1、1单科标准练(二)(满分：150 分 时间：120 分钟)第卷一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1设集合 M x|x2， N x|x2 x0，则下列关系中正确的是( )A M NR B M( RN)RC N( RM)R D M N MB N x|0 x1， M N x|x2， RN x|x0 ，或 x1， M( RN)R.故选 B.2已知 i 为虚数单位，实数 x， y 满足( x2i)i yi，则| x yi|( )A1 B. C. D.2 3 5D ( x2i)i yi，2 xi yi，Error!，则| x
2、 yi|12i| .5故选 D.3在矩形 ABCD 中， AB1， AD2，点 E 满足 2 ，则 的值为( )BC BE AE AB A1 B3 C. D.1092A 由四边形 ABCD 为矩形，由数量积几何意义知： ( )21.故选 A.AE AB AB 4函数 f(x) x2 xsin x 的大致图象可能是( )12A BC DC 由 f( x) f(x)， xR，得函数 f(x)是偶函数，其图象关于 y 轴对称又2f 0，因此结合各选项知 C 正确，故选 C.( 6) 12 ( 6)2 6 12 6 12 ( 6 1)5甲、乙、丙三人各买了一辆不同品牌的新汽车，汽车的品牌为奇瑞、传祺、
3、吉利甲、乙、丙让丁猜他们三人各买的什么品牌的车，丁说：“甲买的是奇瑞，乙买的不是奇瑞，丙买的不是吉利 ”若丁的猜测只对了一个，则甲、乙所买汽车的品牌分别是( )A吉利，奇瑞 B吉利，传祺C奇瑞，吉利 D奇瑞，传祺A 因为丁的猜测只对了一个，所以“甲买的是奇瑞，乙买的不是奇瑞”这两个都是错误的否则“甲买的不是奇瑞，乙买的不是奇瑞”或“甲买的是奇瑞，乙买的是奇瑞”是正确的，这与三人各买了一辆不同的品牌矛盾， “丙买的不是吉利”是正确的，所以乙买的是奇瑞，甲买的是吉利，选 A.6如图 1，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线或虚线画出某几何体的三视图，该几何体的体积为( )图 1A8 B12 C18
4、D24B 由题意得，根据给定的三视图可知，该几何体为如图所示的几何体，是一个三棱锥与三棱柱的组合体，其中三棱锥的体积为 V1 4324，三棱柱的体积为13 12V22 V1248，所以该几何体的体积为 V12，故选 B.7甲、乙等 4 人参加 4100 米接力赛，在甲不跑第一棒的条件下，乙不跑第二棒的概率是( )A. B. C. D.29 49 23 79D 由题得甲不跑第一棒的总的基本事件有 C A 18 个，甲不跑第一棒，乙不跑第二133棒的基本事件有 C A A A 14.由古典概型的概率公式得在甲不跑第一棒的条件下，乙133 122不跑第二棒的概率是 P .故选 D.1418 798已
5、知实数 x， y 满足约束条件Error!，则 z 的取值范围为( )x 5y3A.23， 43B.43， 23C. ( ， 32 34， )D. ( ， 34 32， )C 作出的可行域为三角形(图略)，把 z 改写为 ，所以 可看作点( x， y)和x 5y 1z y 0x 5 1z(5,0)之间的斜率，记为 k，则 k ，23 43所以 z， ，.32 349元朝著名数学家朱世杰在四元玉鉴中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经四处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图 2 所示，即最终输出的 x0，则一开始输入 x 的值为( )图 2A.
