1、1第4课时 基本不等式1已知a，b(0，1)且ab，下列各式中最大的是( )Aa 2b 2 B2 abC2ab Dab答案 D解析 只需比较a 2b 2与ab.由于a，b(0，1)，a 20，且b0，若2ab4，则 的最小值为( )1abA. B414C. D212答案 C解析 42ab2 ，ab2， ，当且仅当a1，b2时取等号2ab1ab 127若x0，b0，ab b2a2 ，ab2 .1a 2b b 2aab ab ab 2 ab 2方法二：由题设易知a0，b0， 2 ，即ab2 ，当且仅当b2a时取“”号，选C.ab1a 2b 2ab 29(2017金山模拟)函数y (x1)的最小值是
2、( )x2 2x 1A2 2 B2 23 3C2 D23答案 A解析 x1，x10.y x2 2x 1 x2 2x 2x 2x 1 x2 2x 1 2（ x 1） 3x 13 x1 22 22 2.（ x 1） 2 2（ x 1） 3x 1 3x 1 （ x 1） （ 3x 1） 3当且仅当x1 ，即x1 时，取等号3x 1 310已知不等式(xy)( )9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为( )1x ayA2 B4C6 D8答案 B解析 (xy)( )1a a1a2 ( 1) 2，1x ay xy yx a a当且仅当a ，即ax 2y 2时“”成立xy yx(xy)( )的最小
3、值为( 1) 29.1x ay aa4.11设实数x，y，m，n满足x 2y 21，m 2n 23，那么mxny的最大值是( )A. B23C. D.5102答案 A解析 方法一：设xsin，ycos，m sin，n cos，其中，R.3 3mxny sinsin coscos cos()故选A.3 3 3方法二：由已知(x 2y 2)(m2n 2)3，即m 2x2n 2y2n 2x2m 2y23，m 2x2n 2y22(nx)(my)3，即(mxny) 23，mxny .312已知x，y，z(0，)，且满足x2y3z0，则 的最小值为( )y2xzA3 B6C9 D12答案 A13(2017
4、四川成都外国语学校)若正数a，b满足： 1，则 的最小值为( )1a 1b 1a 1 9b 1A16 B9C6 D1答案 C解析 方法一：因为 1，所以abab，即(a1)(b1)1，所以 2 231a 1b 1a 1 9b 1 1a 19b 16.4方法二：因为 1，所以abab， b9a10(b9a)( )101611a 1b 1a 1 9b 1 b 1 9a 9ab a b 1 1a 1b06.方法三：因为 1，所以a1 ，所以 (b1) 2 236.1a 1b 1b 1 1a 1 9b 1 9b 1 914(1)当x1时，x 的最小值为_；4x 1(2)当x4时，x 的最小值为_4x
5、1答案 (1)5 (2)163解析 (1)x1，x10.x x1 12 15.4x 1 4x 1 4(当且仅当x1 .即x3时“”号成立)4x 1x 的最小值为5.4x 1(2)x4，x13.函数yx 在3，)上为增函数，4x当x13时，y(x1) 1有最小值 .4x 1 16315若a0，b0，ab1，则ab 的最小值为_1ab答案 174解析 ab( )2 ，a b2 14当且仅当ab 时取等号12yx 在x(0， 上为减函数1x 14ab 的最小值为 4 .1ab 14 17416已知ab0，求a 2 的最小值16b（ a b）答案 16思路 由b(ab)求出最大值，从而去掉b，再由a
6、2 ，求出最小值64a2解析 ab0，ab0.b(ab) 2 .b （ a b）2 a245a 2 a 2 2 16.16b（ a b） 64a2 a264a2当a 2 且bab，即a2 ，b 时等号成立64a2 2 2a 2 的最小值为16.16b（ a b）17(2017江西重点中学盟校联考)设x，y均为正实数，且 ，求xy的最小值12 x 12 y 13答案 16解析 由 ，化为3(2y)3(2x)(2y)(2x)，整理为xyxy8.x，y均为正实数，xy12 x 12 y 13xy82 8，( )22 80，解得 4，即xy16，当且仅当xy4时取等号，xy xy xy xyxy的最小
7、值为16.18(2018辽宁抚顺一中月考)某健身器材厂研制了一种足浴气血生机，具体原理是：在足浴盆右侧离中心x(00)的最小值为244x 3D函数y23x (x0)的最大值为244x 3答案 D解析 yx 的定义域为x|x0，当x0时，有最小值2，当x0时，3x 2 4 ，4x 3x4x 3当且仅当3x ，即x 时取“”，4x 23 3y2(3x )有最大值24 ，故C项不正确，D项正确4x 32(2014重庆)若log 4(3a4b)log 2 ，则ab的最小值是( )abA62 B723 3C64 D743 3答案 D解析 因为log 4(3a4b)log 2 ，所以log 4(3a4b)
8、log 4(ab)，即3a4bab，且 即a0，b0ab 3a 4b0，ab0， )，所以 1(a0，b0)，ab(ab)( )7 72 74 ，当且仅当 时4a 3b 4a 3b 4ba 3ab 4ba3ab 3 4ba 3ab取等号，选择D项3(2016人大附中月考)设a，b，c均大于0，则“abc1”是“ abc”的( )1a 1b 1cA充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件答案 A解析 ，1a 1b 1c bc ca ababc当abc1时， (bc)(ca)(ab)abc.bc ca ababc 12故abc1 abc.1a 1b 1c7反过来，若a
