1、1第一讲 坐标系与参数方程年份 卷别 考查角度及命题位置 命题分析卷极坐标方程与直角坐标方程的互化、直线和圆的位置关系T 22卷曲线的参数方程与直角坐标方程的互化、直线参数方程的几何意义T 222018卷 参数方程与直角坐标方程的互化T 22卷参数方程与普通方程的互化、点到直线的距离T 22卷直角坐标与极坐标的互化、动点轨迹方程的求法、三角形面积的最值问题T 222017卷直线的参数方程与极坐标方程、动点轨迹方程的求法T 22卷参数方程与普通方程的互化、极坐标方程与直角坐标方程的互化及应用T 23卷极坐标方程与直角坐标方程的互化及应用、直线与圆的位置关系T 232016卷参数方程、极坐标方程及
2、点到直线的距离、三角函数的最值T 231.坐标系与参数方程是高考的选考内容之一，高考考查的重点主要有两个方面：一是简单曲线的极坐标方程；二是参数方程、极坐标方程与曲线的综合应用2.全国课标卷对此部分内容的考查以解答题形式出现，难度中等，备考此部分内容时应注意转化思想的应用.2极坐标方程及应用授课提示：对应学生用书第75页悟通方法结论1圆的极坐标方程若圆心为 M( 0， 0)，半径为 r，则圆的方程为： 22 0 cos( 0) r2200.几个特殊位置的圆的极坐标方程：(1)当圆心位于极点，半径为 r： r；(2)当圆心位于 M(a,0)，半径为 a： 2 acos ；(3)当圆心位于 M ，
3、半径为 a： 2 asin .(a， 2)2直线的极坐标方程若直线过点 M( 0， 0)，且极轴与此直线所成的角为 ，则它的方程为： sin( ) 0sin( 0 )几个特殊位置的直线的极坐标方程：(1)直线过极点： 0和 0；(2)直线过点 M(a,0)且垂直于极轴： cos a；(3)直线过 M 且平行于极轴： sin b.(b， 2)全练快速解答1(2018高考全国卷)在直角坐标系 xOy中，曲线 C1的方程为 y k|x|2.以坐标原点为极点， x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 22 cos 30.(1)求 C2的直角坐标方程；(2)若 C1与 C2有且仅有三个公
4、共点，求 C1的方程解析：(1)由 x cos ， y sin 得 C2的直角坐标方程为( x1) 2 y24.(2)由(1)知 C2是圆心为 A(1,0)，半径为2的圆由题设知， C1是过点 B(0,2)且关于 y轴对称的两条射线记 y轴右边的射线为 l1， y轴左边的射线为 l2.由于点 B在圆 C2的外面，故 C1与 C2有且仅有三个公共点等价于 l1与 C2只有一个公共点且 l2与 C2有两个公共点，或 l2与 C2只有一个公共点且 l1与 C2有两个公共点当 l1与 C2只有一个公共点时，点 A到 l1所在直线的距离为2，所以 2，故 k| k 2|k2 13或 k0.43经检验，当
5、 k0时， l1与 C2没有公共点；当 k 时， l1与 C2只有一个公共点， l2与 C2有两个公共点43当 l2与 C2只有一个公共点时，点 A到 l2所在直线的距离为2，所以 2，故 k0或 k|k 2|k2 1 .43经检验，当 k0时， l1与 C2没有公共点；当 k 时， l2与 C2没有公共点43综上，所求 C1的方程为 y |x|2.432(2017高考全国卷)在直角坐标系 xOy中，以坐标原点为极点， x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C1的极坐标方程为 cos 4.(1)M为曲线 C1上的动点，点 P在线段 OM上，且满足| OM|OP|16，求点 P的轨迹 C2的直角坐
6、标方程；(2)设点 A的极坐标为 ，点 B在曲线 C2上，求 OAB面积的最大值(2， 3)解析：(1)设 P的极坐标为( ， )( 0)， M的极坐标为( 1， )( 10)由题设知| OP| ，| OM| 1 .4cos 由| OM|OP|16得 C2的极坐标方程 4cos ( 0)因此 C2的直角坐标方程为( x2) 2 y24( x0)(2)设点 B的极坐标为( B， )( B0)，由题设知| OA|2， B4cos ，于是 OAB面积S |OA| Bsin AOB124cos |sin |( 3)2|sin |(2 3) 322 .3当 时， S取得最大值2 .12 3所以 OAB面
