1、1课时训练(十七) 二次函数的几何应用(限时:30 分钟)|夯实基础|1. 2018潍坊 如图 K17-1,菱形 ABCD的边长是 4厘米, B=60,动点 P以 1厘米 /秒的速度自 A点出发沿 AB方向运动至 B点停止,动点 Q以 2厘米 /秒的速度自 B点出发沿折线 BCD运动至 D点停止 . 若点 P,Q同时出发运动了 t秒,记 BPQ的面积为 S厘米 2,下面图象中能表示 S与 t之间的函数关系的是 ( )图 K17-12图 K17-22. 如图 K17-3,抛物线 m:y=ax2+b(a0)与 x轴交于点 A,B(点 A在点 B的左侧),与 y轴交于点 C. 将抛物线 m绕点B旋转
2、 180,得到新的抛物线 n,它的顶点为 C1,与 x轴的另一个交点为 A1. 若四边形 AC1A1C为矩形,则 a,b应满足的关系式为 ( )图 K17-3A. ab=-2 B. ab=-3C. ab=-4 D. ab=-53. 二次函数 y=x2-8x+15的图象与 x轴相交于 M,N两点,点 P在该函数的图象上运动,能使 PMN的面积等于 的点 P共12有 个 . 4. 2018长春 如图 K17-4,在平面直角坐标系中,抛物线 y=x2+mx交 x轴的负半轴于点 A. 点 B是 y轴正半轴上一点,点 A关于点 B的对称点 A恰好落在抛物线上 . 过点 A作 x轴的平行线交抛物线于另一点
3、 C. 若点 A的横坐标为 1,则AC的长为 . 3图 K17-45. 2018枣庄 如图 K17-5 ,点 P从 ABC的顶点 B出发 ,沿 B C A匀速运动到点 A. 图 是点 P运动时,线段 BP长度 y随时间 x变化的图象,其中 M为曲线部分的最低点,则 ABC的面积是 . 图 K17-56. 如图 K17-6,在平面直角坐标系 xOy中,若动点 P在抛物线 y=ax2上, P恒过点 F(0,n),且与直线 y=-n始终保持相切,则 n= (用含 a的代数式表示) . 图 K17-67. 2018龙东 如图 K17-7,抛物线 y=x2+bx+c与 y轴交于点 A(0,2),对称轴为
4、直线 x=-2,平行于 x轴的直线与抛物线交于B,C两点,点 B在对称轴左侧, BC=6. (1)求此抛物线的解析式;(2)点 P在 x轴上,直线 CP将 ABC的面积分成 2 3的两部分,请直接写出 P点坐标 . 图 K17-748. 2018苏州 如图 K17-8,已知抛物线 y=x2-4与 x轴交于点 A,B(点 A位于点 B的左侧), C为顶点 . 直线 y=x+m经过点A,与 y轴交于点 D. (1)求线段 AD的长;(2)平移该抛物线得到一条新抛物线,设新抛物线的顶点为 C. 若新抛物线经过点 D,并且新抛物线的顶点和原抛物线的顶点的连线 CC平行于直线 AD,求新抛物线对应的函数
5、表达式 . 图 K17-8|拓展提升|59. 2018鄂州 如图 K17-9,已知矩形 ABCD中, AB=4 cm,BC=8 cm,动点 P在边 BC上从点 B向点 C运动,速度为 1 cm/s,同时动点 Q从点 C出发,沿折线 C D A运动,速度为 2 cm/s. 当一个点到达终点时,另一个点随之停止运动 . 设点P运动时间为 t(s), BPQ的面积为 S(cm2),则描述 S(cm2)与 t(s)之间的函数关系的图象大致是 ( )图 K17-9 图 K17-1010. 2018遂宁 如图 K17-11,已知抛物线 y=ax2-4x+c(a0)与反比例函数 y= (x0)的图象相交于点
6、 B,且 B点的横9坐标为3,抛物线与 y轴交于点 C(0,6),A是抛物线 y=ax2-4x+c的顶点, P点是 x轴上一动点,当 PA+PB最小时, P点的坐标为 . 图 K17-116参考答案1. D 解析 当 0 t2 时,点 Q在 BC上,此时 BP=4-t,BQ=2t,S= (4-t)2tsin60=- t2+2 t是开口向下的抛物12 32 3线的一部分,可排除 A和 C;当 2 t4 时, BPQ中 BP边上的高不变,始终为 4sin60=2 ,此时 S= (4-t)2 =-312 3t+4 ,面积随底边的减小而减小,最终变为 0,故选择 D. 3 32. B 解析 令 x=0
7、,得 y=b. C (0,b). 令 y=0,得 ax2+b=0,x= ,-A - ,0 ,B ,0 ,- -AB= 2 ,BC= = . - 2+2 2-要使平行四边形 AC1A1C是矩形,必须满足 AB=BC, 2 = ,- 2- 4 - =b2- , ab=- 3. a ,b应满足关系式 ab=-3. 故选 B. 3. 4 解析 y=x2-8x+15的图象与 x轴交点为(3,0)和(5,0), MN=2,7设 P点坐标为( x,y),y=x2-8x+15,S PMN= = MN|y|,1212可得 y1= ,y2=- . 12 12当 y= 时, x= ;12 8 62当 y=- 时,
