1、1第十六章 不等式选讲命题探究解答过程解法一:(1)f(x)=当x2时,由f(x)1解得x2.所以f(x)1的解集为x|x1.(2)由f(x)x 2-x+m得m|x+1|-|x-2|-x 2+x.而|x+1|-|x-2|-x 2+x|x|+1+|x|-2-x 2+|x|=-+,且当x=时,|x+1|-|x-2|-x 2+x=.故m的取值范围为.解法二:(1)f(x)=其图象如图所示:由图可知f(x)1的解集为x|x1.(2)原式等价于存在xR使得f(x)-x 2+xm成立,即mf(x)-x 2+xmax,设g(x)=f(x)-x 2+x,由(1)知g(x)=(i)当x-1时,g(x)=-x 2
2、+x-3,其图象开口向下,对称轴方程为x=-1,g(x)g(-1)=-5;(ii)当-11时,式化为x 2+x-40,从而11时,等价于a-1+a3,解得a2.所以a的取值范围是2,+).(10分)3.(2015课标,24,10分)选修45:不等式选讲已知函数f(x)=|x+1|-2|x-a|,a0.(1)当a=1时,求不等式f(x)1的解集;(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.解析 (1)当a=1时,f(x)1化为|x+1|-2|x-1|-10.当x-1时,不等式化为x-40,无解;当-10,解得0,解得1x1的解集为.(5分)(2)由题设可得,f(x)=所以
3、函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A,B(2a+1,0),C(a,a+1),ABC的面积为(a+1) 2.由题设得(a+1) 26,故a2.所以a的取值范围为(2,+).(10分)教师用书专用(412)4.(2015山东,5,5分)不等式|x-1|-|x-5|0).(1)证明:f(x)2;(2)若f(3)0,得f(x)=+|x-a|=+a2.4所以f(x)2.(2)f(3)=+|3-a|.当a3时,f(3)=a+,由f(3)0,b0,a 3+b3=2.证明:(1)(a+b)(a5+b5)4;(2)a+b2.证明 本题考查不等式的证明.(1)(a+b)(a5+b5)=a6+ab
4、5+a5b+b6=(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4)=4+ab(a2-b2)24.(2)因为(a+b) 3=a3+3a2b+3ab2+b3=2+3ab(a+b)2+(a+b)=2+,所以(a+b) 38,因此a+b2.2.(2017江苏,21D,10分)已知a,b,c,d为实数,且a 2+b2=4,c2+d2=16,证明:ac+bd8.证明 本小题主要考查不等式的证明,考查推理论证能力.由柯西不等式可得:(ac+bd) 2(a 2+b2)(c2+d2).因为a 2+b2=4,c2+d2=16,所以(ac+bd) 264,因此ac+bd8.3.(2016课标全国,24,10分)已知
5、函数f(x)=+,M为不等式f(x)-1;(3分)当-cd,则+;(2)+是|a-b|cd得(+) 2(+)2.因此+.(2)(i)若|a-b|cd.由(1)得+.(ii)若+,则(+) 2(+)2,即a+b+2c+d+2.因为a+b=c+d,所以abcd.于是(a-b)2=(a+b)2-4ab+是|a-b|0,b0,且a+b=+.证明:(1)a+b2;(2)a2+a0,b0,得ab=1.(1)由基本不等式及ab=1,有a+b2=2,即a+b2.(2)假设a 2+a0得00,b0,且+=.(1)求a 3+b3的最小值;(2)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并说明理由.解析 (1)由=+,得
6、ab2,且当a=b=时等号成立.故a 3+b324,且当a=b=时等号成立.所以a 3+b3的最小值为4.(2)由(1)知,2a+3b24.由于46,从而不存在a,b,使得2a+3b=6.8.(2014福建,21(3),7分)选修45:不等式选讲已知定义在R上的函数f(x)=|x+1|+|x-2|的最小值为a.(1)求a的值;(2)若p,q,r是正实数,且满足p+q+r=a,求证:p 2+q2+r23.解析 (1)因为|x+1|+|x-2|(x+1)-(x-2)|=3,当且仅当-1x2时,等号成立,所以f(x)的最小值等于3,即a=3.(2)证明:由(1)知p+q+r=3,又因为p,q,r是正
7、实数,所以(p 2+q2+r2)(12+12+12)(p1+q1+r1) 2=(p+q+r)2=9,6即p 2+q2+r23.9.(2013课标全国,24,10分)选修45:不等式选讲设a,b,c均为正数,且a+b+c=1,证明:(1)ab+bc+ca;(2)+1.证明 (1)由a 2+b22ab,b 2+c22bc,c 2+a22ca得a 2+b2+c2ab+bc+ca.由题设得(a+b+c) 2=1,即a 2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1.所以3(ab+bc+ca)1,即ab+bc+ca.(2)易证+b2a,+c2b,+a2c,故+(a+b+c)2(a+b+c),即+a+b+c.