7、积的最大值为2 .33(2018长春二模)在直角坐标系 xOy中，以 O为极点， x轴正半轴为极轴建立极坐标4系，曲线 C的极坐标方程为 cos 1， M， N分别为曲线 C与 x轴， y轴的交点( 3)(1)写出曲线 C的直角坐标方程，并求 M， N的极坐标；(2)设 M， N的中点为 P，求直线 OP的极坐标方程解析：(1) cos 1，( 3) cos cos sin sin 1. 3 3又Error! x y1，12 32即曲线 C的直角坐标方程为 x y20，3令 y0，则 x2；令 x0，则 y .233 M(2,0)， N .(0，233) M的极坐标为(2,0)， N的极坐标为
8、 .(233， 2)(2) M， N连线的中点 P的直角坐标为 ，(1，33) P的极角为 ， 6直线 OP的极坐标方程为 ( R) 61.极坐标方程与普通方程互化技巧(1)巧用极坐标方程两边同乘以 或同时平方技巧，将极坐标方程构造成含有 cos ， sin ， 2的形式，然后利用公式代入化简得到普通方程(2)巧借两角和差公式，转化 sin( )或 cos( )的结构形式，进而利用互化公式得到普通方程(3)将直角坐标方程中的 x转化为 cos ，将 y换成 sin ，即可得到其极坐标方程2求解与极坐标有关的问题的主要方法(1)直接利用极坐标系求解，可与数形结合思想配合使用(2)转化为直角坐标系
9、，用直角坐标求解若结果要求的是极坐标，还应将直角坐标化为极坐标5参数方程授课提示：对应学生用书第76页悟通方法结论几种常见曲线的参数方程(1)圆以 O( a， b)为圆心， r为半径的圆的参数方程是Error!其中 是参数当圆心在(0,0)时，方程为Error!其中 是参数(2)椭圆椭圆 1( a b0)的参数方程是Error!其中 是参数x2a2 y2b2椭圆 1( a b0)的参数方程是Error!其中 是参数x2b2 y2a2(3)直线经过点 P0(x0， y0)，倾斜角为 的直线的参数方程是Error!其中t是参数全练快速解答1(2018高考全国卷)在直角坐标系 xOy中，曲线 C的参
10、数方程为Error!( 为参数)，直线 l的参数方程为Error!(t为参数)(1)求 C和 l的直角坐标方程；(2)若曲线 C截直线 l所得线段的中点坐标为(1,2)，求 l的斜率解析：(1)曲线 C的直角坐标方程为 1.x24 y216当cos 0时， l的直角坐标方程为 ytan x2tan ，当cos 0时， l的直角坐标方程为 x1.(2)将 l的参数方程代入 C的直角坐标方程，整理得关于t的方程(13cos 2 )t24(2cos sin )t80.因为曲线 C截直线 l所得线段的中点(1,2)在 C内，所以有两个解，设为t 1，t 2，则t 1t20.又由得t 1t 2 ，故2c
11、os sin 42cos sin 1 3cos2 0，于是直线 l的斜率 ktan 2.2(2017高考全国卷)在直角坐标系 xOy中，曲线 C的参数方程为Error!( 为参数)6，直线 l的参数方程为Error!(t为参数)(1)若 a1，求 C与 l的交点坐标；(2)若 C上的点到 l距离的最大值为 ，求 a.17解析：(1)曲线 C的普通方程为 y21.x29当 a1时，直线 l的普通方程为 x4 y30.由Error!解得Error! 或Error!从而 C与 l的交点坐标为(3,0)， .(2125， 2425)(2)直线 l的普通方程为 x4 y a40，故 C上的点(3cos
12、，sin )到 l的距离为d .|3cos 4sin a 4|17当 a4时，d的最大值为 .a 917由题设得 ，解得 a8；a 917 17当 a4时，d的最大值为 . a 117由题设得 ， a 117 17解得 a16.综上， a8或 a16.3(2018惠州模拟)已知曲线 C的极坐标方程是 4cos .以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线 l的参数方程是Error!(t为参数)(1)将曲线 C的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)若直线 l与曲线 C相交于 A， B两点，且| AB| ，求直线 l的倾斜角 的值14解析：(1)由 4cos 得 2