9、b1，c4，有 abc，但abc1，1a 1b 1c“abc1”是“ abc”的充分不必要条件1a 1b 1c4(2017山东师大附中月考)已知a，b，cR ，且abbcca1，那么下列不等式中正确的是( )Aa 2b 2c 22 B(abc) 23C. 2 Dabc(abc)1a 1b 1c 3 13答案 B解析 a 2b 22ab，b 2c 22bc，c 2a 22ac，三式相加可知2(a 2b 2c 2)2(bcabac)，a 2b 2c 21.a 2b 2c 22ab2bc2ca12.(abc) 23.5已知a0，b0，a，b的等比中项是1，且mb ，na ，则mn的最小值是( )1a
10、 1bA3 B4C5 D6答案 B解析 由题意知ab1，则mb 2b，na 2a，1a 1bmn2(ab)4 4(当且仅当ab1时，等号成立)ab6已知x，y为正实数，3x2y10，则W 的最大值为_3x 2y答案 2 5解析 方法一：由 可得 2 ，当且仅当3a b2 a2 b22 3x 2y 2 （ 3x） 2 （ 2y） 2 2 3x 2y 5x2y，即x ，y 时等号成立53 52方法二：易知W0，W 23x2y2 102 10( )2( )210(3x2y)23x 2y 3x 2y 3x 2y0，W2 ，当且仅当3x2y，即x ，y 时等号成立553 527已知三个正数a，b，c成等
11、比数列，则 的最小值为_a cb ba c答案 52解析 由条件可知a，b，c0且b 2ac，即b ，故 2，当且仅当abc时取等号，令 t，aca cb 2 acb a cb则yt 在2，)上单调递增，故其最小值为2 ，即 的最小值为 .1t 12 52 a cb ba c 528(2018河南郑州外国语学校月考)某城镇人口第二年比第一年增长m%，第三年比第二年增长n%，若这两年8的平均增长率为p%，则p与 的大小关系为( )m n2Ap Bpm n2 m n2Cp Dpm n2 m n2答案 C解析 依题意得(1m%)(1n%)(1p%) 2，所以1p% 1（ 1 m%） （ 1 n%）1
12、 m% 1 n%2，当且仅当mn时等号成立，所以p ，故选C.m% n%2 m n29已知不等式x 25axb0的解集为x|x4或x0的解集为x|x4或x0，1x 41 x 1x 41 x 1 xx 4x1 x 1 xx0，所以f(x)52 9，当且仅当 ，即x 时等号成立4x1 x 1 xx 4x1 x 1 xx 4x1 x 13所以f(x)的最小值为9.10.如图所示，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽2 m的无盖长方体的沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为a m，高度为b m，已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比现有制箱材料60 m2，问a，
13、b各为多少m时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A，B孔面积忽略不计)答案 a6 m，b3 m解析 设y为流出的水中杂质的质量分数，根据题意可知：y ，其中k是比例系数且k0.kab依题意要使y最小，只需求ab的最大值由题设，得4b2ab2a60(a0，b0)，即a2bab30(a0，b0)a2b2 ，2 ab30.2ab 2 ab当且仅当a2b时取“”号，ab有最大值9当a2b时有2 ab30，即b 22b150.2 ab解之得b 13，b 25(舍去)，a2b6.故当a6 m，b3 m时经沉淀后流出的水中杂质的质量分数最小11某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉
14、的价格为1 800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，每次购买面粉需支付运费900元(1)该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？(2)若提供面粉的公司规定：当一次性购买面粉不少于210吨时，其价格可享受9折优惠(即原价的90%)，该厂是否应考虑接受此优惠条件？请说明理由答案 (1)10天 (2)应该接受此优惠条件解析 (1)设该厂应每隔x天购买一次面粉，则其购买量为6x吨由题意知，面粉的保管等其他费用为36x6(x1)62619x(x1)设每天所支付的总费用为y 1元，则y1 9x(x1)90061 8001x 9x10 8092 10 80910 989，900x
15、 900x9x当且仅当9x ，即x10时取等号900x所以该厂每隔10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少(2)若该厂家接受此优惠条件，则至少每隔35天购买一次面粉设该厂接受此优惠条件后，每隔x(x35)天购买一次面粉，平均每天支付的总费用为y 2，则y2 9x(x1)90061 8000.90 9x9 1x 900x729(x35)令f(x)x (x35)，x 2x135，则f(x 1)f(x 2)(x 1 )(x 2 )100x 100x1 100x2 .因为x 2x135，（ x1 x2） （ x1x2 100）x1x2所以x 1x 2100，即x 1x21000.所以f(x 1)f(x 2)0，即f(x 1)f(x2)所以f(x)x 在35，)上为增函数100x所以当x35时，y 2有最小值，约为10 069.7.此时y 210 989，所以该厂应该接受此优惠条件
