1、12 三角与向量的创新考法与学科素养提分策略一 探究命题情景应用能力就解决新定义问题而言，首先是通过阅读理解题意，把握题目所包括的新的概念、定理或方法的本质，然后分析材料，结合所学的数学知识和方法，通过归纳、探索、推理等有效方法解决问题(2018济宁模拟)对于任意两个非零的平面向量 m， n，定义 m， n之间的新运算： mn.已知非零的平面向量 a， b满足： ab和 ba都在集合 x|x ， kZ中，且 |a|mnnn 3k3b|.若 a， b的夹角 ( ， )，则( ab)sin _. 6 4解析：根据题意得 ab ， k1Z， babbb |a|b|cos |b|2 |a|cos |b
2、| 3k13a ， k2Z，所以( ab)(ba)cos 2baaa |a|b|cos |a|2 |b|cos |a| 3k23 .因为 ( ， )，所以 cos 2 ，即 ，因为 k1， k2Z，所以 k1k2k1k23 6 4 12 34 12 k1k23 342，cos 2 ，sin 23 ，因为| a| b|，所以 k12， k21，所以 ab ，( ab)sin .33 233 23答案：23点评 本题以新定义的形式创设新的命题情景： mn，主要是考查学生探究推理新问题的能力及数学运算素养对点训练在平面斜坐标系 xOy中， xOy ，平面上任意一点 P关于斜坐标系的斜坐标这样定义：若
3、 xe1 ye2(其中 e1， e2分别是 x轴， y轴正方向上的单位向量)，则 P点的斜坐标为( xOP ， y)，向量 的斜坐标为( x， y)给出以下结论：OP 若 60， P(2，1)，则 | | ；OP 32若 P(x1， y1)， Q( x2， y2)，则 ( x1 x2， y1 y2)；OP OQ 若 ( x1， y1)， ( x2， y2)，则 x1x2 y1y2；OP OQ OP OQ 若 60，以 O为圆心、1 为半径的圆的斜坐标方程为 x2 y2 xy10.其中所有正确结论的序号是_解析：对于， 2 e1 e2，则| |2(2 e1 e2)254 cos OP OP 3，
4、所以| | ，故 正确OP 3对于，若 P(x1， y1)， Q(x2， y2)，则 ( x1 x2， y1 y2)，故正确OP OQ 对于， ( x1， y1)， ( x2， y2)，所以 ( x1e1 y1e2)(x2e1 y2e2)因OP OQ OP OQ 为 e1e20，所以 x1x2 y1y2，故错误OP OQ 对于，设圆 O上任意一点为 P(x， y)，因为| OP|1，所以( xe1 ye2)21，所以 x2 y2 xy10，故正确答案：提分策略二 引入数学文化题考查数学文化，多从九章算术和数书九章等中国古代数学名著中挖掘素材第24届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图
5、为基础进行设计的如图，会标是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较大的锐角为 ，那么tan( )_. 4解析：依题意得大、小正方形的边长分别是5、1，于是有5 sin 5 cos 1(0 )，即有sin cos .从而(sin cos )22(sin 2 15 cos )2 ，则sin cos ，因此sin ，cos ，tan 4925 75 45 35 ，故tan ( ) 7.43 4 tan 11 tan 答案：7点评 3本题以数学家大会会标为背景，引入我国古代数学家赵爽的弦图，既巧妙地考查了三角形全等以及三角函数
6、公式的应用知识，又丰富了弦图的内涵对点训练九章算术是我国古代著名数学经典，书中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小；以锯锯之，深一寸，锯道长一尺问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深1寸，锯道长1尺问这块圆柱形木料的直径是多少？长为1丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示(阴影部分为镶嵌在墙体内的部分)已知弦 AB1尺，弓形高 CD1寸，估算该木材镶嵌在墙中的体积约为( )(注：1丈10尺100寸，3.14，sin 22.5 )513A600立方寸 B610立方寸C620立方寸 D633立方寸解析：连接 OA， OB， OD，设 O
