1、1专题研究2 数列的求和第一次作业1数列12 n1 的前n项和为( )A12 n B22 nCn2 n1 Dn22 n答案 C2数列(1) n(2n1)的前2 018项和S 2 018等于( )A2 016 B2 018C2 015 D2 015答案 B解析 S 2 0181357(22 0171)(22 0181)222,1 009个2相加2 018.故选B.3在数列a n中，已知对任意nN *，a 1a 2a 3a n3 n1，则a 12a 22a 32a n2等于( )A(3 n1) 2 B. (9n1)12C9 n1 D. (3n1)14答案 B解析 因为a 1a 2a n3 n1，所
2、以a 1a 2a n1 3 n1 1(n2)则n2时，a n23 n1 .当n1时，a 1312，适合上式，所以a n23 n1 (nN *)则数列a n2是首项为4，公比为9的等比数列，故选B.4数列a n，b n满足a nbn1，a nn 23n2，则b n的前10项之和为( )A. B.13 512C. D.12 712答案 B解析 b n ，1an 1（ n 1） （ n 2） 1n 1 1n 2S10b 1b 2b 3b 10 .12 13 13 14 14 15 111 112 12 112 5125在数列a n中，a n2 n1，则 ( )1a2 a1 1a3 a2 1an 1
3、anA1 B12 n12nC1 D12 n12n答案 C26已知数列a n的通项公式是a n ，其前n项和S n ，则项数n等于( )2n 12n 32164A13 B10C9 D6答案 D解析 a n 1 ，S nn( )n1 .2n 12n 12n 12 122 12n 12n而 5 ，n1 5 .n6.32164 164 12n 1647已知等差数列a n的公差为d，且a n0，d0，则 可化简为( )1a1a2 1a2a3 1anan 1A. B.nda1（ a1 nd） na1（ a1 nd）C. D.da1（ a1 nd） n 1a1a1 （ n 1） d答案 B解析 ( )，原式
4、 ( )1anan 1 1d1an 1an 1 1d1a1 1a2 1a2 1a3 1an 1an 1 ( ) ，选B.1d1a1 1an 1 na1an 18(2017衡水中学调研卷)已知等差数列a n的前n项和S n满足S 36，S 5 ，则数列 的前n项和为( 252 an2n)A1 B2n 22n 1 n 42n 1C2 D2n 42n n 22n 1答案 B解析 设等差数列a n的公差为d，则S nna 1 d，因为S 36，S 5 ，所以 解得n（ n 1）2 252 3a1 3d 6，5a1 10d 252， )所以a n n1， ，设数列 的前n项和为T n，则T n ，a1
5、32，d 12， ) 12 an2n n 22n 1 an2n 322 423 524 n 12n n 22n 1 12Tn ，两项相减得 Tn ( ) (1 )323 424 525 n 12n 1 n 22n 2 12 34 123 124 12n 1 n 22n 2 34 14 12n 1 ，所以T n2 .n 22n 2 n 42n 19S n _122 1 142 1 1（ 2n） 2 13答案 n2n 1解析 通项a n ( )，S n (1 1（ 2n） 2 1 1（ 2n 1） （ 2n 1） 12 12n 1 12n 1 12 13 13 15 12n 1) (1 ) .12
6、n 1 12 12n 1 n2n 110已知数列a n的前n项和S nn 26n，则|a n|的前n项和T n_答案 6n n2 （ 1 n 3） ，n2 6n 18 （ n3） )解析 由S nn 26n，得a n是等差数列，且首项为5，公差为2.a n5(n1)22n7.n3时，a n3时，a n0.T n 6n n2 （ 1 n 3） ，n2 6n 18 （ n3） . )11(2017衡水中学调研)已知数列a n满足a 11，a n1 an2 n(nN *)，则S 2 016_答案 32 1 0083解析 依题意，得a n1 an2 n，a n1 an2 2 n1 ，则 2，即 2，a
7、n 1an 2anan 1 an 2an所以数列a 1，a 3，a 5，a 2k1 ，是以a 11为首项，2为公比的等比数列；数列a 2，a 4，a 6，a 2k，是以a 22为首项，2为公比的等比数列，则S2 016(a 1a 3a 5a 2 015)(a 2a 4a 6a 2 016) 32 1 0083.1 21 0081 2 2（ 1 21 008）1 212(2018深圳调研二)数列a n是公差为d(d0)的等差数列，S n为其前n项和，a 1，a 2，a 5成等比数列(1)证明：S 1，S 3，S 9成等比数列；(2)设a 11，b na 2n，求数列b n的前n项和T n.答案
