1、11.3 平面向量【课时作业】1已知向量 m( t1,1), n( t2,2),若( m n)( m n),则 t( )A0 B3C3 D1解析: 法一:由( m n)( m n)可得( m n)(m n)0,即 m2 n2,故( t1)21( t2) 24,解得 t3.法二: m n(2 t3,3), m n(1,1),( m n)( m n),(2 t3)30,解得 t3.答案: B2在 ABC 中, P, Q 分别是边 AB, BC 上的点,且 AP AB, BQ BC.若13 13 a, b,则 ( )AB AC PQ A. a b B a b13 13 13 13C. a b D a
2、 b13 13 13 13解析: ( ) a b,故选 A.PQ PB BQ 23AB 13BC 23AB 13AC AB 13AB 13AC 13 13答案: A3已知向量 a(1,1),2 a b(4,2)则向量 a, b 的夹角的余弦值为( )A. B31010 31010C. D22 22解析: 因为向量 a(1,1),2 a b(4,2),所以 b(2,0),则向量 a, b 的夹角的余弦值为 .12 1022 22答案: C4已知在平面直角坐标系中,点 A(0,1),向量 (4,3), (7,4),AB BC 则点 C 的坐标为( )A(11,8) B(3,2)C(11,6) D(
3、3,0)解析: 设 C(x, y),在平面直角坐标系中,点 A(0,1),向量 (4,3),AB 2(7,4), (11,7),Error!解得 x11, y6,故BC AC AB BC C(11,6)故选 C.答案: C5(2018广东广雅中学等四校 2 月联考)已知两个单位向量 a, b 的夹角为 120,kR,则| a kb|的最小值为( )A. B34 32C1 D32解析: 两个单位向量 a, b 的夹角为 120,| a| b|1, ab ,| a kb| .12 a2 2kab k2b2 1 k k2 (k 12)2 34 kR,当 k 时,| a kb|取得最小值 ,故选 B.
4、12 32答案: B6已知在平面直角坐标系 xOy 中, P1(3,1), P2(1,3), P1, P2, P3三点共线且向量与向量 a(1,1)共线,若 (1 ) ,则 ( )OP3 OP3 OP1 OP2 A3 B3C1 D1解析: 设 ( x, y),则由 a 知 x y0,于是 ( x, x)若 OP3 OP3 OP3 OP3 (1 ) ,则有( x, x) (3,1)(1 )(1,3)(4 1,32 ),即OP1 OP2 Error!所以 4 132 0,解得 1,故选 D.答案: D7(2018河北衡水中学 2 月调研)一直线 l 与平行四边形 ABCD 中的两边 AB, AD
5、分别交于点 E, F,且交其对角线 AC 于点 M,若 2 , 3 , ( , R),AB AE AD AF AM AB AC 则 ( )52A B112C. D332解析: ( )( ) 2( )AM AB AC AB AB AD AB AD 3 ,因为 E、 M、 F 三点共线,所以 2( )(3 )1,即AE AF 32 5 1, ,故选 A.52 12答案: A8在矩形 ABCD 中, AB2, AD1, E 为线段 BC 上的点,则 的最小值为( )AE DE A2 B154C. D4174解析: 如图,以 B 为原点, BC 所在的直线为 x 轴, BA 所在的直线为y 轴建立平面
6、直角坐标系,则 A(0,2), D(1,2)设 E(x,0)(0 x1),则( x,2), ( x1,2) ( x,2)( x1,2)AE DE AE DE x2 x4 2 .0 x1,当 x ,即 E 为 BC 的中点时,(x12) 154 12 取得最小值,最小值为 .故选 B.AE DE 154答案: B9已知 a, b 为平面向量,若 a b 与 a 的夹角为 , a b 与 b 的夹角为 ,则 3 4( )|a|b|A. B33 63C. D253解析: 在平行四边形 ABCD 中,设 a, b,则 a b, BAC , DACAB AD AC 3.在 ABC 中,由正弦定理,得 .
7、故选 B. 4 |a|b| sin ACBsin BAC sin DACsin BACsin 4sin 32232 63答案: B10已知向量 (3,1), (1,3), m n (m0, n0),若 m n1,则|OA OB OC OA OB |的最小值为( )OC A. B52 102C. D5 104解析: 由 (3,1), (1,3)得 m n (3 m n, m3 n),因为OA OB OC OA OB m n1( m0, n0),所以 n1 m 且 0m1,所以 (12 m,4m3),则| |OC OC (0m1),所以当 m 时,| 1 2m 2 4m 3 2 20m2 20m
8、1020(m 12)2 5 12|min .OC 5答案: C11(2018惠州市第二次调研)已知等边三角形 ABC 的边长为 2,其重心为 G,则 BG ( )CG A2 B14C D323解析: 法一:如图,建立平面直角坐标系,则 A(0, ), B(1,0),3C(1,0),得重心 G ,则 , ,所(0,33) BG (1, 33) CG ( 1, 33)以 11 ,故选 C.BG CG 33 33 23法二:因为 | | |cos 6022 2, , AC AB AC AB 12 BG 13AC 23AB CG 13AB 23,所AC 以 2 2 4BG CG (13AC 23AB
9、) (13AB 23AC ) 19AC AB 29AC 29AB 49AC AB 59AC AB 29 294 2 ,故选 C.59 169 69 23答案: C12已知向量 a, b 满足| a|1,( a b)(a2 b)0,则| b|的取值范围为( )A1,2 B2,4C. D14, 12 12, 1解析: 由题意知 b0,设向量 a, b 的夹角为 ,因为( a b)(a2 b) a2 ab2 b20,又| a|1,所以 1| b|cos 2| b|20,所以| b|cos 12| b|2,因为1cos 1,所以| b|12| b|2| b|,所以 | b|1,所以12|b|的取值范围
10、是 .12, 15答案: D13(2018全国卷)已知向量 a(1,2), b(2,2), c(1, )若 c(2 a b),则 _.解析: 2 a b(4,2),因为 c(2 a b),所以 4 2,得 .12答案: 1214已知等边 ABC 的边长为 2,若 3 , ,则 _.BC BE AD DC BD AE 解析: 如图所示, ( )( ) BD AE AD AB AB BE (12AC AB ) (AB 13AC 13AB ) (12AC AB ) (13AC 23AB )2 2 4 42.16AC 23AB 16 23答案: 215(2018益阳市,湘潭市调研试卷)已知向量 a,
11、b 满足|a|1,| b|2, a b(1, ),记向量 a, b 的夹角为 ,则 tan _.3解析: 法一:| a|1,| b|2, a b(1, ),( a b)32| a|2| b|22 ab52 ab13, ab ,cos 12 ,sin ,tan .ab|a|b| 14 1 ( 14)2 154 sin cos 15法二: a b(1, ),| a b| 2,记 a, b,则 a b,由题3 1 3 OA AB OB 意知| | |2,| |1, OAB,在等腰三角形 OBA 中,tan OABAB OB OA ,tan tan OAB .22 (12)212 15 15答案: 1516(2018福州市质量检测)如图,在平面四边形 ABCD 中, ABC90, DCA2 BAC.若 x y (x, yR),则 x y 的值为_BD BA BC 6解析: 如图,延长 DC, AB 交于点 E,因为 DCA2 BAC,所以 BAC CEA.又 ABC90,所以 .BA BE 因为 x y ,所以 x y .因为 C, D, E 三点共线,所以 x y1,BD BA BC BD BE BC 即 x y1.答案: 1