7、的半径为 R，则( R1) 25 2 R2， R13.sin AOD .ADAO 513 AOD22.5，即 AOB45.故 AOB . 4 S弓形 ACB S扇形 OACB S OAB 132 10126.33平方寸12 4 12该木材镶嵌在墙中的体积为V S弓形 ACB100633立方寸故选D.答案：D4提分策略三 引入临界知识考学科潜力1临界法则常用的“临界法则”有：(1)三角函数中的“合一变形”，即 asin x bcos x sin(x )，其中 满足cos ，sin a2 b2aa2 b2 ，解决很多三角综合问题都离不开它ba2 b2(2)射影定理：在 ABC中，角 A， B， C
8、所对的边分别为 a， b， c，则a b cos C c cos B， b ccos A acos C，c acos B bcos A.(3)已知 ABC中，角 A， B， C所对的边分别为 a， b， c，则 2 R外asin A bsin B csin C接圆若 ABC的面积为 ， 2，则 ABC外接圆面积的最小值为( )3 AB AC A B. C2 D.43 83解析：设 ABC内角 A， B， C所对的边分别为 a， b， c.由题意可得 bcsin A ， bccos A2，12 3tan A .3又 A(0，)， A . 3 bccos 2，即 bc4. 3由余弦定理可得 a2
9、b2 c22 bccos A b2 c2 bc bc4，即 a2.又由正弦定理得 2 R(R为 ABC外接圆的半径)，asin A2 Rsin A a2，即 R2，3 R2 ，三角形外接圆面积的最小值为 .43 43答案：B点评 5本题巧用 2 R，通过 a的取值范围求得 R的范围，进而求得 ABC外接圆面积的最小值asin A2临界问题有些高考综合题的命题背景往往是竞赛数学或高等数学问题，这类经过“加工”的问题，可视为高考与竞赛或初等数学与高等数学的临界问题凸函数是一类重要的函数，其具有如下性质：若定义在( a， b)上的函数 f(x)是凸函数，则对任意的 xi( a， b)(i1,2， n
10、)，必有 f( )x1 x2 xnn fx1 fx2 fxnn成立已知 ysin x是(0，)上的凸函数，利用凸函数的性质，当 ABC的外接圆半径为 R时，其周长的最大值为_解析：由凸函数的性质可得sin sin ，化简得sin A B C3 3 sin A sin B sin C3Asin Bsin C3sin .设 a， b， c分别为内角 A， B， C所对的边，利用正弦定理可得三角形的周长 3 332l a b c2 R(sin Asin Bsin C)2 R 3 R，即周长的最大值为3 R.332 3 3答案：3 R3点评 本题是以凸函数的性质为背景，巧妙地考查了正弦定理的应用，结合
11、凸函数的性质使问题得以解决授课提示：对应学生用书第127页一、选择题1定义：| ab| |a|b|sin ，其中 为向量 a与 b的夹角，若| a| 2， |b| 5， ab 6，则 |ab|等于( )A8 B8C8或8 D6解析：由| a|2，| b|5， ab6，可得25 cos 6cos 6 .又 0，所以sin .从而| ab|25 8.35 45 45答案：B2已知外接圆半径为 R的 ABC的周长为(2 )R，则sin Asin Bsin C( )3A1 B132 34C. D. 12 32 12 3解析：由正弦定理知 a b c2 R(sin Asin Bsin C)(2 )R，所
12、以sin 3Asin Bsin C1 ，故选 A.32答案：A3设 a， b为非零向量， |b| 2|a|，两组向量 x1， x2， x3， x4和 y1， y2， y3， y4均由2个a和2个 b排列而成若 x1y1 x2y2 x3y3 x4y4所有可能取值中的最小值为4| a|2，则a与 b的夹角为( )A. B.23 3C. D0 6解析：设 S x1y1 x2y2 x3y3 x4y4，若 S的表达式中有0个 ab，则 S 2a2 2b2，记为 S1，若 S的表达式中有2个 ab，则 S a2 b2 2ab，记为 S2，若 S的表达式中有4个 ab，则 S4 ab，记为 S3.又| b|
