1、1第一讲 排列与组合、二项式定理考点一 两个计数原理分类加法计数原理和分步乘法计数原理如果每种方法都能将规定的事件完成，则要用分类加法计数原理将方法种数相加；如果需要通过若干步才能将规定的事件完成，则要用分步乘法计数原理将各步的方法种数相乘对点训练1已知 I1,2,3， A， B 是集合 I 的两个非空子集，且 A 中所有元素的和大于 B 中所有元素的和，则集合 A， B 共有( )A12 对 B15 对 C18 对 D20 对解析 依题意，当 A， B 均有一个元素时，有 3 对；当 B 有一个元素， A 有两个元素时，有 C C 28 对；当 B 有一个元素， A 有三个元素时，有 3 对
2、；当 B 有两个元素，23 23A 有三个元素时，有 3 对；当 A， B 均有两个元素时，有 3 对所以共有3833320 对，选 D.答案 D2(2018河北唐山二模)用两个 1，一个 2，一个 0 可组成不同四位数的个数是( )A18 B16 C12 D9解析 根据题意，分 3 步进行分析：0 不能放在千位，可以放在百位、十位和个位，有 3 种情况，在剩下的 3 个数位中任选 1 个，安排 2，有 3 种情况，在最后 2 个数位安排 2 个 1，有 1 种情况，则可组成 339 个不同的四位数，故选 D.答案 D3.现有 5 种不同颜色的染料，要对如图所示的四个不同区域进行涂色，要求有公
3、共边的两个区域不能使用同一种颜色，则不同的涂色方法的种数是( )2A120 B140C240 D260解析 由题意，先涂 A 处共有 5 种涂法，再涂 B 处有 4 种涂法，最后涂 C 处，若 C处与 A 处所涂颜色相同，则 C 处有 1 种涂法， D 处有 4 种涂法；若 C 处与 A 处所涂颜色不同，则 C 处有 3 种涂法， D 处有 3 种涂法，由此可得不同的涂色方法有 54(1433)260(种)，故选 D.答案 D快速审题 看到计数问题，想到分类加法计数原理和分步乘法计数原理两个计数原理的应用技巧(1)在应用分类计数原理和分步计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类计
4、数原理(2)对于复杂的两个原理综合使用的问题，可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、直观化考点二 排列、组合排列与组合的异同点3对点训练1马路上有七盏路灯，晚上用时只亮三盏灯，且任意两盏亮灯不相邻，则不同的开灯方案共有( )A60 种 B20 种 C10 种 D8 种解析 根据题意，可分两步完成：第一步，先安排四盏不亮的路灯，只有 1 种情况；第二步，四盏不亮的路灯排好后，有 5 个空位，在 5 个空位中任意选 3 个，插入三盏亮的路灯，有 C 10(种)情况35故不同的开灯方案共有 11010(种)，故选 C.答案 C2(2018山西四校联考)某次联欢会要安排 3 个歌舞类节目、2 个小品类
5、节目和 1 个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是( )A72 B120 C144 D168解析 依题意，先仅考虑 3 个歌舞类节目互不相邻的排法种数为 A A 144，其中3343 个歌舞类节目互不相邻但 2 个小品类节目相邻的排法种数为 A A A 24，因此满足题意223的排法种数为 14424120，选 B.答案 B探究追问 (1)若第 2 题中， “同类节目不相邻”改为“同类节目必须相邻” ，则有多少种不同的排法？(2)若第 2 题中， “同类节目不相邻”改为“相声类节目不排第一个，小品类节目不排最后一个，则有多少种不同的排法？”解析 (1)(捆绑法)将歌舞类节目，2
6、个小品类节目分别各自作一个节目与相声类节目排列，共有 A 种不同排法又歌舞类节目有 A 种排法，小品类节目有 A 种排法，所以3 3 2共有 A A A 72(种)不同排法3 3 24(2)分两类：第一类，若第一个节目排歌舞类，由于最后一个不排小品类节目，有A A A 216(种)排法；第二类，若第一个节目排小品类节目，则有13 243A A A 192(种)排法故共有 216192408(种)不同的排法12 14 4答案 (1)72 种 (2)408 种3(2018全国卷)从 2 位女生，4 位男生中选 3 人参加科技比赛，且至少有 1 位女生入选，则不同的选法共有_种(用数字填写答案)解析