8、(1)略 (2)2 n2 n4解析 (1)证明：由题意有a 22a 1a5，即(a 1d) 2a 1(a14d)，解得d2a 1.又S 1a 1，S 33a 13d9a 1，S99a 136d81a 1，S 32S 1S9.又S 1，S 3，S 9均不为零，S 1，S 3，S 9成等比数列(2)由a 11得d2a 12，则a n2n1，则Tna 2a 22a 23a 2n(221)(22 21)(22 31)(22 n1)2(22 22 32 n)n2 n2 n413(2017课标全国，文)设数列a n满足a 13a 2(2n1)a n2n.(1)求数列a n的通项公式；4(2)求数列 的前n
9、项和an2n 1答案 (1)a n (2)22n 1 2n2n 1解析 (1)因为a 13a 2(2n1)a n2n，故当n2时，a13a 2(2n3)a n1 2(n1)两式相减得(2n1)a n2，所以a n (n2)22n 1又由题设可得a 12，从而a n的通项公式为a n .22n 1(2)记 的前n项和为S n.由(1)知 .an2n 1 an2n 1 2（ 2n 1） （ 2n 1） 12n 1 12n 1则S n .11 13 13 15 12n 1 12n 1 2n2n 114已知数列a n为等比数列，T nna 1(n1)a 2a n，且T 11，T 24.(1)求数列a
10、n的通项公式；(2)求数列T n的通项公式答案 (1)a n2 n1 (2)T n2 n1 n2解析 (1)T 1a 11，T22a 1a 22a 24，a 22.等比数列a n的公比q 2.a2a1a n2 n1 .(2)方法一：T nn(n1)2(n2)2 212 n1 ，2Tnn2(n1)2 2(n2)2 312 n，得Tnn22 22 n1 2 nn2（ 1 2n）1 2n2 n1 22 n1 n2.方法二：设S na 1a 2a n，S n122 n1 2 n1.T nna 1(n1)a 22a n1 a na 1(a 1a 2)(a 1a 2a n)S 1S 2S n(21)(2
11、21)(2 n1)(22 22 n)n n2（ 1 2n）1 22 n1 n2.15(2018太原二模)已知数列a n的前n项和S n2 n1 2，数列b n满足b na na n1 (nN *)(1)求数列b n的通项公式；5(2)若c nlog 2an(nN *)，求数列b ncn的前n项和T n.答案 (1)32 n (2)3(n1)2 n1 6解析 (1)当n1时，a 1S 12，当n2时，a nS nS n1 2 n，又a 12满足上式，a n2 n(nN *)，b na na n1 32 n.(2)由(1)得a n2 n，b n32 n，c nlog 2ann，b ncn3n2 n
12、，T n3(1222 232 3n2 n)，2得2T n3(12 222 332 4n2 n1 )，得T n3(22 22 nn2 n1 )3(1n)2 n1 2，T n3(n1)2 n1 6.1(2016天津，文)已知a n是等比数列，前n项和为S n(nN *)，且 ，S 663.1a1 1a2 2a3(1)求a n的通项公式；(2)若对任意的nN *，b n是log 2an和log 2an1 的等差中项，求数列(1) nbn2的前2n项和答案 解析 (1)设数列a n的公比为q.由已知，有 ，解得q2，或q1.又由S 6a 1 63，知q1a1 1a1q 2a1q2 1 q61 q1，所
13、以a 1 63，得a 11.所以a n2 n1 .1 261 2(2)由题意，得b n (log2anlog 2an1 ) (log22n1 log 22n)n ，即b n是首项为 ，公差为1的等差数12 12 12 12列设数列(1) nbn2的前n项和为T n，则T2n(b 12b 22)(b 32b 42)(b 2n1 2b 2n2)b 1b 2b 3b 4b 2n1 b 2n2n（ b1 b2n）22n 2.第二次作业1数列1，(12)，(122 2)，(122 22 n1 )，的前n项之和为( )A2 n1 Bn2 nnC2 n1 n D2 n1 n2答案 D解析 记a n122 2