13、2| a|，所以 S1 S32 a2 2b2 4ab 2(a b)20， S1 S2 a2 b2 2ab( a b)20， S2 S3( a b)20，所以 S3 S2 S1，故 Smin S34 ab，设 a， b的夹角为 ，则 Smin4 ab8| a|2cos 4| a|2，即cos ，又 0，所以 .12 3答案：B4已知直角梯形 ABCD中， AD BC， ADC90， AD2， BC1， P是腰 DC上的动点，则| |的最小值为( )PA PB A5 B4C3 D6解析：建立平面直角坐标系如图所示，则 A(2,0)，设 P(0， y)， C(0， b)，则 B(1， b)，则 3
14、(2， y)3(1， b y)(5,3 b4 y)所以|PA PB 3 | (0 y b)当 y b时，| 3 |min5.PA PB 25 3b 4y2 34 PA PB 7答案：A二、填空题5(2018石家庄质检)非零向量 m， n的夹角为 ，且满足| n| |m|( 0)，向量 3组 x1， x2， x3由一个 m和两个 n排列而成，向量组 y1， y2， y3由两个 m和一个 n排列而成，若 x1y1 x2y2 x3y3所有可能值中的最小值为4 m2，则 _.解析：由题意， x1y1 x2y2 x3y3的运算结果有以下两种可能： m2 mn n2 m2 |m|m|cos 2m2( 2
15、1) m2； mn mn mn3 |m|m|cos 3 2 3 m2.又 2 1 2 1( )2 0，所以 m24 m2，即 4，32 2 32 12 34 32 32解得 .83答案：836定义平面向量的一种运算 ab |a b|a b|sin a， b，其中 a， b是 a与 b的夹角，给出下列命题：若 a， b 90，则 a b a2 b2；若 |a| |b|，则( ab) (a b) 4ab；若 |a| |b|，则 ab 2|a|2；若 a( 1,2)， b( 2,2)，则( a b)b .其中真命题的序号是_10解析：中，因为 a， b 90，则 a b |a b|a b| a2 b
16、2，所以成立；中，因为 |a| b|，所以( a b)，( a b) 90，所以 (a b) (a b) |2a|2b| 4|a|b|，所以不成立；中，因为 |a| |b|，所以 ab |a b|a b|sin a， b| a b|a b| 2| a|2，所以成立；中，因为 a(1,2)， b|a b|2 |a b|22(2,2)，所以 a b(1,4)，sin( a b)， b ，所以( a 33434b)b 3 ，所以不成立故真命题的序号是.5 533434 453434答案：7设非零向量 a， b的夹角为 ，记 f(a， b) acos bsin .若 e1， e2均为单位向量，且 e1
17、e2 ，则向量 f(e1， e2)与 f(e2， e1)的夹角为_32_解析：由 e1e1 ，可得cos e1， e2 ，32 e1e2|e1|e2| 328故 e1， e2 ， e2， e1 e2， e1 . 6 56f(e1， e2) e1cos e2sin e1 e2， 6 6 32 12f(e2， e1) e2cos ( e1)sin e1 e2.56 56 12 32f(e1， e2)f(e2， e1)( e1 e2)32 12 e1e20，(12e1 32e2) 32所以 f(e1， e2) f(e2， e1)故向量 f(e1， e2)与 f(e2， e1)的夹角为 . 2答案：
