1、1专题强化五 地球同步卫星 双星或多星模型专题解读 1.本专题是万有引力定律在天体运行中的特殊运用，同步卫星是与地球(中心)相对静止的卫星；而双星或多星模型有可能没有中心天体，近年来常以选择题形式在高考题中出现2学好本专题有助于学生加深万有引力定律的灵活应用，加深力和运动关系的理解3需要用到的知识：牛顿第二定律、万有引力定律、圆周运动规律等命题点一 地球同步卫星1定义：相对于地面静止且与地球自转具有相同周期的卫星叫地球同步卫星2 “七个一定”的特点：(1)轨道平面一定：轨道平面与赤道平面共面(2)周期一定：与地球自转周期相同，即 T24h.(3)角速度一定：与地球自转的角速度相同(4)高度一定
2、：由 G m (R h)得地球同步卫星离地面的高度 h3.610 7m.MmR h2 4 2T2(5)速率一定： v 3.110 3m/s.GMR h(6)向心加速度一定：由 G ma 得 a gh0.23m/s 2，即同步卫星的向心加MmR h2 GMR h2速度等于轨道处的重力加速度(7)绕行方向一定：运行方向与地球自转方向相同例 1 (2016全国卷17)利用三颗位置适当的地球同步卫星，可使地球赤道上任意两点之间保持无线电通讯目前，地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的 6.6 倍假设地球的自转周期变小，若仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的，则地球自转周期的最小值约为( )A1h B4h C
3、8h D16h2答案 B解析 地球自转周期变小，卫星要与地球保持同步，则卫星的公转周期也应随之变小，由开普勒第三定律 k 可知卫星离地球的高度应变小，要实现三颗卫星覆盖全球的目的，r3T2则卫星周期最小时，由数学几何关系可作出它们间的位置关系如图所示卫星的轨道半径为 r 2 RRsin30由 得 .r31T21 r32T2 6.6R3242 2R3T2解得 T24h.解决同步卫星问题的“四点”注意1基本关系：要抓住： G ma m mr 2 m r.Mmr2 v2r 4 2T22重要手段：构建物理模型，绘制草图辅助分析3物理规律：(1)不快不慢：具有特定的运行线速度、角速度和周期(2)不高不低
4、：具有特定的位置高度和轨道半径(3)不偏不倚：同步卫星的运行轨道平面必须处于地球赤道平面上，只能静止在赤道上方的特定的点上4重要条件：(1)地球的公转周期为 1 年，其自转周期为 1 天(24 小时)，地球的表面半径约为6.4103km，表面重力加速度 g 约为 9.8m/s2.(2)月球的公转周期约 27.3 天，在一般估算中常取 27 天(3)人造地球卫星的运行半径最小为 r6.410 3km，运行周期最小为 T84.8min，运行速度最大为 v7.9km/s.31(2016四川理综3)国务院批复，自 2016 年起将 4 月 24 日设立为“中国航天日” 如图 1 所示，1970 年 4
5、 月 24 日我国首次成功发射的人造卫星东方红一号，目前仍然在椭圆轨道上运行，其轨道近地点高度约为 440km，远地点高度约为 2060km；1984 年 4 月 8 日成功发射的东方红二号卫星运行在赤道上空 35786km 的地球同步轨道上设东方红一号在远地点的加速度为 a1，东方红二号的加速度为 a2，固定在地球赤道上的物体随地球自转的加速度为 a3，则 a1、 a2、 a3的大小关系为( )图 1A a2 a1 a3 B a3 a2 a1C a3 a1 a2 D a1 a2 a3答案 D解析 由于东方红二号卫星是同步卫星，则其角速度和赤道上的物体角速度相等，根据a 2r， r2r3，则
6、a2a3；由万有引力定律和牛顿第二定律得， G ma，由题目中数据可Mmr2以得出， r1a2a3，选项 D 正确2(2014天津3)研究表明，地球自转在逐渐变慢，3 亿年前地球自转的周期约为 22 小时假设这种趋势会持续下去，地球的其他条件都不变，未来人类发射的地球同步卫星与现在的相比( )A距地面的高度变大 B向心加速度变大C线速度变大 D角速度变大答案 A解析 地球的自转周期变大，则地球同步卫星的公转周期变大由 m (R h)，GMmR h2 4 2T2得 h R， T 变大， h 变大，A 正确3GMT24 2由 ma，得 a ， r 增大， a 减小，B 错误GMmr2 GMr2由