7、 解法一：从 2 位女生，4 位男生中选 3 人，且至少有 1 位女生入选的情况有以下 2 种：2 女 1 男：有 C C 4 种选法；1 女 2 男：有 C C 12 种选法，故至少有214 12241 位女生入选的选法有 41216 种解法二：从 2 位女生，4 位男生中选 3 人有 C 20 种选法，其中选出的 3 人都是男生36的选法有 C 4 种，所以至少有 1 位女生入选的选法有 20416 种34答案 164(2018北京西城一模)某种产品的加工需要 A， B， C， D， E 五道工艺，其中 A 必须在 D 的前面完成(不一定相邻)，其他工艺的顺序可以改变，但不能同时进行，为了
8、节省加工时间， B 与 C 必须相邻，那么完成加工该产品的不同工艺的排列顺序有_种(用数字作答)解析 B 与 C 必须相邻，看作一个元素，与剩下三个元素全排列共有 A 种排法，而4B 与 C 的顺序有 A 种排法，又 A 必须在 D 的前面完成，所以完成加工该产品的不同工艺的2排列顺序有 24(种)A4A2A2答案 24快速审题 (1)看到“在”与“不在”的排列问题，想到特殊优先原则(2)看到相邻问题，想到捆绑法；看到不相邻问题，想到插空法(3)看到“至少” “最多”的问题，想到用直接法或间接法解排列组合综合问题的 4 个角度5考点三 二项式定理1通项与二项式系数Tk1 C an kbk(k0
9、,1,2， n)，其中 C 叫做二项式系数kn kn2二项式系数的性质(1)C C ，C C ，C C ；0n n 1n n 1n rn n rn(2)C C C C 2 n；0n 1n 2n n(3)C C C C C C 2 n1 .1n 3n 5n 0n 2n 4n对点训练1(2018山东枣庄二模)若( x2 a) 10的展开式中 x6的系数为 30，则 a 等于( )(x1x)A. B. C1 D213 12解析 10展开式的通项公式为 Tr1 C x10 r rC x102 r，令(x1x) r10 (1x) r10102 r4，解得 r3，所以 x4项的系数为 C ；令 102 r
10、6，解得 r2，所以 x6项的310系数为 C ，所以( x2 a) 10的展开式中 x6的系数为 C aC 30，解得 a2.故选210 (x1x) 310 210D.答案 D2(2018河北邯郸二模)在 n的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为(x 3x)64，则 x3的系数为( )A15 B45 C135 D405解析 6答案 C3(2018福建漳州二模)已知(2 x1) 10 a0 a1x a2x2 a9x9 a10x10，则a2 a3 a9 a10的值为( )A20 B0 C1 D20解析 令 x1，得 a0 a1 a2 a9 a101，再令 x0，得 a01，所以a1 a2 a
11、9 a100，又易知 a1C 21(1) 920，所以910a2 a3 a9 a1020.答案 D4(2018浙江卷)二项式 8的展开式的常数项是_(3x 12x)解析 答案 7快速审题 (1)看到展开式中求二项式系数或项的系数，想到二项展开式的通项(2)看到二项式的系数和问题，想到用赋值法7利用二项式定理求解的 3 种常用思路(1)二项式定理中最关键的是通项公式，求展开式中特定的项或者特定项的系数均是利用通项公式和方程思想解决的(2)二项展开式的系数之和通常是通过对二项式及其展开式中的变量赋值得出的，注意根据展开式的形式给变量赋值(3)二项展开式的最大项是通过不等式组确定的1(2017全国卷
12、)安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由1 人完成，则不同的安排方式共有( )A12 种 B18 种 C24 种 D36 种解析 第一步：将 4 项工作分成 3 组，共有 C 种分法24第二步：将 3 组工作分配给 3 名志愿者，共有 A 种分配方法，故共有 C A 36 种3 24 3安排方式，故选 D.答案 D2(2018全国卷) 5的展开式中 x4的系数为( )(x22x)A10 B20 C40 D80解析 5的展开式的通项 Tr1 C (x2)5 r(2x1 )r2 rC x103 r，令(x22x) r5 r5103 r4，得 r2，所以 x4的系数为
