1、1中档大题分类练(三) 概率与统计(建议用时：60 分钟)1(2018衡水中学模拟)为了解学生寒假期间学习情况，学校对某班男、女学生学习时间进行调查，学习时间按整小时统计，调查结果绘成折线图如下：图 44(1)已知该校有 400 名学生，试估计全校学生中，每天学习不足 4 小时的人数；(2)若从学习时间不少于 4 小时的学生中选取 4 人，设选到的男生人数为 X，求随机变量 X 的分布列；(3)试比较男生学习时间的方差 S 与女生学习时间方差 S 的大小(只需写出结论)21 2解 (1)由折线图可得共抽取了 20 人，其中男生中学习时间不足 4 小时的有 8 人，女生中学习时间不足 4 小时的
2、有 4 人可估计全校中每天学习不足 4 小时的人数为：400 240(人)1220(2)学习时间不少于 4 小时的学生共 8 人，其中男学生人数为 4 人，故 X 的所有可能取值为 0,1,2,3,4.由题意可得 P(X0) ；C4C48 170P(X1) ；C14C34C48 1670 835P(X2) ；C24C24C48 3670 1835P(X3) ；C34C14C48 1670 835P(X4) .C4C48 170所以随机变量 X 的分布列为X 0 1 2 3 4P 170 835 1835 835 170均值 E(X)0 1 2 3 4 2.170 1670 3670 1670
3、170(3)由折线图可得 S S .21 2【教师备选】2(2018梧州市二模)某工厂生产的 10 000 件产品的质量评分服从正态分布N(115,25)现从中随机抽取了 50 件产品的评分情况，结果这 50 件产品的评分全部介于80 分到 140 分之间现将结果按如下方式分为 6 组，第一组80,90)，第二组90,100)，第六组130,140，得到如图所示的频率分布直方图(1)试用样本估计该工厂产品评分的平均分(同一组中的数据用该区间的中间值作代表)；(2)这 50 件产品中评分在 120 分(含 120 分)以上的产品中任意抽取 3 件，该 3 件在全部产品中评分为前 13 名的件数记
4、为 X，求 X 的分布列附：若 X N( ， 2)，则P( X )0.682 6，P( 2 X 2 )0.954 4，P( 3 X 3 )0.997 4.解 (1)由频率分布直方图可知120,130)的频率为1(0.01100.024100.03100.016100.00810)10.880.12.所以估计该工厂产品的评分的平均分为850.1950.241050.31150.161250.121350.08107.(2)由于 0.001 3，根据正态分布，因为 P(11535 X11535)1310 0000.997 4，所以 P(X130) 0.001 3，即 0.001 310 00013
5、，所以前1 0.997 4213 名的成绩全部在 130 分以上根据频率分布直方图这 50 件产品评分的分数在 130 分以上(包括 130 分)的有0.08504 件，而在120,140的产品共有 0.12500.085010，所以 X 的取值为 0,1,2,3.所以 P(X0) ， P(X1) ，C36C310 16 C14C26C310 12P(X2) ， P(X3) .C24C16C310 310 C34C310 130所以 X 的分布列为3X 0 1 2 3P 16 12 310 1302.某地 110 岁男童年龄 xi(岁)与身高的中位数 yi(cm)(i1,2，10)如下表：x(
6、岁) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10y(cm) 76.5 88.5 96.8 104.1 113.3 117.7 124.0 130.0 135.4 140.2对上表的数据作初步处理，得到如图 45 所示的散点图及一些统计量的值图 45x y (xi )210 i 1 x (yi )210 i 1 y (xi )(yi )10 i 1 x y5.5 112.45 82.50 3 947.71 566.85(1)求 y 关于 x 的线性回归方程(回归方程系数精确到 0.01)；(2)某同学认为， y px2 qx r 更适宜作为 y 关于 x 的回归方程类型，他求得的回归方程是 0.3
7、0 x210.17 x68.07.经调查，该地 11 岁男童身高的中位数为 145.3 cm.y 与(1)中的线性回归方程比较，哪个回归方程的拟合效果更好？附：回归方程 x 中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 y a b b ， . n i 1 xi x yi y n i 1 xi x 2 a y b x解 (1) 6.87，b 10 i 1 xi x yi y10 i 1 xi x 2 566.8582.5 112.456.875.574.67，a y b x所以 y 关于 x 的线性回归方程为 6.87 x74.67.y (2)若回归方程为 6.87 x74.67，y 若 x11 时，
8、 150.24.y 4若回归方程为 0.30 x210.17 x68.07，y 当 x11 时， 143.64.y 因为|143.64145.3|1.66|150.24145.3|4.94，所以回归方程 0.30 x210.17 x68.07 对该地 11 岁男童身高中位数的拟合效果y 更好3十九大提出，加快水污染防治，建设美丽中国根据环保部门对某河流的每年污水排放量 X(单位：吨)的历史统计数据， 得到如下频率分布表：污水量 230,250) 250,270) 270,290) 频率 0.3 0.44 0.15污水量 290,310) 310,330) 330,350)频率 0.1 0.00