7、，得 v ， r 增大， v 减小，C 错误GMmr2 mv2r GMr由 可知，角速度减小，D 错误2T3(多选)地球同步卫星离地心的距离为 r，运行速率为 v1，加速度为 a1，地球赤道上的物4体随地球自转的向心加速度为 a2，地球的第一宇宙速度为 v2，半径为 R，则下列比例关系中正确的是( )A. B. ( )2a1a2 rR a1a2 rRC. D. v1v2 rR v1v2 Rr答案 AD解析 设地球的质量为 M，同步卫星的质量为 m1，在地球表面绕地球做匀速圆周运动的物体的质量为 m2，根据向心加速度和角速度的关系有 a1 12r， a2 22R，又 1 2，故 ，选项 A 正确
8、；由万有引力定律和牛顿第二定律得 G m1 ， G m2 ，解得a1a2 rR Mm1r2 v21r Mm2R2 v2R ，选项 D 正确v1v2 Rr命题点二 双星或多星模型1双星模型(1)定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统，如图 2 所示图 2(2)特点：各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即 m1 12r1， m2 22r2Gm1m2L2 Gm1m2L2两颗星的周期及角速度都相同，即T1 T2， 1 2两颗星的半径与它们之间的距离关系为： r1 r2 L(3)两颗星到圆心的距离 r1、 r2与星体质量成反比，即 .m1m2 r2r12多星模型(1)定义：
9、所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同5(2)三星模型：三颗星位于同一直线上，两颗环绕星围绕中央星在同一半径为 R 的圆形轨道上运行(如图3 甲所示)三颗质量均为 m 的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图乙所示)图 3(3)四星模型：其中一种是四颗质量相等的恒星位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动(如图丙所示)另一种是三颗恒星始终位于正三角形的三个顶点上，另一颗位于中心 O，外围三颗星绕O 做匀速圆周运动(如图丁所示)例 2 (2015安徽理综24)由三颗星体构成的系统，忽略其他星体对它们的作用，存在着一种运动形式
10、，三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心 O 在三角形所在的平面内做相同角速度的圆周运动(图 4 为A、 B、 C 三颗星体质量不相同时的一般情况)若 A 星体质量为 2m、 B、 C 两星体的质量均为 m，三角形的边长为 a，求：图 4(1)A 星体所受合力大小 FA；(2)B 星体所受合力大小 FB；6(3)C 星体的轨道半径 RC；(4)三星体做圆周运动的周期 T.答案 (1)2 G (2) G (3) a (4)3m2a2 7m2a2 74 a3Gm解析 (1)由万有引力定律， A 星体所受 B、 C 星体引力大小为 FBA G G FCA
11、mAmBr2 2m2a2方向如图所示则合力大小为 FA FBAcos30 FCAcos302 G3m2a2(2)同上， B 星体所受 A、 C 星体引力大小分别为FAB G GmAmBr2 2m2a2FCB G GmCmBr2 m2a2方向如图所示，由余弦定理得合力为：FB GF2AB F2CB 2FABFCBcos120 7m2a2(3)由于 mA2 m， mB mC m通过分析可知，圆心 O 在 BC 的中垂线 AD 的中点则 RC a(34a)2 (12a)2 74(4)三星体运动周期相同，对 C 星体，由 FC FB G m( )2RC，可得 T .7m2a2 2T a3Gm4(201