13、22C 40.故选 C.25答案 C3(2017全国卷)( x y)(2x y)5的展开式中 x3y3的系数为( )A80 B40 C40 D80解析 (2 x y)5的展开式的通项为 Tr1 C (2x)5 r( y)r(1)r5r25 rC x5 ryr.其中 x2y3项的系数为(1) 322C 40， x3y2项的系数为(1)r5 35223C 80.于是( x y)(2x y)5的展开式中 x3y3的系数为408040.25答案 C4(2018浙江卷)从 1,3,5,7,9 中任取 2 个数字，从 0,2,4,6 中任取 2 个数字，一共可以组成_个没有重复数字的四位数(用数字作答)解
14、析 含有数字 0 的没有重复数字的四位数共有 C C A A 540 个，不含有数字 02513133的没有重复数字的四位数共有 C C A 720 个，故一共可以组成 5407201260 个没有重25234复数字的四位数8答案 12605(2017天津卷)用数字 1,2,3,4,5,6,7,8,9 组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有_个(用数字作答)解析 有一个数字是偶数的四位数有 C C A 960 个没有偶数的四位数有14354A 120 个故这样的四位数一共有 9601201080 个45答案 10801.排列、组合在高中数学中占有特殊的位置，是高考
15、的必考内容，很少单独命题，主要考查利用排列、组合知识计算古典概型2二项式定理仍以求二项展开式的特定项、特定项的系数及二项式系数为主，题目难度一般，多出现在第 910 或第 1315 题的位置上热点课题 17 分类讨论思想在排列组合中的应用9感悟体验1(2018济南二模)某校开设 5 门不同的数学选修课，每位同学可以从中任选 1 门或2 门课学习，甲、乙、丙三位同学选择的课没有一门是相同的，则不同的选法共有( )A330 种 B420 种C510 种 D600 种解析 当甲、乙、丙三位同学都只选 1 门，不同的选法有 A 60(种)；当甲、乙、35丙三位同学有一位选 1 门，另外两位选 2 门，
16、不同的选法有 C C C C 90(种)；当甲、乙、1315242丙三位同学有两位选 1 门，另一位选 2 门，不同的选法有 C C C C 180(种)，共有132513126090180330(种)答案 A2现有 16 张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各 4 张从中任取 3 张，要求这 3 张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多 1 张不同取法的种数为( )A232 B252 C472 D484解析 由题意，不考虑特殊情况，共有 C 种取法，其中同一种颜色的卡片取 3 张，316有 4C 种取法，3 张卡片中红色卡片取 2 张有 C C 种取法，故所求的取法共有 C 4C34
17、24 12 316C C 5601672472 种，选 C.34 24 12答案 C专题跟踪训练(二十八)一、选择题1(2018惠州市二调)旅游体验师小李受某网站邀请，决定对甲、乙、丙、丁这四个景区进行体验式旅游，若不能最先去甲景区旅游，不能最后去乙景区和丁景区旅游，则小李可选的旅游路线数为( )A24 B18 C16 D10解析 分两种情况，第一种：若最后去甲景区，则有 A 种可选的路线；第二种：若3不在最后去甲景区，则有 C A 种可选的路线所以小李可选的旅游路线数为 A C A12 2 3 1210.故选 D.2答案 D102(2018开封市定位考试)某地实行高考改革，考生除参加语文、数
18、学、英语统一考试外，还需从物理、化学、生物、政治、历史、地理六科中选考三科学生甲要想报考某高校的法学专业，就必须要从物理、政治、历史三科中至少选考一科，则学生甲的选考方法种数为( )A6 B12 C18 D19解析 解法一：在物理、政治、历史中选一科的选法有 C C 9(种)；在物理、政1323治、历史中选两科的选法有 C C 9(种)；物理、政治、历史三科都选的选法有 1 种，所2313以学生甲的选考方法共有 99119(种)，故选 D.解法二：从六科中选考三科的选法只有 C 种，其中包括了没选物理、政治、历史中任36意一科，这种选法只有 1 种，因此学生甲的选考方法共有 C 119(种)，