14、2 n1 2 n1，S n n2 n1 2n.2（ 2n 1）2 162(2017宁夏银川一中模拟)已知数列2 008，2 009，1，2 008，2 009，.这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2 018项之和S 2 018等于( )A2 008 B4 017C1 D0答案 B解析 由已知得a na n1 a n1 (n2)，a n1 a na n1 .故数列的前8项依次为2 008，2 009，1，2 008，2 009，1，2 008，2 009.由此可知该数列为周期数列，周期为6，且S 60.2 01863362，S 2 018S 22 0082
15、0094 017.3(2015江苏)数列a n满足a 11，且a n1 a nn1(nN *)，则数列 的前10项和为_1an答案 2011解析 由题意得：a n(a na n1 )(a n1 a n2 )(a 2a 1)a 1nn121 ，所以 2n（ n 1）2 1an( )，S n2(1 ) ，S 10 .1n 1n 1 1n 1 2nn 1 20114(2018衡水中学调研卷)数列a n的通项公式a nncos 1，前n项和为S n，则S 2 020_n2答案 3 030解析 a nncos 1，a 1a 2a 3a 46，a 5a 6a 7a 86，a 4k1 a 4k2 a 4k3
16、 a 4k4 6，kN，n2S 2 020505(a 1a 2a 3a 4)50563 030.5(2018江苏苏州调研)已知数列a n满足a n1 a n(1a n1 )，a 11，数列b n满足b na nan1 ，则数列bn的前10项的和S 10_答案 1011解析 由a n1 a n(1a n1 )得 1，因此数列 是以 1为首项，1为公差的等差数列，所以 n，即1an 1 1an 1an 1a1 1anan ，b na nan1 ，所以S 10b 1b 2b 10(1 )( )( )11n 1n（ n 1） 1n 1n 1 12 12 13 110 111 .111 10116(20
17、13湖南)设S n为数列a n的前n项和，S n(1) nan (nN *)，则12n(1)a3_；7(2)S1S 2S 100_答案 (1) (2) ( 1)116 13 12100解析 (1)因为S n(1) nan ，12n则S 3a 3 ，S 4a 4 ，解得a 3 .18 116 116(2)当n为偶数时，S na n ，当n为奇数时，S na n ，可得当n为奇数时a n ，12n 12n 12n 1又S 1S 2S 100(a 1 )(a 2 )(a 99 )(a 100 )12 122 1299 12100a 1a 2a 99a 100( )12 122 1299 12100S
18、 1002(a 1a 3a 99)(1 )12100S 101a 1012( )(1 )122 124 12100 12100 ( )2 (1 ) (1 ) ( 1)12102 121021221 （ 122） 501 122 12100 13 12100 13 121007(2016北京，文)已知a n是等差数列，b n是等比数列，且b 23，b 39，a 1b 1，a 14b 4.(1)求a n的通项公式；(2)设c na nb n，求数列c n的前n项和答案 (1)a n2n1 (2)S nn 23n 12解析 (1)等比数列b n的公比q 3，b3b2 93所以b 1 1，b 4b 3
19、q27.b n3 n1 .b2q设等差数列a n的公差为d.因为a 1b 11，a 14b 427，所以113d27，即d2.所以a n2n1(n1，2，3，)(2)由(1)知，a n2n1，b n3 n1 ，因此c na nb n2n13 n1 .从而数列c n的前n项和Sn13(2n1)133 n1 n 2 .n（ 1 2n 1）2 1 3n1 3 3n 128(2018安徽江南十校联考)已知S n是数列a n的前n项和，且满足S n2a nn4.(1)证明：S nn2为等比数列；8(2)求数列S n的前n项和T n.答案 (1)略 (2)2n 3 n2 3n 82解析 (1)证明：当n1
20、时，a 1S 1，S 12a 114，解得a 13.由S n2a nn4可得S n2(S nS n1 )n4(n2)，即S n2S n1 n4，所以S nn22S n1 (n1)2因为S 1124，所以S nn2是首项为4，公比为2的等比数列(2)由(1)知S nn22 n1 ，所以S n2 n1 n2，于是T n(2 22 32 n1 )(12n)2n 2n .4（ 1 2n）1 2 n（ n 1）2 2n 3 n2 3n 829(2017重庆抽测二)已知数列a n的前n项和为S n，a 12，a n1 S n(nN *)(1)求数列a n的通项公式；(2)设b n(n1)a n，求数列b