8、所以+1.三年模拟A组 20162018年模拟基础题组考点一 含绝对值不等式的解法1.(2018湖南长沙第二次模拟,23)已知函数f(x)=|x+a 2|+|x-a-1|.(1)证明:f(x);(2)若f(4)0恒成立,求实数n的最小值;(2)若函数f(x)=求函数g(x)=f(x)+h(x)的值域.解析 (1)h(x)-|x-2|n对任意的x0恒成立,等价于-|x-3|-|x-2|n对任意的x0恒成立,等价于-n(|x-2|+|x-3|) min.因为|x-2|+|x-3|x-2-(x-3)|=1,当且仅当x2,3时取到等号,所以-n1,得n-1.所以实数n的最小值为-1.(2)因为f(x)
9、=g(x)=f(x)+h(x),所以g(x)=f(x)-|x-3|=当02恒成立,求实数a的取值范围.解析 (1)原不等式等价于或或解得2恒成立log 2(a2-3a)+26的解集;(2)若不等式f(x)10对任意实数x恒成立,求m的取值范围.解析 (1)当m=3时,f(x)6,即|x+3|-|x-5|6.或或解得x5或46的解集为x|x4.(2)f(x)=|x+m|-|5-x|(x+m)+(5-x)|=|m+5|.由题意得|m+5|10,即-10m+510,解得-15m5.故m的取值范围为-15,5.C组 20162018年模拟方法题组方法1 含绝对值不等式的解法1.(2018四川成都第七中
10、学一诊,23)已知函数f(x)=m-|x-1|-|x+1|.(1)当m=5时,求不等式f(x)2的解集;(2)若函数y=x 2+2x+3与y=f(x)的图象恒有公共点,求实数m的取值范围.解析 (1)当m=5时, f(x)=所以不等式f(x)2的解集为.(2)二次函数y=x 2+2x+3=(x+1)2+2,该函数在x=-1时取到最小值2,因为f(x)=在x-1,1时取到最大值m-2,所以要使二次函数y=x 2+2x+3与函数y=f(x)的图象恒有公共点,只需m-22,即m4.所以实数m的取值范围是4,+).2.(2017广东韶关1月调研,23)已知函数f(x)=|x+m|+|2x-1|(mR).(1)当m=-1时,求不等式f(x)2的解集;(2)设关于x的不等式f(x)|2x+1|的解集为A,且A,求实数m的取值范围.解析 (1)当m=-1时,f(x)=|x-1|+|2x-1|,则f(x)2|x-1|+|2x-1|2,上述不等式可化为或或解得或或0x或2时,a-1, f(x)0的解集为,0,2,a-10且2,23的解集为P.(1)求P; (2)若a,bP,且a3不成立;当-43,解得x0,03成立,故P=x|x0.(2)证明:a0,ba,a(b-a)=,当且仅当b=2a时取等号,又b1,故+=b 2+(1-b2)=5+9,当且仅当即a=,b=时取等号.
