1、1专题一第二讲 曲线运动与万有引力课前自测诊断卷考点一 平抛运动1.考查关联速度、速度的分解问题如图所示，物体 A与物体 B通过跨过光滑定滑轮的轻绳相连，在水平力 F作用下，物体 B沿水平面向右运动，物体 A恰匀速上升，那么以下说法正确的是( )A物体 B正向右做匀减速运动B物体 B正向右做加速运动C地面对 B的摩擦力减小D斜绳与水平方向成 30时， vA vB 23解析：选 D 将 B的运动分解为沿绳子方向和垂直于绳子方向，沿绳子方向上的分速度等于 A的速度，如图所示，根据平行四边形定则有 vBcos vA，所以 vB ，当 减小时，物体 B的速度减小，vAcos 但 B不是匀减速运动，选项
2、 A、B 错误；在竖直方向上，对 B有mg FN FTsin ， FT mAg， 减小，则支持力 FN增大，根据 Ff F N可知摩擦力 Ff增大，选项 C错误；根据 vBcos vA，斜绳与水平方向成 30时， vA vB 2，选项 D3正确。2考查多个物体的平抛运动问题一位网球运动员用拍击球，使网球沿水平方向飞出，第一只球落在自己一方场地的 B点，弹跳起来后，刚好擦网而过，落在对方场地的 A点，如图所示，第二只球直接擦网而过，也落在 A点，设球与地面的碰撞没有能量损失，其运动过程中阻力不计，则两只球飞过网 C处时水平速度之比为( )A11 B13C31 D19解析：选 B 两种情况下抛出的
3、高度相同，所以第一种情况下落到 B点所用的时间等于第二种情况下落到 A点所用时间，根据竖直上抛和自由落体的对称性可知第一种情况下所用时间为 t13 t，第二种情况下所用时间为 t2 t，由于两球在水平方向均为匀速运动，水平位移大小相等，设它们从 O点出发时的初速度分别为 v1、 v2，由 x v0t得 v23 v1，即 ，B 正确。v1v2 133考查平抛运动与斜面、圆的组合问题如图所示， a、 b两小球分别从半圆轨道顶端和斜面顶端以大小相等的初速度同时水平抛出，已知半圆轨道的半径与斜面竖直高度相等，2斜面底边长是其竖直高度的 2倍，若小球 b能落到斜面上，则( )A a、 b两球不可能同时落
4、在半圆轨道和斜面上B改变初速度的大小， b球速度方向和斜面的夹角可能变化C改变初速度的大小， a球可能垂直撞在圆弧面上D a、 b两球同时落在半圆轨道和斜面上时，两球的速度方向垂直解析：选 D 将半圆轨道和斜面重合在一起，如图甲所示，设交点为 A，如果初速度合适，可使小球做平抛运动落在 A点，则运动的时间相等，即同时落在半圆轨道和斜面上。b球落在斜面上时，速度偏向角的正切值为位移偏向角正切值的 2倍，即 tan b2tan b2 1，可得 b45，即 b球的速度方向与水平方向成 45角，此时 a球落在12半圆轨道上， a球的速度方向与水平方向成 45角，故两球的速度方向垂直，选项 A错误，选项
5、 D正确。改变初速度的大小， b球位移偏向角不变，因速度偏向角的正切值是位移偏向角正切值的 2倍，故速度偏向角不变， b球的速度方向和斜面的夹角不变，选项 B错误。若 a球垂直撞在圆弧面上，如图乙所示，则此时 a球的速度方向沿半径方向，且有 tan 2tan ，与平抛运动规律矛盾， a球不可能垂直撞在圆弧面上，选项 C错误。4考查体育运动中的平抛运动、临界极值问题一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示。水平台面的长和宽分别为 L1和 L2，中间球网高度为 h。发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为 3h。不计空气的作用，重力加速度大小为 g。
6、若乒乓球的发射速率 v在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则 v的最大取值范围是( )A. v L1 L12 g6h g6hB. v L14 gh 4L12 L22 g6hC. v L12 g6h 12 4L12 L22 g6hD. v L14 gh 12 4L12 L22 g6h解析：选 D 设以速率 v1发射乒乓球，经过时间 t1刚好落到球网正中间。则竖直方向3上有 3h h gt12 ，水平方向上有 v1t1 。由两式可得 v1 。设以速12 L12 L14 gh率 v2发射乒乓球，经过时间 t2刚好落到球网右侧台面的两角处，在竖直方向有 3h gt22 12