13、4 cos . x2 y2 2， x cos ， y sin ，曲线 C的直角坐标方程为 x2 y24 x0，即( x2) 2 y24.(2)将Error! 代入曲线 C的方程得(tcos 1) 2(tsin )24，化简得t 22tcos 30.设 A， B两点对应的参数分别为t 1，t 2，则Error!.| AB|t 1t 2| ，t1 t22 4t1t2 4cos2 12 1474cos 2 2，cos ， 或 .22 4 341有关参数方程问题的2个关键点(1)参数方程化为普通方程的关键是消参数，要根据参数的特点进行转化(2)利用参数方程解决问题，关键是选准参数，理解参数的几何意义2
14、利用直线的参数方程中参数的几何意义求解问题经过点 P(x0， y0)，倾斜角为 的直线 l的参数方程为Error!(t为参数)若 A， B为直线 l上两点，其对应的参数分别为t 1，t 2，线段 AB的中点为 M，点 M所对应的参数为t 0，则以下结论在解题中经常用到：(1)t0 ；t1 t22(2)|PM|t 0| ；|t1 t22 |(3)|AB|t 2t 1|；(4)|PA|PB|t 1t2|.极坐标方程与参数方程的综合应用授课提示：对应学生用书第77页(2017高考全国卷)(10分)在直角坐标系 xOy中，直线 l1的参数方程为Error!(t为参数)，直线 l2的参数方程为Error
15、!( m为参数)设 l1与 l2的交点为 P，当 k变化时， P的轨迹为曲线 C.(1)写出 C的普通方程；(2)以坐标原点为极点， x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设 l3： (cos sin ) 0， M为 l3与 C的交点，求 M的极径2规范解答 (1)消去参数t得 l1的普通方程 l1： y k(x2)；消去参数 m得 l2的普通方程 l2： y (x2)1k(2分)8设 P(x， y)，由题设得Error!消去 k得 x2 y24( y0)所以 C的普通方程为 x2 y24( y0) (4分)(2)C的极坐标方程为 2(cos2 sin 2 )4(0 2， )联立Error! (6分)
16、得cos sin 2(cos sin )故tan ，13从而cos 2 ，sin 2 . (8分)910 110代入 2(cos2 sin 2 )4得 25，所以交点 M的极径为 . (10分)5解决极坐标方程与参数方程综合问题的方法(1)对于参数方程或极坐标方程应用不够熟练的情况下，我们可以先化成直角坐标的普通方程，这样思路可能更加清晰. (2)对于一些运算比较复杂的问题，用参数方程计算会比较简捷(3)利用极坐标方程解决问题时，要注意题目所给的限制条件及隐含条件练通即学即用1(2018惠州模拟)已知曲线 C：Error!( 为参数)和定点 A(0， )， F1， F2是此曲线3的左、右焦点，
17、以原点 O为极点，以 x轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)求直线 AF2的极坐标方程；(2)经过点 F1且与直线 AF2垂直的直线 l交曲线 C于 M， N两点，求| MF1| NF1|的值解析：(1)曲线 C：Error!可化为 1，故曲线 C为椭圆，x24 y23则焦点 F1(1,0)， F2(1,0)所以经过点 A(0， )和 F2(1,0)的直线 AF2的方程为 x 1，即 x y 0，3y3 3 3所以直线 AF2的极坐标方程为 cos sin .3 3(2)由(1)知，直线 AF2的斜率为 ，因为 l AF2，所以直线 l的斜率为 ，即倾斜角333为30 ，所以直线 l的参数方程为
18、 Error!(t为参数)，代入椭圆 C的方程中，得13t 212 t360.3因为点 M， N在点 F1的两侧，所以| MF1| NF1|t 1t 2| .1231392(2018长郡中学模拟)在直角坐标系中，已知曲线 M的参数方程为Error!( 为参数)，在极坐标系中，直线 l1的方程为 1 ，直线 l2的方程为 2 . 2(1)写出曲线 M的普通方程，并指出它是什么曲线；(2)设 l1与曲线 M交于 A， C两点， l2与曲线 M交于 B， D两点，求四边形 ABCD面积的取值范围解析：(1)由Error!( 为参数)，消去参数 ，得曲线 M的普通方程为( x1) 2( y1) 28，