9、5 0.005将污水排放量落入各组的频率作为概率，并假设每年该河流的污水排放量相互独立(1)求在未来 3 年里，至多 1 年污水排放量 X270,310)的概率；(2)该河流的污水排放对沿河的经济影响如下：当 X230,270)时，没有影响；当X270,310)时，经济损失为 10 万元；当 X310,350)时，经济损失为 60 万元为减少损失，现有三种应对方案：方案一：防治 350 吨的污水排放，每年需要防治费 3.8 万元；方案二：防治 310 吨的污水排放，每年需要防治费 2 万元；方案三：不采取措施试比较上述三种方案，哪种方案好，并请说明理由解 (1)由题意得 P(270 X310)
10、0.25 ，14设在未来 3 年里，该河流的污水排放量 X270,310)的年数为 Y，则 Y B .(3，14)设事件“在未来 3 年里，至多 1 年污水排放量 X270,310)”为事件 A，则 P(A) P(Y0) P(Y1)C C .03(34)3 13(34)2 14 2732故在未来 3 年里，至多 1 年污水排放量 X270,310)的概率为 .2732(2)方案二好，理由如下：由题意得 P(230 X270)0.74，P(310 X350)0.01.用 S1， S2， S3分别表示方案一、方案二、方案三的经济损失5则 S13.8 万元S2的分布列为S2 2 62P 0.99 0
11、.01E(S2)20.99620.012.6.S3的分布列为S3 0 10 60P 0.74 0.25 0.01E(S3)00.74100.25600.013.1.所以三种方案中方案二的平均损失最小，所以采取方案二最好【教师备选】(2018湖北省荆州中学等“四地七校联考)已知鸡的产蛋量与鸡舍的温度有关，为了确定下一个时段鸡舍的控制温度，某企业需要了解鸡舍的温度 x(单位)，对某种鸡的时段产蛋量 y(单位： t)和时段投入成本 z(单位：万元)的影响，为此，该企业收集了 7 个鸡舍的时段控制温度 xi和产蛋量 yi(i1,2，7)的数据，对数据初步处理后得到了如图所示的散点图和表中的统计量的值x
12、 y k r x 1(xi x)2(ki7 i 1)2k(xi )t i 1 x(yi )y7 t 1(xi )(kix)k17.40 82.30 3.6 140 9.7 2935.1 35.0其中 kiln yi， ki.k17 7 i 1(1)根据散点图判断， y bx a 与 y c1ec2x 哪一个更适宜作为该种鸡的时段产蛋量 y关于鸡舍时段控制温度 x 的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(2)若用 y c1ec2x 作为回归方程模型，根据表中数据，建立 y 关于 x 的回归方程；(3)已知时段投入成本 z 与 x， y 的关系为 ze 2.5 y0.1 x10，当时段控制
13、温度为628时，鸡的时段产蛋量及时段投入成本的预报值分别是多少？附：对于一组具有线性相关关系的数据( i， vi)(i1,2,3， n)，其回归直线v u 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 ， n i 1 ui u vi v n i 1 ui u 2 v. ue2.5 e0.75 e e3 e70.08 0.47 2.72 20.09 1 096.63解 (1) y c1e 适宜c2x (2)由 y c1e 得 ln y c2xln c1c2x 令 ln y k， c2 ， ln c1由图表中的数据可知 ， ， 35140 14 34 x ，k 14 34 y 关于 x 的回归方程为 ye 0
14、.47e .(3)x28 时，由回归方程得 0.471 096.63515.4，y 0.08515.42.81048.432.z 即鸡舍的温度为 28 时，鸡的时段产量的预报值为 515.4，投入成本的预报值为48.432.4从某小区抽取 50 户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在 50 到 350 度之间，频率分布直方图如图 46.图 46(1)求频率分布直方图中 x 的值并估计这 50 户用户的平均用电量；7(2)若将用电量在区间50,150)内的用户记为 A 类用户，标记为低用电家庭，用电量在区间250,350)内的用户记为 B 类用户，标记为高用电家庭，现对这两类用户进行问卷调查，
15、让其对供电服务进行打分，打分情况见茎叶图：图 47从 B 类用户中任意抽取 3 户，求其打分恰有 2 户超过 85 分的概率；若打分超过 85 分视为满意，没超过 85 分视为不满意，请填写下面列联表，并根据列联表判断是否有 95%的把握认为“满意度与用电量高低有关”？满意 不满意 合计A 类用户B 类用户合计附表及公式：P(K2 k0) 0.050 0.010 0.001k0 3.841 6.635 10.828K2 ，n ad bc 2 a b c d a c b dn a b c d.解 (1) x (0.0060.003 60.002 420.001 2)0.004 4，150按用电量从低到高的六组用户数分别为 6,9,15,11,6,3，所以估计平均用电量为186(度)675 9125 15175 11225 6275 332550(2) B 类用户共 9 人，打分超过 85 分的有 6 人，所以从 B 类用户中任意抽取 3 户，恰好有 2 户打分超过 85 分的概率为 .C26C13C39 1528满意 不满意 合计A 类用户 6 9 15B 类用户 6 3 9合计 12 12 248因为 K2的观测值 k 1.63.841，24 63 69 21212915所以没有 95%的把握认为“满意度与用电量高低有关”