7、，在水平方向有 v2t2 。由两式可得 v2 。则(L22)2 L12 12 4L12 L22 g6hv的最大取值范围为 v1vv2。故选项 D正确。考点二 圆周运动5.考查水平面内的圆周运动问题多选如图所示，水平转台上的小物体 A、 B通过弹簧连接，并静止在转台上，现转台从静止开始缓慢的增大其转速(既在每个转速下可认为是匀速转动)，已知 A、 B的质量分别为 m、2 m， A、 B与转台间的动摩擦因数均为 ， A、 B离转台中心的距离都为 r，已知弹簧的原长为 r，劲度系数为 k，设本题中的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，以下说法正确的是( )A物体 A和 B同时相对转台发生滑动B当 A受到的摩
8、擦力为 0时， B受到的摩擦力背离圆心C当 B受到的摩擦力为 0时， A受到的摩擦力背离圆心D当 A、 B均相对转台静止时，允许的最大角速度为 k2m gr解析：选 CD 当 A刚好要滑动时，摩擦力达到最大静摩擦力，弹簧弹力与静摩擦力的合力提供向心力，则有 kr mg m A2r，解得 A ，当 B刚好要滑动时，摩擦km gr力达到最大静摩擦力，弹簧弹力与静摩擦力的合力提供向心力，则有kr2 mg 2 m B2r，解得 B ； A B，所以 B最先滑动，允许的最大角速k2m gr度为 B ，A 错误，D 正确；当 A受到的摩擦力为 0时，由弹力充当向心力，k2m gr故 kr m 2r，解得
9、，此时 B受到的向心力为 F2 m 2r2 kr，故 B受到的摩擦力km指向圆心，B 错误；当 B受到的摩擦力为 0时，由弹力充当向心力，故 kr2 m 2r，解得 ，此时 A受到的向心力为 F m 2r kr kr，故 A受到的摩擦力背离圆心，C 正k2m 12确。6考查竖直面内的圆周运动问题(轻绳模型)4如图所示，在传送带的右端 Q点固定有一竖直光滑圆弧轨道，轨道的入口与传送带在 Q点相切。以传送带的左端点为坐标原点 O，水平传送带上表面为 x轴建立坐标系。已知传送带长 L6 m，匀速运动的速度 v04 m/s。一质量 m1 kg的小物块轻轻放在传送带上xP2 m的 P点，小物块随传送带运
10、动到 Q点后恰好能冲上光滑圆弧轨道的最高点 N。小物块与传送带间的动摩擦因数 0.4，重力加速度 g10 m/s 2。(1)求 N点的纵坐标 yN；(2)若将小物块轻放在传送带上的某些位置，小物块均不脱离圆弧轨道。求传送带上这些位置的横坐标的范围。解析：(1)小物块在传送带上匀加速运动的加速度 a g 4 m/s2，小物块与传送带共速时，小物块位移 x1 2 m L xP4 m，故小物块与传送带共速后以 v0匀速运动v022a到 Q，然后冲上圆弧轨道，恰好到 N点时有 mg mvN2R从 Q到 N有 mvQ2 mvN22 mgR12 12解得 R0.32 m，故 yN2 R0.64 m。(2)
11、若小物块能通过最高点 N，则 0 x L x1即 0 x4 m若小物块恰能到达高度为 R的 M点，设小物块在传送带上加速运动的位移为 x2则 mgx 2 mgR解得 x20.8 m，故 5.2 m x6 m所以当 0 x4 m 或 5.2 m x6 m 时，小物块均不脱离圆弧轨道。答案：(1)0.64 m (2)0 x4 m 或 5.2 m x6 m7考查圆周运动与平抛运动相结合的问题如图所示，餐桌中心是一个可以匀速转动、半径为 R的圆盘。圆盘与餐桌在同一水平面内且两者之间的间隙可忽略不计。放置在圆盘边缘的质量为 m的物体与圆盘之间的动摩擦因数为 10.5，与餐桌之间的动摩擦因数为 20.25
