1、12.3 二次函数与幂函数考纲解读考点 内容解读 要求 高考示例 常考题型 预测热度1.二次函数1.了解二次函数的图象与性质2.结合二次函数的图象,求二次函数的最值、单调区间3.掌握三个“二次”之间的关系2017北京,11;2017浙江,5;2016浙江,6;2015福建,162.幂函数了解幂函数的概念,结合函数y=x,y=x2,y=x3,y= ,y= 的图象,了解它1 12们的变化情况 2016课标全国,7选择题、填空题、解答题分析解读本节重点考查二次函数、一元二次方程及二次不等式的综合应用以及幂函数的图象及性质,重点考查等价转化和数形结合的思想.以二次函数为载体,解决二次函数的单调区间、二
2、次函数在给定的闭区间上的最值以及有关参数的取值范围问题,关键是抓住函数图象的对称轴;幂函数问题主要是考查幂函数在第一象限内的图象及性质.本节内容在高考中分值为5分左右,属于中档题.五年高考考点一 二次函数1.(2016浙江,6,5分)已知函数f(x)=x 2+bx,则“b0,q0)的两个不同的零点,且a,b,-2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则p+q的值等于_.答案 96.(2015浙江,20,15分)设函数f(x)=x 2+ax+b(a,bR).(1)当b= +1时,求函数f(x)在-1,1上的最小值g(a)的表达式 ;24(2)已知函数f(x)在-1,1上存在零
3、点,0b-2a1,求b的取值范围.解析 (1)当b= +1时, f(x)= +1,24 (+2)2故对称轴为直线x=- .2当a-2时,g(a)=f(1)= +a+2.24当-22时,g(a)=f(-1)= -a+2.24综上,g(a)=24+2, -2,1,-22. (2)设s,t为方程f(x)=0的解,且-1t1,则 +=-,=, 3由于0b-2a1,因此 s (-1t1).-2+2 1-2+2当0t1时, st ,-22+2 -22+2由于- 0和- 9-4 ,23 -22+2 13 -22+2 5所以- b9-4 .23 5当-1t0时,f(0)=2a,令2a1,解得0, 则f(x)=
4、 2-(2+1), ,2-(2-1),. 当xa时,f (x)=2x-(2a+1)=2(x-a)-1a时,f (x)=2x-(2a-1)=2(x-a)+10,所以f(x)在区间(a,+)上单调递增.(3)令h(x)=f(x)+ ,由(2)得,44h(x)=2-(2+1)+2+4, 0, 则h(x)=2-(2+1)-42, 0, 当0a时,因为a2,所以x2,即00,(1-42)所以h(x)在区间(a,+)上单调递增.因为h(1)=40,h(2a)=2a+ 0,21)若a=2,则h(a)=-a 2+a+ =-4+2+2=0,4此时h(x)在(0,+)上有唯一一个零点;2)若a2,则h(a)=-a
5、 2+a+ =- =-4 3-2-42时, f(x)+ 在区间(0,+) 内有两个零点.4考点二 幂函数(2016课标全国,7,5分)已知a= ,b= ,c=2 ,则( )243 323 513A.b0,-10,(2)g(x)=x2+2mx-m2=(x+m)2-2m2,此二次函数图象的对称轴为x=-m.当-m2,即m-2时,g(x)在1,2)上单调递减,不存在最小值;当10),若x 1-5,a(a-4), x2(0,+),使得f(x 1)=g(x2)成立,则a的最大值为( )(12)-2,2(4)A.-4 B.-3 C.-2 D.0答案 C 3.(2017江西金溪一中等期中联考,12)已知函数
6、f(x)=2 x-5,g(x)=4x-x2,给出下列三个命题:p 1:若xR,则f(x)f(-x)的最大值为16;p 2:不等式f(x)0时,若x 1,x2a,a+2,f(x 1)g(x 2)恒成立,则a3,这三个命题中所有的真命题是( ) A.p1,p2,p3 B.p2,p3 C.p1,p2 D.p1答案 A 二、解答题(共10分)4.(2017江西九江七校联考,19)已知二次函数f(x)的对称轴为直线x=-2,f(x)的图象截x轴所得的线段长为2 ,且满足f(0)=1.3(1)求f(x)的解析式;(2)若f k对x-1,1恒成立,求实数k的取值范围.(12)解析 (1)由题意可设f(x)=
7、a(x+2+ )(x+2- )(a0),3 3由f(0)=1得a=1,f(x)=(x+2+ )(x+2- )=x2+4x+1.3 3(2)当x-1,1时,令t= ,则t ,(12) 12,2由(1)知f(x)的图象开口向上,且对称轴为直线x=-2,f(t)在t 上单调递增.12,2f(t) min=f = .所以实数k的取值范围是 .(12)134 (-,134)C组 20162018年模拟方法题组方法1 二次函数的区间最值问题的解法1.(2018广东坪山区期末,8)若函数f(x)=x 2-3x-4的定义域为0,m,值域为 ,则m的取值范围是( )-254,-4A.(0,4 B. C. D.3
8、2,4 32,3 32,+)答案 C 82.(2016皖南八校联考,19)已知函数f(x)=x 2+2ax+b,x-1,1.(1)用a,b表示f(x)的最大值M;(2)若b=a 2,且f(x)的最大值不大于4,求a的取值范围.解析 (1)f(x)=(x+a) 2+b-a2的图象关于直线x=-a对称,且函数f(x)的增区间为-a,+),减区间为(-,-a,又x-1,1,当-a0,即a0时,M=f(1)=1+2a+b,当-a0,即a3方法3 幂函数的图象、性质及应用6.(2016甘肃河西张掖中学期中,7)函数y= 的大致图象是( )43答案 A 7.(2018福建六校联考,13)若幂函数y=(m 2-3m+3) 的图象不经过坐标原点,则实数m的取值范围为_.2-2答案 1或298.(2017辽宁六校协作体期中,14)已知幂函数y=f(x)的图象过点(3, ),则log 4 f(2)= _.3答案 14
