷远处(即地球引力作用范围之外)，这个速度称为第二宇宙速度(也称
9、逃逸速度)，已知地球半径为 R.(1)试推导第二宇宙速度的表达式； (2)已知逃逸速度大于真空中光速的天体叫黑洞，设某黑洞的质量等于 M11.9810 30 kg，求它的可能最大半径(引力常量 G6.6710 11 Nm2/kg2)答案：(1)见解析 (2)2.9310 3 m解析：(1)设第二宇宙速度为 v，所谓第二宇宙速度，就是卫星摆脱中心天体束缚的最小发射速度则卫星由地球表面上升到离地球表面无穷远的过程中，根据机械能守恒定律得 Ek Ep0即 mv2 G 012 MmR5解得 v .2GMR(2)由题意知第二宇宙速度大于 c，即 c2GM1R1得 R1 m2.9310 3 m2GM1c2
10、 26.6710 111.98103091016则该黑洞的最大半径为 2.93103 m能力提升8(2018江西宜春高安二中段考)如图所示，设火星绕太阳在圆轨道上运动，轨道半径为 r，周期为 T，火星表面的重力加速度为 g，彗星在穿过太阳系时由于受到太阳引力，轨道发生弯曲，与火星在圆轨道的 A 点“擦肩而过” ，已知引力常量为 G，忽略其他星体对它们的影响，则( )A彗星的速度一定大于火星的第三宇宙速度B可确定彗星在 A 点的速度大于火星绕太阳的速度C可求出火星的质量D可求出火星的第一宇宙速度答案：B 解析：彗星能够与火星“擦肩而过” ，只能说明彗星在 A 点的速度大于火星绕太阳运动的速度，A
11、 错误，B 正确；由 m 2r 可知，只能求出太阳的质量，C 错误；GMmr2 (2T)由于火星的半径未知，所以不能求出火星的第一宇宙速度，D 错误9(2018福建厦门质检)假设宇宙中有两颗相距无限远的行星 A 和 B，半径分别为 RA和 RB.这两颗行星周围卫星的轨道半径的三次方( r3)与运行周期的平方( T2)的关系如图所示，T0为卫星环绕行星表面运行的周期则( )6A行星 A 的质量大于行星 B 的质量B行星 A 的密度小于行星 B 的密度C行星 A 的第一宇宙速度小于行星 B 的第一宇宙速度D当两行星的卫星轨道半径相同时，行星 A 的卫星向心加速度小于行星 B 的卫星向心加速度答案：
12、A 解析：根据 m ，可得 M ， r3 T2，由图象可知， A 的GMmr2 4 2rT2 4 2r3GT2 GM4 2斜率大，所以 A 的质量大，A 正确由图象可知当卫星在两行星表面运行时，周期相同，将 M V R3代入上式可知两行星密度相同，B 错误根据万有引力提供向心力，43则 ，所以 v ，行星 A 的半径大，所以行星 A 的第一宇宙速度也GMmR2 mv2R GMR 43 GR2大，C 错误两卫星的轨道半径相同时，它们的向心加速度 a ，由于 A 的质量大于 B 的GMr2质量，所以行星 A 的卫星向心加速度大，D 错误10(2018湖南长沙四校一模)将一质量为 m 的物体分别放在
13、地球的南、北两极时，该物体的重力均为 mg0；将该物体放在地球赤道上时，该物体的重力为 mg.假设地球可视为质量均匀分布的球体，半径为 R，已知引力常量为 G，则由以上信息可得出( )A地球的质量为gR2GB地球自转的周期为 2g0 gRC地球同步卫星的高度为 R(3 g0g0 g 1)D地球的第一宇宙速度大小为 gR答案：C 解析：在地球南、北两极时，物体受到的重力与万有引力大小相等，即 mg0，解得 M ，选项 A 错误；由于在地球赤道上该物体的重力为 mg，则有GMmR2 g0R2G7mg0 mg m 2R，可解得 ，故地球自转的周期为 T 2 ，选项 Bg0 gR 2 Rg0 g错误；
14、由于地球同步卫星围绕地球转动的周期等于地球自转的周期，故由万有引力定律可得 m 2(R h)，解得地球同步卫星的高度为 h R ，选项 C 正确；GMm R h 2 (3 g0g0 g 1)由于地球的第一宇宙速度大小等于卫星围绕地球转动的最大速度，则有 m0 ，解得GMm0R2 v2Rv ，又因为 GM g0R2，故 v ，选项 D 错误GMR g0R11万有引力定律揭示了天体运行规律与地上物体的运动规律具有一致性(1)用弹簧秤称量一个相对于地球静止的小物体的重量，随称量位置的变化可能会有不同的结果已知地球质量为 M，自转周期为 T，引力常量为 G.将地球视为半径为 R、质量均匀分布的球体，不
15、考虑空气的影响设在地球北极地面称量时，弹簧秤的读数是 F0.若在北极上空离地面 h 处称量，弹簧秤读数为 F1，求比值 的表达式，并就 hF1F0时算出具体数值(计算结果保留两位有效数字)；R100若在赤道地面称量，弹簧秤读数为 F2，求比值 的表达式F2F0(2)设想地球绕太阳公转的圆周轨道半径 r、太阳的半径 RS和地球的半径 R 三者均减小到现在的 ，而太阳和地球的密度均匀且不变仅考虑太阳和地球之间的相互作用，以现1100实地球的 1 年为标准，计算设想的“地球”的 1 年将变为多长？答案：见解析解析：(1)设小物体质量为 m在北极地面，有 G F0；在北极上空离地面 h 处，有 G F
16、1.联立可得MmR2 Mm R h 2 ，当 h 时， 0.98.F1F0 R2 R h 2 R100 F1F0 11.012在赤道地面，小物体随地球自转做匀速圆周运动，受到万有引力和弹簧秤的拉力，有G F2 m R，得 1 .MmR2 4 2T2 F2F0 4 2R3GMT2(2)地球绕太阳做匀速圆周运动，受到太阳的万有引力作用设太阳质量为 MS，地球质量为 M，地球公转周期为 TE，有G Mr ，可得 TE ，其中 为太阳的密度MSMr2 4 2T2E 4 2r3GMS 3G (rRS)38由上式可知，地球公转周期 TE仅与太阳的密度、地球公转轨道半径与太阳半径之比有关因此设想的“地球”的 1 年与现实地球的 1 年时间相同