19、故选 D.36答案 D3(2018广西贵港市联考)在 6的展开式中，常数项为( )(x22x)A240 B60 C60 D240解析 6的展开式中，通项公式为 Tr1 C (x2)6 r r(2) rC x123 r，(x22x) r6 ( 2x) r6令 123 r0，得 r4，故常数项为 T5(2) 4C 240，故选 D.46答案 D4(2018长郡中学实验班选拔考试)若二项式 7的展开式中的各项系数之和为(x2ax)1，则含 x2的项的系数为( )A560 B560 C280 D280解析 取 x1，得二项式 7的展开式中的各项系数之和为(1 a)7，即(1 a)(x2ax)71，解得
20、 a2.二项式 7的展开式的通项为 Tr1 C (x2)(x22x) r77 r rC (2) rx143 r.令 143 r2，得 r4.因此，二项式 7的展开式(2x) r7 (x2 2x)中含 x2项的系数为 C (2) 4560，故选 A.47答案 A5将 5 位同学分别保送到北京大学、上海交通大学、中山大学这 3 所大学就读，每所大学至少保送 1 人，则不同的保送方法共有( )A150 种 B180 种 C240 种 D540 种解析 先将 5 人分成三组，3,1,1 或 2,2,1，共有 C C 25(种)分法；35 15C24C22！再将三组学生分到 3 所学校有 A 6(种)分
21、法，故共有 256150(种)不同的保送方311法故选 A.答案 A6(2018广州一模)( x1) 6的展开式的常数项为( )(2x21x)A54 B56 C58 D60解析 ( x1) 6的展开式的常数项就是 6的展开式的常数项与 x1 项(2x21x) (2x2 1x)的系数之和. 6的展开式的通项 Tr1 C (2x2)6 r r(1) r26 rC x123 r，令(2x21x) r6 ( 1x) r6123 r0 得 r4，所以常数项是(1) 422C 60，令 123 r1 得 r ，不符合46133题意，所以 6的展开式的 x1 项是不存在的，故选 D.(2x21x)答案 D7
22、(2018广东肇庆三模)( x2 y)7的展开式中，系数最大的项是( )A68 y7 B112 x3y4C672 x2y5 D1344 x2y5解析 设第 r1 项的系数最大，又 rZ， r5.系数最大的项为 T6C x225y5672 x2y5.故选 C.57答案 C8(2018衡水一模)已知身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法种数为( )A24 B28 C36 D4812解析 按红红之间有蓝、无蓝这两类来分情况研究(1)当红红之间有蓝时，则有 AA 24 种情况；(2)当红红之间无蓝时，则有 C A C C
23、 24 种情况因此这五个人排成224 1221213一行，穿相同颜色衣服的人不能相邻，共有 242448 种排法故选 D.答案 D9(2018广东珠海模拟)将 5 个不同的球放入 4 个不同的盒子中，每个盒子至少放一个球，则不同放法共有( )A480 种 B360 种 C240 种 D120 种解析 根据题意，将 5 个不同的球放入 4 个不同的盒子中，每个盒子至少放一个球，则必须有 2 个小球放入 1 个盒子，其余的小球各单独放入一个盒子，分 2 步进行分析：先将 5 个小球分成 4 组，有 C 10 种分法；将分好的 4 组全排列，放入 4 个盒子，有 A2524 种情况，则不同放法有 1
24、024240 种故选 C.4答案 C10(2018甘肃二诊)某微信群中有甲、乙、丙、丁、戊五个人玩抢红包游戏，现有4 个红包，每人最多抢一个，且红包被全部抢完，4 个红包中有 2 个 6 元，1 个 8 元，1 个10 元(红包中金额相同视为相同红包)，则甲、乙都抢到红包的情况有( )A18 种 B24 种 C36 种 D48 种解析 若甲、乙抢到的是一个 6 元和一个 8 元的红包，剩下 2 个红包，被剩下的 3人中的 2 个人抢走，有 A A 12(种)；若甲、乙抢到的是一个 6 元和一个 10 元的红包，223剩下 2 个红包，被剩下的 3 人中的 2 个人抢走，有 A A 12(种)；
