1、1专题跟踪训练(十九) 数列的通项与求和一、选择题1(2018安徽淮南一模)已知 an中， an n2 n ，且 an是递增数列，则实数 的取值范围是( )A(2，) B2，)C(3，) D3，)解析 an是递增数列， nN *， an1 an，( n1) 2 (n1) n2 n ，化简得 (2 n1)， 3.故选 C.答案 C2(2018信阳二模)已知数列 an中， a1 a21， an2 Error!则数列 an的前 20 项和为( )A1121 B1122 C1123 D1124解析 由题意可知，数列 a2n是首项为 1，公比为 2 的等比数列，数列 a2n1 是首项为 1，公差为 2
2、的等差数列，故数列 an的前 20 项和为 1011 1 2101 221123.选 C.1092答案 C3(2018石家庄一模)已知正项数列 an中， a11，且( n2) a ( n1)2n 1a anan1 0，则它的通项公式为( )2nA an B an1n 1 2n 1C an D an nn 22解析 因为( n2) a ( n1) a anan1 0，所以( n2) an1 ( n1)2n 1 2nan(an1 an)0.又 an为正项数列，所以( n2) an1 ( n1) an0，即 ，an 1an n 1n 2则当 n2 时， an a1 1 .又anan 1 an 1an
3、 2 a2a1 nn 1 n 1n 23 2n 1 a11 也适合， an ，故选 B.2n 1答案 B4(2018广东茂名二模) Sn是数列 an的前 n 项和，且 nN *都有 2Sn3 an4，则Sn( )A223 n B43 n2C43 n1 D223 n1解析 2 Sn3 an4，2 Sn3( Sn Sn1 )4( n2)，变形为 Sn23( Sn1 2)，又 n1 时，2 S13 S14，解得 S14， S126.数列 Sn2是等比数列，首项为6，公比为 3. Sn263 n1 ，可得 Sn223 n.故选 A.答案 A5(2018河北石家庄一模)若数列 an满足 a12， an1
4、 ，则 a2018的值为( )1 an1 anA2 B3 C D.12 13解析 a12， an1 ， a2 3，同理可得：1 an1 an 1 a11 a1a3 ， a4 ， a52，可得 an4 an，则 a2018 a50442 a23.故选 B.12 13答案 B6数列 an满足 a12， an1 a (an0， nN *)，则 an( )2nA10 n2 B10 n1 C102 n1 D22 n1解析 因为数列 an满足 a12， an1 a (an0， nN *)，2n所以 log2an1 2log 2an，即 2.log2an 1log2an又 a12，所以 log2a1log
5、221.故数列log 2an是首项为 1，公比为 2 的等比数列所以 log2an2 n1 ，即 an22 n1 .答案 D二、填空题7(2018河南新乡三模)若数列 an1 an是等比数列，且 a11， a22， a35，则an_.解析 a2 a11， a3 a23， q3， an1 an3 n1 ，当 n2 时，an a1 a2 a1 a3 a2 an1 an2 an an1 133 n2 ，1 3n 11 3 a11， an .a11 也适合， an .3n 1 12 3n 1 12答案 3n 1 128已知数列 an中， a13，且点 Pn(an， an1 )(nN *)在直线 4x
6、y10 上，则数列 an的通项公式为_3解析 因为点 Pn(an， an1 )(nN *)在直线 4x y10 上，所以 4an an1 10.所以 an1 4 .13 (an 13)因为 a13，所以 a1 .13 103故数列 是首项为 ，公比为 4 的等比数列an13 103所以 an 4n1 ，故数列 an的通项公式为 an 4n1 .13 103 103 13答案 an 4n1 103 139(2018山西大同模拟)已知数列 an的通项公式为 an(1)n(2n1)cos 1( nN *)，其前 n 项和为 Sn，则 S60_.n2解析 由题意可得，当 n4 k3( kN *)时，
7、an a4k3 1；当 n4 k2( kN *)时，an a4k2 68 k；当 n4 k1( kN *)时， an a4k1 1；当 n4 k(kN *)时，an a4k8 k. a4k3 a4k2 a4k1 a4k8， S60815120.答案 120三、解答题10(2018郑州质检)已知数列 an的首项 a11，前 n 项和 Sn，且数列 是公差为Snn2 的等差数列(1)求数列 an的通项公式；(2)若 bn(1) nan，求数列 bn的前 n 项和 Tn.解 (1)由已知条件得 1( n1)22 n1，Snn Sn2 n2 n.当 n2 时， an Sn Sn1 2 n2 n2( n
8、1) 2( n1)4 n3.当 n1 时， a1 S11，而 4131， an4 n3.(2)由(1)可得 bn(1) nan(1) n(4n3)，当 n 为偶数时，Tn1591317(4 n3)4 2 n，n2当 n 为奇数时， n1 为偶数，Tn Tn1 bn1 2( n1)(4 n1)2 n1.4综上， TnError!11(2018南昌市二模)已知数列 an满足 n2 n.a12 a222 a323 an2n(1)求数列 an的通项公式；(2)若 bn ，求数列 bn的前 n 项和 Sn. 1 nan2解 (1) n2 n，a12 a222 a323 an2n当 n2 时， ( n1)
9、 2 n1，a12 a222 a323 an 12n 1得， 2 n(n2)， an n2n1 (n2)an2n又当 n1 时， 11， a14 也适合 an n2n1 ， an n2n1 .a12(2)由(1)得， bn n(2) n， 1 nan2 Sn1(2) 12(2) 23(2) 3 n(2) n，2 Sn1(2) 22(2) 33(2) 4( n1)(2) n n(2) n1 ，得，3 Sn(2)(2) 2(2) 3(2) n n(2) n1 n(2) n1 ， 21 2 n3 Sn . 3n 1 2 n 1 2912(2018北京海淀模拟)数列 an的前 n 项和 Sn满足 Sn
10、2 an a1，且a1， a21， a3成等差数列(1)求数列 an的通项公式；(2)设 bn ，求数列 bn的前 n 项和 Tn.an 1SnSn 1解 (1) Sn2 an a1，当 n2 时， Sn1 2 an1 a1， an2 an2 an1 ，化为 an2 an1 .由 a1， a21， a3成等差数列得，2( a21) a1 a3，2(2 a11) a14 a1，解得 a12.数列 an是等比数列，首项为 2，公比为 2. an2 n.(2) an2 n， Sn 2 n1 2， Sn1 2 n2 2.2 2n 12 15 bn .an 1SnSn 1 2n 1 2n 1 2 2n 2 2 12( 12n 1 12n 1 1)数列 bn的前 n 项和Tn12( 12 1 122 1) ( 122 1 123 1) ( 12n 1 12n 1 1) .12(1 12n 1 1)