6、 B. C. D.34 78 1516 3132C i1，(1)x2 x1， i2，(2)x2(2 x1)14 x3， i3，(3)x2(4 x3)18 x7， i4，(4)x2(8 x7)116 x15， i5，所以输出 16x150，得 x ，故选 C.1516410若双曲线 C： 1( a0， b0)的一条渐近线被抛物线 y4 x2所截得的弦长x2a2 y2b2为 ，则双曲线 C 的离心率为 ( )32A. B1 14C2 D4C 双曲线 C： 1( a0， b0)的一条渐近线方程不妨设为 bx ay0，与抛x2a2 y2b2物线方程联立， Error!，消去 y，得 4ax2 bx0，
7、所以Error!，所以所截得的弦长为 ，化简可得 ， bc2 a2，( c2 a2)c212 a4， e4 e2120，(1 b2a2)(b216a2) 32 bc4a2 32 3得 e24 或3(舍)，所以双曲线 C 的离心率 e2.11设函数 f(x)sin( x )( 0，0)的最小正周期为 ，且 f(x) f ，则下列说法不正确的是( )( 8)A f(x)的一个零点为 8B f(x)的一条对称轴为 x 8C f(x)在区间 上单调递增(38， 58)D f 是偶函数(x 8)C 由 f(x)sin( x )的最小正周期为 ，得 ，则 2.又 f(x) f ，2 ( 8) f(x)ma
8、x f ，即 2 2 k( kZ)，( 8) 8 2得 2 k， kZ. 4故 f(x)sin sin .(2x 4 2k ) (2x 4) f 0， f(x)的一个零点为 ，故 A 项正确；( 8) 8 f 1， f(x)的一个对称轴为 x ，故 B 项正确；( 8) 8当 x 时，2 x ，(38， 58) 4 ( ， 32)5 f(x)在区间 上单调递减，故 C 项错误；(38， 58) f sin sin cos 2 x，(x 8) 2(x 8) 4 (2x 2) f 是偶函数，故 D 项正确故选 C.(x 8)12已知抛物线 C： y24 x 的焦点为 F，过点 F 且斜率为 1 的
9、直线与抛物线 C 交于点A， B，以线段 AB 为直径的圆 E 上存在点 P， Q，使得以 PQ 为直径的圆过点 D(2， t)，则实数 t 的取值范围为( )A(，11，)B1,3C(，2 2 ，)7 7D2 ，2 7 7D 由题意可得直线 AB 的方程为 x y1，与 y24 x 联立消去 x，可得y24 y40，设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 y1 y24， y1y24，设 E(xE， yE)，则 yE2， xE yE13，又| AB| x1 x22 y11 y2128，所以圆 E 是以(3,2)y1 y22为圆心，4 为半径的圆，所以点 D 恒在圆 E 外圆 E 上存
10、在点 P， Q，使得以 PQ 为直径的圆过点 D(2， t)，即圆 E 上存在点 P， Q，使得 DP DQ，设过 D 点的两直线分别切圆 E 于P， Q点，要满足题意，则 P DQ ， 2所以 ，整理得 t24 t30，解得|EP |DE| 4 3 2 2 2 t 2 222 t2 ，故实数 t 的取值范围为2 ，2 ，故选 D.7 7 7 7第卷本卷包括必考题和选考题两部分，第 1321 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 2223 题为选考题，考生根据要求作答二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中横线上)13(2 x)(x1) 4的展开式中， x2
11、的系数是_16 ( x1) 4的展开式中， T3C x2(1) 2， T2C x1(1) 3，故 x， x2的系数分别为24 144,6，从而(2 x)(x1) 4的展开式中 x2的系数为 26(1)(4)16.14奇函数 f(x)的图象关于点(1,0)对称， f(3)2，则 f(1)_.2 由题设得 f( x) f(x)， f(2 x) f(x)0，从而有 f(2 x) f(x)， f(x)为周期函数且周期为 2，所以 f(1) f(3)2.615已知圆锥的高为 3，侧面积为 20，若此圆锥内有一个体积为 V 的球，则 V 的最大值为_设圆锥的母线长 l，底面的半径为 r，则 rl20，即