19、曲线 M是以(1,1)为圆心，2 为半径的圆2(2)设| OA| 1，| OC| 2， O， A， C三点共线，则| AC| 1 2| (*)， 1 22 4 1 2将曲线 M的方程化成极坐标方程，得 22 (sin cos )60，Error! 代入(*)式得| AC| .28 4sin 2用 代替 ，得| BD| ， 2 28 4 sin 2又 l1 l2， S四边形 ABCD |AC|BD|，12 S四边形 ABCD 2 ，1228 4sin 2 28 4 sin 2 49 sin22sin 22 0,1， S四边形 ABCD8 ，14.3授课提示：对应学生用书第159页1已知曲线 C1
20、的参数方程为Error!( 为参数)，以坐标原点为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 4sin( )，直线 l的直角坐标方程为 y 3x.33(1)求曲线 C1和直线 l的极坐标方程；(2)已知直线 l分别与曲线 C1、曲线 C2相交于异于极点的 A， B两点，若 A， B的极径分别为 1， 2，求| 2 1|的值解析：(1)曲线 C1的参数方程为Error!( 为参数)，其普通方程为 x2( y1) 21，极坐标方程为 2sin .10直线 l的直角坐标方程为 y x，33故直线 l的极坐标方程为 ( R) 6(2)曲线 C1的极坐标方程为 2sin ，直线 l
21、的极坐标方程为 ， 6将 代入 C1的极坐标方程得 11， 6将 代入 C2的极坐标方程得 24， 6| 2 1|3.2(2018开封模拟)在直角坐标系 xOy中，直线 C1的参数方程为Error!(t为参数)，圆 C2：( x2) 2 y24，以坐标原点为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)求 C1， C2的极坐标方程和交点 A的坐标(非坐标原点)；(2)若直线 C3的极坐标方程为 ( R)，设 C2与 C3的交点为 B(非坐标原点)，求 O 4AB的最大面积解析：(1)由Error!(t为参数)得曲线 C1的普通方程为 y xtan ，故曲线 C1的极坐标方程为 ( R)将 x c
22、os ， y sin 代入( x2) 2 y24，得 C2的极坐标方程为 4cos .故交点 A的坐标为(4cos ， )(2)由题意知， B的极坐标为(2 ， )2 4 S OAB| 2 4cos sin( )|2 sin(2 )2|，12 2 4 2 4故 OAB的最大面积是2 2.23(2018长春模拟)以直角坐标系的原点 O为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点 P的直角坐标为(1,2)，点 C的极坐标为(3， )，若直线 l过点 P，且倾斜角为 ， 2 6圆 C以点 C为圆心，3为半径(1)求直线 l的参数方程和圆 C的极坐标方程；(2)设直线 l与圆 C相交于 A， B两
23、点，求| PA|PB|.解析：(1)由题意得直线 l的参数方程为Error!(t为参数)，圆 C的极坐标方程为 6sin .(2)由(1)易知圆 C的直角坐标方程为 x2( y3) 29，把Error! 代入 x2( y3) 29，得t 2( 1)t70，311设点 A， B对应的参数分别为t 1，t 2，t 1t27，又| PA|t 1|，| PB|t 2|，| PA|PB|7.4(2018唐山模拟)极坐标系的极点为直角坐标系 xOy的原点，极轴为 x轴的正半轴，两种坐标系的长度单位相同已知圆 C1的极坐标方程为 4(cos sin )， P是 C1上一动点，点 Q在射线 OP上且满足| O
24、Q| |OP|，点 Q的轨迹为 C2.12(1)求曲线 C2的极坐标方程，并化为直角坐标方程；(2)已知直线 l的参数方程为Error!(t为参数，0 )， l与曲线 C2有且只有一个公共点，求 的值解析：(1)设点 P， Q的极坐标分别为( 0， )，( ， )，则 0 4(cos sin )2(cos sin )，12 12点 Q的轨迹 C2的极坐标方程为 2(cos sin )，两边同乘以 ，得 22( cos sin )，C2的直角坐标方程为 x2 y22 x2 y，即( x1) 2( y1) 22.(2)将 l的参数方程代入曲线 C2的直角坐标方程，得(tcos 1) 2(tsin 1) 22，即t 22(cos sin )t0，t 10，t 22(sin cos )，由直线 l与曲线 C2有且只有一个公共点，得sin cos 0，因为0 ，所以 . 4