18、28对任意两个非零的平面向量 和 ，定义 。 .若平面向量 a， b满足 |a| |b| 0， a与 b的夹角 ，且 a。 b和 b。 a都在集合Error!中，则 a。 b_.(0， 4)解析： a。 b ，abbb |a|b|cos |b|2 |a|cos |b|b。 a .baaa |b|a|cos |a|2 |b|cos |a| ， cos 1.(0， 4) 22又| a| b|0，0 1.0 cos 1，即0 b。 a1.|b|a| |b|a| b。 aError!， b。 a .12，得( a。 b)(b。 a)cos 2 ，(12， 1) (a。 b) 1，即 1 a。 b2，
19、a。 b .12 12 32答案：329三国魏人刘徽，自撰海岛算经，专论测高望远其中有一题：今有望海岛，立两表齐，高三丈，前后相去千岁，令后表与前表相直从前表却行一百二十三步，人目著地取望岛峰，与表末参合从后表却行百二十七步，人目著地取望岛峰，亦与表末参合问岛高及去表各几何？译文如下：要测量海岛上一座山峰 A的高度 AH，立两根高均为3丈的9标杆 BC和 DE，前后标杆相距1 000步，使后标杆杆脚 D与前标杆杆脚 B与山峰脚 H在同一直线上，从前标杆杆脚 B退行123步到 F，人眼著地观测到岛峰， A， C， F三点共线，从后标杆杆脚 D退行127步到 G，人眼著地观测到岛峰， A， E，
20、G三点也共线，问岛峰的高度 AH_步(古制：1步6尺，1里180丈1 800 尺300步)解析：如图所示，由题意知 BC DE5步， BF123步， DG127步，设 AH h步，因为 BC AH，所以 BCF HAF，所以 ，所以 ，即 HF .因为 DE AH，所以 GBCAH BFHF 5h 123HF 123h5DE GHA，所以 ，所以 ，即 HG ，由题意( HG127)( HF123)1 DEAH DGHG 5h 127HG 127h5000，即 41 000， h1 255，即 AH1 255步127h5 123h5答案：1 255三、解答题10(2018泰安模拟)已知下凸函数
21、 f(x)在定义域内满足 f (x1 x2 xnn ).若函数 ytan fx1 fx2 fxnnx在 上是下凸函数，那么在锐角 ABC中，求tan Atan Btan C的最小值(0， 2)解析：因为 ytan x在 上是下凸函数，则 (tan Atan Btan C)tan(0， 2) 13tan ，即tan Atan Btan C3 ，当且仅当tan Atan Btan (A B C3 ) 3 3 3C，即 A B C 时，取等号，所以tan Atan Btan C的最小值为3 . 3 311在 ABC中，边 a， b， c分别是内角 A， B， C所对的边，且满足2sin Bsin A
22、sin C，设 B的最大值为 B0.(1)求 B0的值；(2)当 B B0， a3， c6， 时，求 CD的长AD 12DB 解析：(1)由题设及正弦定理知，2 b a c，即 b .a c2由余弦定理知，cos B .a2 c2 b22ac a2 c2 (a c2 )22ac 3a2 c2 2ac8ac 32ac 2ac8ac 12当且仅当 a2 c2，即 a c时等号成立10 ycos x在(0，)上单调递减， B的最大值 B0 . 3(2) B B0 ， a3， c6， 3 b 3 ，a2 c2 2accos B 3 c2 a2 b2，即 C ， A ， 2 6由 ，知 AD AB2，在
23、 ACD中，AD 12DB 13由余弦定理得 CD .AC2 AD2 2ACADcos CAD 1312在 ABC中，内角 A， B， C所对的边长分别为 a， b， c， 8， BAC ， aAB AC 4.(1)求 bc的最大值及 的取值范围；(2)求函数 f( ) sin 2 cos 2 1的最大值和最小值3解析：(1)由已知得 bccos 8， b2 c22 bccos 4 2，AB AC 故 b2 c232.又 b2 c22 bc，所以 bc16(当且仅当 b c4时等号成立)，即 bc的最大值为16.即 16，所以cos .8cos 12又0 ，所以0 ，即 的取值范围是 . 3 (0， 3(2)f( ) sin 2 cos 2 12sin 1.3 (2 6)因为0 ，所以 2 ， 3 6 6 56sin 1.12 (2 6)当2 ，即 时， f( )min2 12； 6 56 3 12当2 ，即 时， f( )max2113. 6 2 6