12、3山东理综20)双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化若某双星系统中两星做圆周运动的周期为 T，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的 k 倍，两星之间的距离变为原来的 n 倍，则此7时圆周运动的周期为( )A. T B. Tn3k2 n3kC. T D. Tn2k nk答案 B解析 设两恒星的质量分别为 m1、 m2，距离为 L，双星靠彼此的引力提供向心力，则有G m1r1m1m2L2 4 2T2G m2r2m1m2L2 4 2T2并且 r1 r2 L解得 T2L
13、3Gm1 m2当两星总质量变为原来的 k 倍，两星之间距离变为原来的 n 倍时T2n3L3Gkm1 m2 Tn3k故选项 B 正确5银河系的恒星中大约四分之一是双星如图 5 所示，某双星由质量不等的星体 S1和 S2构成，两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点 O 做匀速圆周运动由天文观察测得它们的运动周期为 T，若已知 S1和 S2的距离为 r，引力常量为 G，求两星的总质量 M.图 5答案 4 2r3GT2解析 设星体 S1、 S2的质量分别为 m1、 m2，运动的轨道半径分别为 R1、 R2，则运动的角速度为 2T根据万有引力定律和向心力公式有8G m1 2R1 m2 2R2
14、m1m2r2又 R1 R2 r联立解得两星的总质量为M m1 m2 . 2r2R2G 2r2R1G 2r3G 4 2r3GT2一、近地卫星、同步卫星和赤道上随地球自转的物体的比较如图 6 所示， a 为近地卫星，半径为 r1； b 为同步卫星，半径为 r2； c 为赤道上随地球自转的物体，半径为 r3.图 6近地卫星 同步卫星 赤道上随地球自转的物体向心力 万有引力 万有引力 万有引力的一个分力轨道半径 r1r3 r1由 mr 2得GMmr2 ，故 1 2GMr3同步卫星的角速度与地球自转角速度相同，故 2 3角速度 1 2 3由 得GMmr2 mv2rv ，故 v1v2GMr 由 v r 得
15、 v2v3线速度v1v2v3由 ma 得 a ，故GMmr2 GMr2a1a2由 a r 2得 a2a3向心加速度a1a2a39二、卫星追及相遇问题典例 (多选)如图 7，三个质点 a、 b、 c 的质量分别为 m1、 m2、 M(M 远大于 m1及 m2)，在c 的万有引力作用下， a、 b 在同一平面内绕 c 沿逆时针方向做匀速圆周运动，已知轨道半径之比为 ra rb14，则下列说法中正确的有( )图 7A a、 b 运动的周期之比为 Ta Tb18B a、 b 运动的周期之比为 Ta Tb14C从图示位置开始，在 b 转动一周的过程中， a、 b、 c 共线 12 次D从图示位置开始，在
16、 b 转动一周的过程中， a、 b、 c 共线 14 次答案 AD解析 根据开普勒第三定律：周期的平方与半径的三次方成正比，则周期之比为 18，A对；设图示位置夹角为 v2 a1v2 a1a2C v1a2答案 B解析 根据 G m ma，可知 v ， a ，所以 v1v2， a1a2.选项 B 正确Mmr2 v2r GMr GMr23设地球的质量为 M，半径为 R，自转周期为 T，引力常量为 G.“神舟九号”绕地球运行时离地面的高度为 h，则“神舟九号”与“同步卫星”各自所在轨道处的重力加速度的比11值为( )A. B.2 43R h2GMT223GM23R h22 T43C. D.GMT22
17、32 43R h22 T43GM23R h2答案 C解析 设“神舟九号”与“同步卫星”各自所在轨道处的重力加速度分别为 g 神九 、 g 同步 ，则 m 神九 g 神九 G ， m 同步 g 同步 G ，联立可得 Mm神 九R h2 Mm同 步r 2同 步 4 2m同 步 r同 步T2 g神 九g同 步，故 C 正确GMT2232 43R h24 “神舟八号”飞船绕地球做匀速圆周运动时，飞行轨道在地球表面的投影如图 2 所示，图中标明了飞船相继飞临赤道上空所对应的地面的经度设“神舟八号”飞船绕地球飞行的轨道半径为 r1，地球同步卫星飞行轨道半径为 r2.则 r13 r23等于( )图 2A12