8、x= ,12 8 22所以共有四个点 . 4. 3 解析 如图,设 AC与 y轴交于点 D. 点 A与点 A关于点 B对称,AB=AB. 又 AC x轴, ADB= AOB=90, DAB= OAB, ABO ABD,AO=AD , 点 A的横坐标为 1,AD=AO= 1, 点 A坐标为( -1,0). 把( -1,0)代入抛物线解析式 y=x2+mx得 m=1, 抛物线解析式为 y=x2+x, 点 A坐标为(1,2) . 8令 y=2得, x2+x=2,解得 x1=-2,x2=1,AC= 1-(-2)=3. 5. 12 解析 动点 P运动过程中: 当动点 P在 BC上时, BP由 0到 5逐
9、渐增加,所以可得 BC=5; 当动点 P在 AC上时, BP先变小后变大且当 BP垂直于 AC时, BP最小,为 4. 当 P点运动到 A点时, BP=5,所以可得 AB=5,由题意可得 ABC是等腰三角形, AB=BC=5,且底边 AC上的高为 4,当 BP垂直于 AC时,由勾股定理可得 AP=CP=3,即 AC=6,所以 ABC的面积 = ACBP=12. 126. 解析 如图,连接 PF. 设 P与直线 y=-n相切于点 E,连接 PE. 则 PE AE. 14 动点 P在抛物线 y=ax2上, 设 P(m,am2). P恒过点 F(0,n),PF=PE ,即 =am2+n. 2+(2-
10、)2n= . 147. 解:(1) 点 A(0,2)在抛物线 y=x2+bx+c上, c= 2, 抛物线对称轴为直线 x=-2,- =-2,b= 4,21 抛物线的解析式为 y=x2+4x+2. (2)点 P的坐标为( -6,0)或( -13,0). 提示: 抛物线对称轴为直线 x=-2,BC x轴,且 BC=6, 点 C的横坐标为 62-2=1,把 x=1代入 y=x2+4x+2得 y=7,C (1,7), ABC中 BC边上的高为 7-2=5,9S ABC= 65=15. 令 y=7,得 x2+4x+2=7,解得 x1=1,x2=-5,B (-5,7),AB= 5 . 设直线 CP交 AB
11、于点 Q, 直线 CP12 2将 ABC的面积分成 2 3的两部分, 符合题意的点 P有两个,对应的点 Q也有两个 . 当 AQ1BQ 1=2 3时,作 Q1M1 y轴, Q1N1 BC,则 AQ1=2 ,Q1M1=2,BQ1=3 ,Q1N1=3,Q1(-2,4),2 2C (1,7), 直线 CQ1的解析式为 y=x+6,令 y=0,则 x=-6,P 1(-6,0); 当 BQ2AQ 2=2 3时,作 Q2M2 y轴, Q2N2 BC,则 AQ2=3 ,Q2M2=3,BQ2=2 ,Q2N2=2,Q2(-3,5),2 2C (1,7), 直线 CQ2的解析式为 y= x+ ,令 y=0,则 x
12、=-13,P 2(-13,0). 12 132综上,点 P的坐标为( -6,0)或( -13,0). 8. 解:(1)由 x2-4=0解得 x1=2,x2=-2. 点 A位于点 B的左侧, A (-2,0). 直线 y=x+m经过点 A,- 2+m=0,m= 2,D (0,2). AD= =2 . 2+2 2(2) 新抛物线经过点 D(0,2), 设新抛物线对应的函数表达式为 y=x2+bx+2,y=x 2+bx+2= x+ 2+2- . 2 24 直线 CC平行于直线 AD,并且经过点 C(0,-4), 直线 CC的函数表达式为 y=x-4. 10 2- =- -4,整理得 b2-2b-24
13、=0,24 2解得 b1=-4,b2=6. 新抛物线对应的函数表达式为 y=x2-4x+2或 y=x2+6x+2. 9. A 解析 由题意可知 0 t6,当 0 t2时,如图 所示, S= BPCQ= t2t=t2;12 12当 t=2时,如图 所示,点 Q与点 D重合,则 BP=2,CQ=4,故 S= BPCQ= 24=4;12 12当 2t6 时,如图 所示,点 Q在 AD上运动, S= BPCD= t4=2t. 12 12故选 A. 10. ,0 解析 B 点的横坐标为 3,且点 B在反比例函数 y= 的图象上,125 9B (3,3). 抛物线 y=ax2-4x+c(a0)经过 B,C两点, 解得9-12+=3,=6, =1,=6, 抛物线的解析式为 y=x2-4x+6=(x-2)2+2, 抛物线的顶点 A的坐标为(2,2),11 点 A关于 x轴的对称点 A的坐标为(2, -2). 设 AB所在的直线解析式为 y=kx+b,则 解得2+=-2,3+=3, =5,=-12, 直线 AB的解析式为 y=5x-12,令 y=0,解得 x= ,125 直线 AB与 x轴的交点坐标为 ,0 . 125根据两点之间线段最短,可得当 P的坐标为 ,0 时, PA+PB最小 . 125故答案为 ,0 . 125
