1、1中档大题规范练(二)(建议用时：60 分钟)1 ABC 内角为 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，已知 .acos Csin B bsin B ccos C(1)求 sin(A B)sin Acos Acos( A B)的最大值；(2)若 b ，当 ABC 的面积最大时，求 ABC 的周长2解 (1)由 得：acos Csin B bsin B ccos C ，acos Csin B bcos C csin Bsin Bcos C a bcos C csin B，即sin Asin Bcos Csin Csin B，cos Bsin B， B ； 4由 sin(A B)sin A
2、cos Acos( A B) (sin Acos A)sin Acos A，2令 tsin Acos A， t(0， ，原式 t2 t ，212 2 12当且仅当 A 时，上式取得最大值，最大值为 . 4 52(2)S acsin B ac， b2 a2 c22 accos B，12 24即 2 a2 c2 ac(2 )ac， ac2 ，当且仅当 a c 等号成立；2 2 2 2 2Smax ，周长 L a b c2 .2 12 2 2 22.如图 55，已知四棱锥 PABCD 的底面为菱形，且 ABC60， E 是 DP 中点图 55(1)证明： PB平面 ACE；(2)若 AP PB， A
3、B PC PB，求平面 EAC 与平面 PBC 所成二面角的正弦值2解 (1)证明：如图，连接 BD， BD AC F，连接 EF，2四棱锥 PABCD 的底面为菱形， F 为 BD 中点，又 E 是 DP 中点，在 BDP 中， EF 是中位线， EF PB，又 EF平面 ACE，而 PB平面 ACE， PB平面 ACE.(2)如图，取 AB 的中点 Q，连接 PQ， CQ， ABCD 为菱形，且 ABC60， ABC 为正三角形， CQ AB.设 AB PC2， AP PB ， CQ ，且 PAB 为等腰直角三角形，即2 3 APB90， PQ AB， AB平面 PQC，且 PQ1， PQ
4、2 CQ2 CP2， PQ CQ.如图，建立空间直角坐标系，以 Q 为原点， BA 所在的直线为 x 轴， QC 所在的直线为 y 轴， QP 所在的直线为 z 轴，则 Q(0,0,0)， A(1,0,0)， C(0， 0)， P(0,0,1)， B(1,0,0) ， D(2， ，0)， E ， ， (1，3 3 (1，32， 12) AE (0， 32， 12) AC ， 0)，3(1,0，1)， (0， ，1)，PB PC 3设 n1( x1， y1， z1)为平面 AEC 的一个法向量，则Error!即Error!，可取 n1( ，1， )3 3设 n2( x2， y2， z2)为平面
5、PBC 的一个法向量，则Error! 即Error!可取 n2( ，1， )3 3于是|cos n1， n2| .|n1n2|n1|n2| 57所以平面 EAC 与平面 PBC 所成二面角的正弦值为 .2673(2018永州市三模)某保险公司对一个拥有 20 000 人的企业推出一款意外险产品，每年每位职工只要交少量保费，发生意外后可一次性获得若干赔偿金，保险公司把企业的所有岗位共分为 A， B， C 三类工种，从事这三类工种的人数分别为 12 000,6 000,2 000，由历史数据统计出三类工种的赔付频率如下表(并以此估计赔付概率)：工种类别 A B C赔付频率 1105 2105 11
6、043已知 A， B， C 三类工种职工每人每年保费分别为 25 元、25 元、40 元，出险后的赔偿金额分别为 100 万元、100 万元、50 万元，保险公司在开展此项业务过程中的固定支出为每年 10 万元(1)求保险公司在该业务所或利润的期望值；(2)现有如下两个方案供企业选择：方案 1：企业不与保险公司合作，职工不交保险，出意外企业自行拿出与保险公司提供的等额赔偿金赔偿付给意外职工，企业开展这项工作的固定支出为每年 12 万元；方案 2：企业与保险公司合作，企业负责职工保费的 70%，职工个人负责保费的 30%，出险后赔偿金由保险公司赔付，企业无额外专项开支请根据企业成本差异给出选择合
7、适方案的建议解 (1)设工种 A、 B、 C 职工的每份保单保险公司的收益为随机变量 X、 Y、 Z，则X、 Y、 Z 的分布列为X 25 2510010 4P 11105 1105Y 25 2510010 4P 12105 2105Z 40 405010 4P 11104 1104保险公司的期望收益为E(X)25 (2510010 4) 15；(11105) 1105E(Y)25 (2510010 4) 5；(12105) 2105E(Z)40 (405010 4) 10；(11104) 1104保险公司的利润的期望值为 12 000E(X)6 000E(Y)2 000E(Z)100 000
8、90 000，保险公司在该业务所获利润的期望值为 9 万元(2)方案 1：企业不与保险公司合作，则企业每年安全支出与固定开支共为：12 000100104 6 000100104 2 1105 210500050104 1210 44610 4，11044方案 2：企业与保险公司合作，则企业支出保险金额为：(12 000256 000252 00040)0.737.110 4，4610437.110 4，故建议企业选择方案 2.4选修 44：坐标系与参数方程已知曲线 C 的参数方程为Error!( 为参数)，以直角坐标系原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系(1)求曲线 C 的极坐标方程
9、，并说明方程表示什么轨迹；(2)若直线 l 的极坐标方程为 sin cos ，求直线 l 被曲线 C 截得的弦长1解 (1)因为曲线 C 的参数方程为Error! ( 为参数)，所以曲线 C 的普通方程为(x3) 2( y1) 210， 曲线 C 表示以 C(3,1)为圆心， 为半径的圆10将Error! 代入并化简，得 6cos 2sin ，即曲线 C 的极坐标方程为 6cos 2sin .(2)因为直线 l 的直角坐标方程为 y x1，所以圆心 C 到直线 y x1 的距离 d ，322所以直线被曲线 C 截得的弦长为 2 .10 92 22选修 45：不等式选讲已知函数 f(x)| x1| mx1|.(1)若 m1，求 f(x)的最小值，并指出此时 x 的取值范围；(2)若 f(x)2 x，求 m 的取值范围解 (1)当 m1 时， f(x)| x1| x1|( x1)( x1)|2，当且仅当( x1)( x1)0 时取等号，故 f(x)的最小值为 2，此时 x 的取值范围是1,1(2)当 x0 时， f(x)2 x 显然成立，所以此时 mR；当 x0 时，由 f(x) x1| mx1|2 x，得| mx1| x1.5由 y| mx1|及 y x1 的图象，可得| m|1 且 1，1m解得 m1 或 m1.综上所述， m 的取值范围是(，11，)