12、，餐桌高也为 R。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为 g。(1)为使物体不滑到餐桌上，求圆盘的角速度 的最大值为多少？(2)缓慢增大圆盘的角速度，物体从圆盘上甩出，为使物体不滑落到地面，求餐桌半径R1的最小值为多大？(3)若餐桌半径 R2 R，则在圆盘角速度缓慢增大时，求物体从圆盘上被甩出后滑落545到地面上的位置到圆盘中心的水平距离 L为多少？解析：(1)为使物体不从圆盘上滑出，向心力不能大于物体与圆盘之间的最大静摩擦力，即 1mg m 2R解得 。 1gR g2R(2)物体恰好从圆盘上甩出时的角速度 1 ，则速度 v1 1R g2R gR2当物体滑到餐桌边缘速度减小到 0时，恰好不
13、滑落到地面，根据匀变速直线运动规律，有 2 2gx1 v12可得滑过的位移 x1 Rv122 2g餐桌最小半径 R1 R。x12 R2 2(3)若餐桌半径 R2 R，由几何关系可得物体在餐桌上滑行的距离54x2 RR22 R234根据匀变速直线运动规律，有 2( 2gx2) v22 v12可得物体离开餐桌边缘的速度 v2 gR8设物体离开餐桌到地面所需时间为 t，根据平抛运动规律 x3 v2t， R gt212可知物体离开餐桌边缘后的水平位移 x3R2由几何关系可得，落地点到圆盘中心的水平距离L R。 x2 x3 2 R2414答案：(1) (2) R (3) Rg2R 2 414考点三 万有
14、引力定律8.考查行星运动与开普勒定律一颗小行星环绕太阳做匀速圆周运动的半径是地球公转半径的 9倍，则这颗小行星的运转周期是( )A3 年 B9 年C18 年 D27 年解析：选 D 根据开普勒第三定律，设地球公转半径为 R，则小行星做匀速圆周运动的6半径为 9R则： ，取 T 地 1 年，则可以得到： T27 年，故选项 D正确，A、B、CR3T地 2 9R 3T2错误。9考查重力与万有引力的关系多选已知一质量为 m的物体静止在北极与赤道对地面的压力差为 N，假设地球是质量均匀的球体，半径为 R。则地球的自转周期为(设地球表面的重力加速度为 g)( )A地球的自转周期为 T2 mR NB地球的
15、自转周期为 T mR NC地球同步卫星的轨道半径为D地球同步卫星的轨道半径为解析：选 AC 在北极 FN1 G ，在赤道 G FN2 mR ，根据题意，有MmR2 MmR2 4 2T2FN1 FN2 N，联立计算得出： T2 ，所以 A正确，B 错误；万有引力提供同步卫mR N星的向心力，则： G m ，联立可得： r3 ，又地球表面的重力加速度为Mmr2 4 2rT2 GMmR Ng，则： mg G ，得： r R，C 正确，D 错误。MmR210考查应用万有引力定律计算天体质量和密度在未来的“星际穿越”中，某航天员降落在一颗不知名的行星表面上。该航天员从高 h L 处以初速度 v0水平抛出
16、一个小球，小球落到星球表面时，与抛出点的距离是 L，5已知该星球的半径为 R，引力常量为 G，下列说法正确的是( )A该星球的重力加速度 g2v025LB该星球的质量 Mv02R2GLC该星球的第一宇宙速度 v v02R5LD该星球的密度 3v028GL R解析：选 D 设星球表面的重力加速度为 g，则根据小球的平抛运动规律得：L gt2， L ，故 v0t2 L，联立得 g ，A 错误；在星球表面有12 5 v0t 2 L2 v022L7mg G ，联立 g ，解得 M ，该星球的密度为 ，B 错误，MmR2 v022L v02R22GL MVv02R22GL43 R3 3v028GL RD
17、正确；设该星球的近地卫星质量为 m0，根据重力等于向心力得 m0g m0 ，解得v2Rv v0 ，C 错误。gRR2L考点四 人造卫星和宇宙航行11.考查卫星运行的参量比较2018年 3月 30日 01时 56分，我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭(及远征一号上面级)，以“一箭双星”方式成功发射第三十、三十一颗北斗导航卫星。这两颗卫星属于中圆地球轨道卫星，是我国北斗三号第七、八颗组网卫星。北斗导航卫星的轨道有三种：地球静止轨道(高度 35 809 km)、倾斜地球同步轨道 (高度 35 809 km)、中圆地球轨道(高度 21 607 km)，如图所示。已知地球半径为 6 370 km