12、rl20，又25681l2 r29，解得 l5， r4.当球的体积最大时，该球为圆锥的内切球，设内切球的半径为 R，则 (558) R1238，故 R ，所以 Vmax 3 .12 43 43 (43) 2568116已知 a， b， c 是锐角 ABC 的内角 A， B， C 所对的边， b ，且满足 cos 32c abBcos A，则 a c 的取值范围是_ cos Bcos A，由正弦定理得(3， 232c ab(2sin Csin A)cos Bsin Bcos A0，即 sin C(2cos B1)0，sin C0，cos B .12 B 为 ABC 的内角， B . 3 b ，
13、2，3asin A bsin B csin C a c2sin A2sin C2sin 2sin C(23 C)2 sin ，3 (C 6) ABC 是锐角三角形， C ， C ， 6 2 3 6 23 a c 的取值范围为 .(3， 23三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17(本小题满分 12 分)已知各项均为正数的数列 an满足 a 3 a 2 anan1 ，且2n 1 2na2 a43( a33)，其中 nN *.(1)证明：数列 an是等比数列，并求其通项公式；(2)令 bn nan，求数列 bn的前 n 项和 Sn.解 (1)由 a 3 a 2 anan1 ，2n
14、 1 2n得 a 2 anan1 3 a 0，2n 1 2n即( an1 an)(an1 3 an)0，由已知 an0，得 an1 an0，7所以 an1 3 an.所以数列 an是公比为 3 的等比数列由 a2 a43( a33)，得 3a127 a13(9 a13)，解得 a13，所以 an3 n.(2)由(1)知， bn nan n3n，则 Sn b1 b2 b3 bn1 bn323 233 3( n1)3 n1 n3n，3Sn3 223 333 4( n1)3 n n3n1 ，得2 Sn33 23 33 n n3n1 n3n1 3n1 .3 1 3n1 3 (12 n) 32所以 Sn
15、 3n1 .(n2 14) 3418(本小题满分 12 分)如图 3(1)，在四边形 ABCD 中， AD BC， BAD90， AB2， BC 4， AD6， E 是 AD 上的点， AE AD， P 为 BE 的中点，将 ABE 沿 BE 折起到313A1BE 的位置，使得 A1C4，如图 3(2)(1) (2)图 3(1)求证：平面 A1CP平面 A1BE；(2)求二面角 BA1PD 的余弦值解 (1)证明：在四边形 ABCD 中， AD BC， BAD90，AB2 ， BC4， AD6， E 是 AD 上的点， AE AD，313 BE4， ABE30， EBC60， BP2， BP2
16、 PC2 BC2， BP PC， A1P AP2， A1C4， A1P2 PC2 A1C2， PC A1P， BP A1P P， PC平面 A1BE， PC平面 A1CP，平面 A1CP平面 A1BE，(2)以 P 为原点， PB 为 x 轴， PC 为 y 轴，过 P 作平面 BCDE 的垂线为 z 轴，建立空间直8角坐标系，则 B(2,0,0)， A1(1,0， )， P(0,0,0)， D(4，2 ，0)，所以 (2,0,0)，3 3 PB (1,0， )， ( 4，2 ，0)PA1 3 PD 3设平面 A1PD 的法向量为 n( x， y， z)，则Error! 取 x2 ，得 n(2
17、 ，4,2)，3 3平面 A1PB 的法向量 n(0,1,0)，设二面角 BA1PD 的平面角为 ，则 cos .|mn|m|n| 432 22二面角 BA1PD 的余弦值为 .2219(本小题满分 12 分)某厂生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量 y(g)与尺寸 x(mm)之间近似满足关系式 y cxb(b、 c 为大于 0 的常数)按照某项指标测定，当产品质量与尺寸的比在区间 内时为优等品现随机抽取 6 件合格产品，(e9， e7)测得数据如下：尺寸 x(mm) 38 48 58 68 78 88质量 y(g) 16.8 18.8 20.7 22.4 24 25.5质量
