1、1中档大题规范练(二)(建议用时：60 分钟)1在 ABC 中，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且 bcos A(2 c a)cos B.(1)求 B；(2)若 b ， ABC 的面积为 ，求 ABC 的周长13 3解 (1)由 bcos A(2 c a)cos B，得 2ccos B bcos A acos B.由正弦定理可得 2sin Ccos Bsin Bcos Asin Acos Bsin( A B)sin C，因为 sin C0，所以 cos B .12因为 0 B，所以 B . 3(2)因为 S ABC acsin B ，所以 ac4.12 3又 13 a2 c2
2、2 accos B a2 c2 ac，所以 a2 c217，所以 a c5，故 ABC 的周长为 5 .13(教师备选)已知数列 an的前 n 项和为 Sn， a11， an0， anan1 S n1，其中 为常数(1)证明： an2 an ；(2)是否存在 ，使得 an为等差数列？并说明理由解 (1)证明：由题设 anan1 S n1，知 an1 an2 S n1 1.两式相减得， an1 (an2 an) a n1 .由于 an1 0，所以 an2 an .(2)存在由 a11， a1a2 S 11，可得 a2 1，由(1)知， a3 1.令2a2 a1 a3，解得 4.故 an2 an4
3、，由此可得， a2n1 是首项为 1，公差为 4 的等差数列，a2n1 1( n1)44 n3；a2n是首项为 3，公差为 4 的等差数列， a2n3( n1)44 n1.所以 an2 n1， an1 an2.因此存在 4，使得 an为等差数列2如图 63，在长方形 ABCD 中， AB4， BC2，现将 ACD 沿 AC 折起，使 D 折到 P 的位置且 P 在面 ABC 的射影 E 恰好在线段 AB 上(1)证明： AP PB；2(2)求三棱锥 PEBC 的表面积图 63解 (1)由题知 PE平面 ABC，又 BC平面 ABC， PE BC；又 AB BC 且 AB PE E， BC平面
4、PAB；又 AP平面 PAB， BC AP；又 AP CP 且 BC CP C， AP平面 PBC；又 PB平面 PBC，所以 AP PB.(2) 在 PAB 中，由(1)得 AP PB， AB4， AP2， PB2 ， PE ， BE3，32234 3 S PEB 3 .12 3 332在 EBC 中， EB3， BC2， S EBC 323，12在 PEC 中， EC ， S PEC ，EB2 BC2 1312 3 13 392 S PBC BCPB 22 ，12 232 3所以三棱锥 PEBC 的表面积为S S PEB S EBC S PEC S PBC 3 2 .332 392 3 7
5、3 39 623为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班 50 人进行了问卷调查，得到了如下的列联表：喜爱打篮球 不喜爱打篮球 合计男生 5女生 10合计 50已知在全部 50 人中随机抽取 1 人，抽到喜爱打篮球的学生的概率为 .35(1)请将上面的列联表补充完整；(2)是否有 99.5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由；(3)已知喜爱打篮球的 10 位女生中， A1， A2， A3还喜欢打羽毛球， B1， B2， B3还喜欢打3乒乓球， C1， C2还喜欢踢足球，现在从喜欢打羽毛球、喜欢打乒乓球、喜欢踢足球的 8 位女生中各选出 1 位进行其他方面的调查，求 B1和 C1
6、不全被选中的概率下面的临界值表供参考：P(K2 k) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828(参考公式： K2 ，其中 n a b c d)n ad bc 2 a b c d a c b d解 (1)列联表补充如下：喜爱打篮球 不喜爱打篮球 合计男生 20 5 25女生 10 15 25合计 30 20 50(2)有，理由： K2 8.3337.879，50 2015 105 230202525有 99.5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关(3)从 10 位女生中选出喜欢
7、打羽毛球、喜欢打乒乓球、喜欢踢足球的各 1 位，其一切可能的结果组成的基本事件如下：(A1， B1， C1)，( A1， B1， C2)，( A1， B2， C1)，( A1， B2， C2)，( A1， B3， C1)，( A1， B3， C2)，(A2， B1， C1)，( A2， B1， C2)，( A2， B2， C1)，( A2， B2， C2)，( A2， B3， C1)，( A2， B3， C2)，(A3， B1， C1)，( A3， B1， C2)，( A3， B2， C1)，( A3， B2， C2)，( A3， B3, C1)，( A3， B3， C2)，基本事件的总数为
8、18，用 M 表示“ B1， C1不全被选中”这一事件，则其对立事件 表示M“B1， C1全被选中”这一事件，由于 由( A1， B1， C1)，( A2， B1， C1)，( A3， B1， C1)3 个基M本事件组成，所以 P( ) ，由对立事件的概率公式得 P(M)1 P( )1 .M318 16 M 16 56(教师备选)如图所示，一个正三棱锥 ABCD 的底面边长为 a，侧棱长为 2a，过 B 作与侧棱 AC， AD相交的截面 BEF.求：(1)截面三角形周长的最小值；(2)截面三角形周长最小时的面积解 (1)如图所示，若使截面三角形的周长最小，则将三棱锥的侧面展开后，使三4角形的三
9、边在一条直线上图在图中， ABB为等腰三角形，故 ABE AB F， AE AF， AEF 为等腰三角形，又 ABCD 为正三棱锥， EF CD，1234， ABC BCE AEF， AE a， EF a，32 34 BB BE EF FB a，114截面三角形周长的最小值为 a.1145(2)如图所示，取 EF 的中点 G，连接 BG.图由(1)知，在图中， BE BF a，故 BEF 为等腰三角形，高 BG a，a2 (38a)2 558 S BEF BGEF12 a a a2.12 558 34 364554选修 44：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线 C1的普通方程为 1，以原点为
10、极点， x 轴的正半轴为极x216 y28轴建立极坐标系，并取与直角坐标系相同的长度单位，建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 22 cos 10.(1)求曲线 C1、 C2的参数方程；(2)若点 M、 N 分别在曲线 C1、 C2上，求| MN|的最小值解 (1)依题意，曲线 C1的参数方程为Error!( 是参数)，因为曲线 C2的极坐标方程为 22 cos 10，化简可得直角坐标方程：x2 y22 x10，即( x1) 2 y22, 所以曲线 C2的参数方程为Error!( 是参数)(2)设点 M(4cos ，2 sin )，易知 C2(1,0)，2| MC2| 4cos 1 2 22
11、sin 2 16cos2 8cos 1 8 1 cos2 ，8cos2 8cos 98(cos 12)2 7 7当 cos 时，| MC2|min ，12 7| MN|min| MC2|min r .7 2选修 45：不等式选讲已知 a， b， c 均为正数，函数 f(x)| x1| x5|.6(1) 求不等式 f(x)10 的解集；(2)若 f(x)的最小值为 m，且 a b c m，求证： a2 b2 c212.解 (1) f(x)| x1| x5|10等价于Error! 或Error!或Error!解得3 x1 或1 x5 或 5 x7，所以不等式 f(x)10 的解集为 x|3 x7(2)因为 f(x)| x1| x5|( x1)( x5)|6，所以 m6，即 a b c6. a2 b22 ab， a2 c22 ac， c2 b22 cb，2( a2 b2 c2)2( ab ac bc)，3( a2 b2 c2) a2 b2 c22 ab2 ac2 bc( a b c)2， a2 b2 c212.当且仅当 a b c2 时等号成立