18、，下列说法正确的是( )A中圆地球轨道卫星的周期一定比静止轨道卫星的周期长B中圆地球轨道卫星受到的万有引力一定比静止轨道卫星受到的万有引力大C倾斜地球同步轨道卫星的线速度为 4 km/sD倾斜地球同步轨道卫星每天在固定的时间经过同一地区的正上方解析：选 D 地球静止轨道卫星的周期等于地球的自转周期为 24 h，因中圆地球轨道半径小于地球静止轨道半径，根据 C，可知中圆地球轨道卫星的周期一定比地球静止轨R3T2道卫星的周期小，故 A错误；根据万有引力定律： F ，由于不知道两种卫星的质量，GMmr2所以不能比较它们受到的万有引力的大小关系，故 B错误；根据 v ，其中 T86 400 2 rTs
19、， r35 809 km，解得倾斜地球同步轨道卫星的线速度为 v2.6 km/s，故 C错误；倾斜地球同步轨道卫星的周期是 24 h，地球的自转周期为 24 h，所以倾斜地球同步轨道卫星每天在固定的时间经过同一地区的正上方，故 D正确。12考查卫星的变轨问题8多选作为一种新型的多功能航天飞行器，航天飞机集火箭、卫星和飞机的技术特点于一身。假设一航天飞机在完成某次维修任务后，在A点从圆形轨道进入椭圆轨道，如图所示，已知 A点距地面的高度为 2R(R为地球半径)， B点为轨道上的近地点，地球表面重力加速度为 g，地球质量为 M。又知若物体在离星球无穷远处时其引力势能为零，则当物体与星球球心距离为
20、r时，其引力势能 Ep G (式中 m为物体的质量， M为星球Mmr的质量， G为引力常量)，不计空气阻力。下列说法正确的是( )A该航天飞机在轨道上经过 A点的速度小于经过 B点的速度B该航天飞机在轨道上经过 A点时的向心加速度大于它在轨道上经过 A点时的加速度C在轨道上从 A点运动到 B点的过程中，航天飞机的加速度一直变大D可求出该航天飞机在轨道上运行时经过 A、 B两点的速度大小解析：选 ACD 在轨道上 A点为远地点， B点为近地点，航天飞机经过 A点的速度小于经过 B点的速度，故 A正确。在 A点，航天飞机所受外力为万有引力，根据 G ma，Mmr2知航天飞机在轨道上经过 A点和在轨
21、道上经过 A点时的加速度相等，故 B错误。在轨道上运动时，由 A点运动到 B点的过程中，航天飞机距地心的距离一直减小，故航天飞机的加速度一直变大，故 C正确。航天飞机在轨道上运行时机械能守恒，有 mvA2 mvB2，由开普勒第二定律得 rAvA rBvB，结合GMmrA 12 GMmrB 12 mg， rA3 R， rB R，可求得 vA、 vB，故 D正确。GMmR213考查双星、多星模型多选2017 年 10月 16日，美国激光干涉引力波天文台等机构联合宣布首次发现双中子星并合引力波事件，如图为某双星系统 A、 B绕其连线上的 O点做匀速圆周运动的示意图，若 A星的轨道半径大于 B星的轨道
22、半径，双星的总质量为 M，双星间的距离为 L，其运动周期为 T，则( )A A的质量一定大于 B的质量B A的线速度一定大于 B的线速度C L一定， M越大， T越大D M一定， L越大， T越大解析：选 BD 设双星质量分别为 mA、 mB，轨道半径分别为 RA、 RB，角速度相等且为 ，根据万有引力定律可知： G mA 2RA， G mB 2RB，距离关系为： RA RB L，mAmBL2 mAmBL29联立解得： ，因为 RA RB，所以 A的质量一定小于 B的质量，故 A错误；根据线速mAmB RBRA度与角速度的关系有： vA R A、 vB R B，因为角速度相等，半径 RA RB，所以 A的线速度大于 B的线速度，故 B正确； 又因为 T ，联立以上可得周期为： T2 ，2 L3GM所以总质量 M一定，两星间距离 L越大，周期 T越大，故 C错误，D 正确。