21、n的前n项和T n.答案 (1) (2)(n2)2 n2(nN *)2， n 12n 1， n 2)解析 (1)a n1 S n(nN *)，S n1 S nS n， 2.Sn 1Sn又S 1a 12，数列S n是首项为2，公比为2的等比数列，S n2 n(nN *)当n2时，a nS nS n1 2 n1 (n2)，a n 2， n 1，2n 1， n 2.)(2)Tn0a 11a 22a 3(n1)a n，当n1时，T 10.当n2时，Tn1222 232 3(n1)2 n1 ，2Tn12 222 332 4(n2)2 n1 (n1)2 n，得T n22 22 32 n1 (n1)2 n
22、(n1)2 n2（ 1 2n 1）1 2(2n)2 n2.T n(n2)2 n2(n2)又T 10也满足上式，T n(n2)2 n2(nN *)10(2015课标全国)S n为数列a n的前n项和，已知a n0，a n22a n4S n3.(1)求a n的通项公式；9(2)设b n ，求数列b n的前n项和1anan 1答案 (1)a n2n1 (2)T nn3（ 2n 3）解析 (1)由a n22a n4S n3，可知a n1 22a n1 4S n1 3.可得a n1 2a n22(a n1 a n)4a n1 ，即2(an1 a n)a n1 2a n2(a n1 a n)(an1 a
23、n)由于a n0，可得a n1 a n2.又a 122a 14a 13，解得a 11(舍去)或a 13.所以a n是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为a n2n1.(2)由a n2n1可知bn ( )1anan 1 1（ 2n 1） （ 2n 3） 12 12n 1 12n 3设数列b n的前n项和为T n，则Tnb 1b 2b n ( )( )( )12 13 15 15 17 12n 1 12n 3 .n3（ 2n 3）11数列a n满足a 11，na n1 (n1)a nn(n1)(nN *)(1)证明：数列 是等差数列；ann(2)设b n3 n ，求数列b n的前n项和S n.
24、an答案 (1)略 (2)S n（ 2n 1） 3n 1 34解析 (1)证明：由题意，得 1，即 1，an 1n 1 ann an 1n 1 ann所以 是以 1为首项，1为公差的等差数列ann a11(2)解：由(1)得 1(n1)1n，所以a nn 2.ann所以b nn3 n.Sn13 123 233 3n3 n，3Sn13 223 3(n1)3 nn3 n1 .得2S n3 13 23 nn3 n1 n3 n1 .3（ 1 3n）1 3 （ 1 2n） 3n 1 32所以S n .（ 2n 1） 3n 1 341(2015安徽)已知数列a n是递增的等比数列，且a 1a 49，a 2
25、a38.10(1)求数列a n的通项公式；(2)设S n为数列a n的前n项和，b n ，求数列b n的前n项和T n.an 1SnSn 1答案 (1)a n2 n1 (2)T n112n 1 1解析 (1)由题设知，a 1a4a 2a38，又a 1a 49，可解得 或 (舍去)a1 1，a4 8) a1 8，a4 1)由a 4a 1q3得公比为q2，故a na 1qn1 2 n1 .(2)Sn 2 n1，又b n ，a1（ 1 qn）1 q an 1SnSn 1 Sn 1 SnSnSn 1 1Sn 1Sn 1所以T nb 1b 2b n( )( )( ) 1 .1S1 1S2 1S2 1S3
26、 1Sn 1Sn 1 1S1 1Sn 1 12n 1 12(2016浙江，文)设数列a n的前n项和为S n.已知S 24，a n1 2S n1，nN *.(1)求通项公式a n；(2)求数列|a nn2|的前n项和答案 (1)a n3 n1 (2)2， n 1，3n n2 5n 112 ， n 2， n N*.)解析 (1)由题意知 则a1 a2 4，a2 2a1 1， ) a1 1，a2 3.)又当n2时，由an1 a n(2S n1)(2S n1 1)2a n，得a n1 3a n.所以，数列a n的通项公式为a n3 n1 ，nN *.(2)设b n|3 n1 n2|，nN *，b 12，b 21.当n3时，由于3 n1 n2，故b n3 n1 n2，n3.设数列b n的前n项和为T n，则T 12，T 23.当n3时，Tn3 ，9（ 1 3n 2）1 3 （ n 7） （ n 2）2 3n n2 5n 112所以T n 2， n 1，3n n2 5n 112 ， n 2， n N*.)