18、与尺寸的比yx 0.442 0.392 0.357 0.329 0.308 0.290(1)现从抽取的 6 件合格产品中再任选 3 件，记 为取到优等品的件数，试求随机变量 的分布列和期望；(2)根据测得数据作了初步处理，得相关统计量的值如下表：(ln xiln 6 i 1yi)(ln 6 i 1xi)(ln 6 i 1yi)(ln 6 i 1xi)275.3 24.6 18.3 101.4()根据所给统计量，求 y 关于 x 的回归方程；9()已知优等品的收益 z(单位：千元)与 x， y 的关系为 z2 y0.32 x，则当优等品的尺寸 x 为何值时，收益 z 的预报值最大？附：对于样本(
19、 vi， ui)(i1,2， n)，其回归直线 u bv a 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ， ，b n i 1 vi v ui u n i 1 vi v 2 n i 1viui nv u n i 1v2i nv2 a u b ve2.7182.解 (1)由已知，优等品的质量与尺寸的比在区间 内，即 (0.302,0.388)(e9， e7) yx则随机抽取的 6 件合格产品中，有 3 件为优等品，3 件为非优等品现从抽取的 6 件合格产品中再任选 3 件，则取到优等品的件数 0,1,2,3.P( 0) ， P( 1) ，C03C3C36 120 C13C23C36 920P( 2)
20、 ， P( 3) ，C23C13C36 920 C3C03C36 120 的分布列为： 0 1 2 3P 120 920 920 120E( )0 1 2 3 .120 920 920 120 32(2)对 y cxb(b， c0)两边取自然对数得 ln yln c bln x.令 viln xi， uiln yi，得 u bv a，且 aln c.()根据所给统计量及最小二乘估计公式有： ，b n i 1viui nv u n i 1v2i nv2 75.3 24.618.36101.4 24.626 0.270.54 12 61，a u b v (18.3 1224.6)得 ln 1， e
21、，a c c 所求 y 关于 x 的回归方程为 ye x .()由()可知 ye x ，则 2e 0.32 x.z x令 t ，则 (t)0.32 t22e t0.32 .x z (t e0.32)2 e20.3210由优等品质量与尺寸的比 (7,9)，即 x(49,81)y x ex (e9， e7) x当 t 8.5(7,9)时， 取最大值xe0.32 z 即优等品的尺寸 x72.3(mm)，收益 的预报值最大z 20(本小题满分 12 分)如图 4，椭圆 E： 1( a b0 )的左、右焦点分别为x2a2 y2b2F1， F2， MF2 x 轴，直线 MF1交 y 轴于 H 点， OH
22、， Q 为椭圆 E 上的动点， F1F2Q 的面24积的最大值为 1.图 4(1)求椭圆 E 的方程；(2)过点 S(4,0)作两条直线与椭圆 E 分别交于 A， B， C， D，且使 AD x 轴，如图，问四边形 ABCD 的两条对角线的交点是否为定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由解 (1)设 F(c,0)，由题意可得 1，即 yM .c2a2 y2b2 b2a OH 是 F1F2M 的中位线，且 OH ，24| MF2| ，即 ，整理得 a22 b4. 22 b2a 22又由题知，当 Q 在椭圆 E 的上顶点时， F1F2M 的面积最大， 2cb1，12整理得 bc1，即 b2
23、(a2 b2)1，联立可得 2b6 b41，变形得(b21)(2 b4 b21)0，解得 b21，进而 a22.椭圆 E 的方程为 y21.x22(2)设 A(x1， y1)， C(x2， y2)，则由对称性可知 D(x1， y1)， B(x2， y2)设直线 AC 与 x 轴交于点( t,0)，直线 AC 的方程为 x my t(m0)，联立Error! ，消去 x，得( m22) y22 mty t220，11 y1 y2 ， y1y2 ， 2mtm2 2 t2 2m2 2由 A， B， S 三点共线 kAS kBS，即 ，y1x1 4 y2x2 4将 x1 my1 t， x2 my2 t