18、4 B1156C1210 D1256答案 D解析 从图象中可以看出，飞船每运行一周，地球自转 22.5，故飞船的周期为 T124h1.5h，同步卫星的周期为 24h，由开普勒第三定律可得 ( )222.5360 r31r32 T21T2 1.524，故选 D.1256题组 2 双星、多星模型5(多选)宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中有一种三星系统如图 3 所示，三颗质量均为 m 的星位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为 R，忽略其他星体对它们12的引力作用，三星在同一平面内绕三角形中心 O 做匀速圆周运动，万有引力常量为 G，则( )图 3A每颗星做圆周运动的线速度为GmRB每颗
19、星做圆周运动的角速度为3GmR3C每颗星做圆周运动的周期为 2R33GmD每颗星做圆周运动的加速度与三星的质量无关答案 ABC解析 由图可知，每颗星做匀速圆周运动的半径 r R.由牛顿第二定律R2cos30 33得 2cos30 m m 2r m r ma，可解得Gm2R2 v2r 4 2T2v ， ， T2 ， a ，故 A、B、C 均正确，D 错误GmR 3GmR3 R33Gm 3GmR262016 年 2 月 11 日，美国科学家宣布探测到引力波的存在，引力波的发现将为人类探索宇宙提供新视角，这是一个划时代的发现在如图 4 所示的双星系统中， A、 B 两个恒星靠着相互之间的引力正在做匀
20、速圆周运动，已知恒星 A 的质量为太阳质量的 29 倍，恒星 B 的质量为太阳质量的 36 倍，两星之间的距离 L210 5m，太阳质量 M210 30kg，引力常量G6.6710 11 Nm2/kg2， 210.若两星在环绕过程中会辐射出引力波，该引力波的频率与两星做圆周运动的频率具有相同的数量级，则根据题目所给信息估算该引力波频率的数量级是( )图 4A10 2Hz B10 4HzC10 6Hz D10 8Hz答案 A解析 A、 B 的周期相同，角速度相等，靠相互之间的引力提供向心力，13有 G MArA MAMBL2 4 2T2G MBrB MAMBL2 4 2T2有 MArA MBrB
21、， rA rB L，解得 rA L L L.MBMA MB 3629 36 3665由得 T ，4 2L33665GMB则 f Hz1.610 2Hz.1T GMB4 2L33665 6.6710 1136210304102105336657经过用天文望远镜长期观测，人们在宇宙中已经发现了许多双星系统，通过对它们的研究，使我们对宇宙中物质的存在形式和分布情况有了较深刻的认识，双星系统由两个星体组成，其中每个星体的线度都远小于两星体之间的距离，一般双星系统距离其他星体很远，可以当成孤立系统来处理现根据对某一双星系统的测量确定，该双星系统中每个星体的质量都是 M，两者相距 L，它们正围绕两者连线的
22、中点做圆周运动(1)计算出该双星系统的运动周期 T；(2)若该实验中观测到的运动周期为 T 观测 ，且 T 观测 T1 (N1)为了理解 T 观测 与 TN的不同，目前有一种流行的理论认为，在宇宙中可能存在一种望远镜观测不到的暗物质作为一种简化模型，我们假定在以这两个星体连线为直径的球体内均匀分布这种暗物质若不考虑其他暗物质的影响，根据这一模型和上述观测结果确定该星系间这种暗物质的密度答案 (1) L (2)2LGM 3N 1M2 L3解析 (1)双星均绕它们连线的中点做圆周运动，万有引力提供向心力，则 G M 2M2L2 (2T)，解得 T L .L2 2LGM(2)N1，根据观测结果，星体的运动周期为 T 观测 TT，这是由于双星系统内(类似一个1N球体)均匀分布的暗物质引起的，均匀分布在双星系统内的暗物质对双星系统的作用与一个质点(质点的质量等于球内暗物质的总质量 M且位于中点 O 处)的作用等效，考虑暗物质作用后双星系统的运动周期，即14G G M 2 ，M2L2 MML22 (2T观 测 ) L2代入 T L 并整理得 M M.2LGM N 14故所求的暗物质密度为 .M43 L23 3N 1M2 L3