25、若甲、乙抢到的是一个2238 元和一个 10 元的红包，剩下 2 个红包，被剩下的 3 人中的 2 个人抢走，有 A C 6(种)；223若甲、乙抢到的是两个 6 元的红包，剩下 2 个红包，被剩下的 3 人中的 2 个人抢走，有A 6(种)，根据分类加法计数原理可得，共有 36 种情况，故选 C.23答案 C11.(2018合肥市三模)某社区新建了一个休闲小公园，几条小径将公园分成 5 块区域，如图所示社区准备从 4 种颜色不同的花卉中选择若干种种植在各块区域，要求每个区域种植一种颜色的花卉，且相邻区域(有公共边的)所选花卉颜色不能相同，则不同种植方法的种数为( )13A96 B114 C1
26、68 D240解析 首先在 a 中种植，有 4 种不同方法，其次在 b 中种植，有 3 种不同方法，再次在 c 中种植，若 c 与 b 同色，则 d 有 3 种不同方法，若 c 与 b 不同色， c 有 2 种不同方法， d 有 2 种不同方法，最后在 e 中种植，有 2 种不同方法，所以不同的种植方法共有4313243222168(种)，故选 C.答案 C12(2018郑州市第二次质量预测)将数字“124467”重新排列后得到不同的偶数的个数为( )A72 B120 C192 D240解析 若将数字“124467”重新排列后所得数字为偶数，则末位数应为偶数，若末位数字为 2，因为含有 2 个
27、 4，所以偶数有 60(个)；若末位543212数字为 6，同理偶数有 60(个)；若末位数字为 4，因为有两个543212相同数字 4，所以偶数有 54321120(个)综上可知，不同的偶数共有6060120240(个)答案 D二、填空题13(2018海南省五校二模)从数字 0,1,2,3,4 中任意取出 3 个不重复的数字组成三位数，则组成的三位数中是 3 的倍数的有_个解析 若取出的 3 个数字中包含 0，则由数字 0,1,2 或 0,2,4 组成的三位数满足题意，共组成 8 个三位数；若取出的 3 个数字中不包含 0，则由数字 1,2,3 或 2,3,4 组成的三位数满足题意，组成的三
28、位数共有 2A 12(个)综上可知，共有 20 个三位数满足题3意答案 2014(2018东北三省四市二模)现将 5 张连号的电影票分给甲、乙等 5 个人，每人一张，若甲、乙分得的电影票连号，则共有_种不同的分法(用数字作答)解析 电影票号码相邻只有 4 种情况，则甲、乙 2 人在这 4 种情况中选一种，共 C种选法，将 2 张连号的票分给甲、乙，共有 A 种分法；其余 3 张票分给其他 3 个人，共14 2有 A 种分法，根据分步乘法计数原理，可得共有 C A A 48(种)分法3 1423答案 4815(2018湖北黄冈期末)设(1 ax)2018 a0 a1x a2x2 a2018x20
29、18，若a12 a23 a32018 a20182018 a(a0)，则实数 a_.解析 已知(1 ax)2018 a0 a1x a2x2 a2018x2018，两边同时对 x 求导，得 2018(1 ax)2017( a) a12 a2x3 a3x22018 a2018x2017，14令 x1 得，2018 a(1 a)2017 a12 a23 a32018 a20182018 a，又 a0，所以(1 a)20171，即 1 a1，故 a2.答案 216设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿 x 轴跳动，每次向正方向或负方向跳 1个单位，经过 5 次跳动，质点落在点(3,0)(允许重复过此点)处，则质点不同的运动方法共有_种(用数字作答)解析 解法一：在 x 轴上，标出 A(1,0)， B(2,0)， C(3,0)， D(4,0)， E(1,0)，依题意知，跳动 4 次后，只有在 B 点或 D 点可跳到 C 点，画出树状图，可得结果为 5.OEOABCAOABCBABCCBCDC解法二：将向右跳一次记为1，向左跳一次记为1，需要其和为3，那么应为 4 个1,1 个1，质点不同的运动方法共有 C 5 种15答案 5