24、 代入整理得y1(my2 t4) y2(my1 t4)0，即 2my1y2( t4)( y1 y2)0，从而0，化简得 2m(4t2)0，2m t2 2 2mt t 4m2 2解得 t ，于是直线 AC 的方程为 x my ， 12 12故直线 AC 过定点 .同理可得 BD 过定点 ，(12， 0) (12， 0)直线 AC 与 BD 的交点是定点，定点坐标为 .(12， 0)21(本小题满分 12 分)已知函数 f(x) ax 4ln x 的两个极值点 x1， x2满足axx1 x2，且 e x23，其中 e 为自然对数的底数(1)求实数 a 的取值范围；(2)求 f(x2) f(x1)的
25、取值范围解 (1) f( x) a ，ax2 4x ax2 4x ax2由题意知 x1， x2即为方程 ax24 x a0 的两个根由根与系数的关系得Error!整理得 a .4x1 x2 4x2 1x2 4x2x2 1又 y x2 在(e,3)上单调递增， a .1x2 (65， 4ee2 1)(2)f(x2) f(x1) ax2 4ln x2 ax2 4ln x1，ax2 ax1 x1 ， f(x2) f(x1) ax2 4ln x2 ax24ln 2 a 8ln 1x2 ax2 ax2 1x2 (x2 1x2)x2，由(1)知 a ，代入得4x2x2 1f(x2) f(x1) 8ln x
26、2 8ln x2，8x2x2 1(x2 1x2) 8 x2 1x2 1令 t x (e 2,9)，于是可得 h(t) 4ln t，28t 8t 112故 h( t) 0，16 t 1 2 4t 4 t2 2t 1t t 1 2 4 t 1 2t t 1 2 h(t)在(e 2,9)上单调递减， f(x2) f(x1) .(325 8ln 3， 16e2 1)请考生在第 2223 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22(本小题满分 10 分)选修 44：坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为Error!( t 为参数)，圆 C 的标准方程为(x3) 2(
27、y3) 24.以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系(1)求直线 l 和圆 C 的极坐标方程；(2)若射线 ( 0)与 l 的交点为 M，与圆 C 的交点为 A， B，且点 M 恰好为线段 3AB 的中点，求 a 的值解 (1)在直线 l 的参数方程中消去 t 可得，x y a0，34将 x cos ， y sin 代入以上方程中，所以，直线 l 的极坐标方程为 cos sin a0.34同理，圆 C 的极坐标方程为 26 cos 6 sin 140.(2)在极坐标系中，由已知可设 M ， A ， B .( 1， 3) ( 2， 3) ( 3， 3)联立Error!可得 2(33
28、) 140，3所以 2 333 .3因为点 M 恰好为 AB 的中点，所以 1 ， M .3 332 (3 332 ， 3)把 M 代入 cos sin a0，(3 332 ， 3) 34得 a0，3 1 32 1 32 34所以 a .9423(本小题满分 10 分)选修 45：不等式选讲已知 f(x)| mx3|2 x n|.13(1)当 m2， n1 时，求不等式 f(x)2 的解集；(2)当 m1， n0 时， f(x)的图象与 x 轴围成的三角形面积大于 24，求 n 的取值范围解 (1)当 m2， n1 时，f(x)|2 x3|2 x1|.不等式 f(x)2 等价于Error!或Error!或Error!解得 x 或 x0，即 x0.32 32所以不等式 f(x)2 的解集是(，0)(2)由题设可得，f(x)| x3|2 x n|Error!所以函数 f(x)的图象与 x 轴围成的三角形的三个顶点分别为 A ， B(3 n,0)，(3 n3 ， 0)C .(n2， 3 n2)所以三角形 ABC 的面积为 .12(3 n 3 n3 )(3 n2) 6 n 26由题设知， 24， 6 n 26解得 n6.
