1、1第 3 讲 不等式1.(1)2017山东卷 若直线 + =1(a0,b0)过点(1,2),则 2a+b 的最小值为 . (2)2018天津卷 已知 a,bR,且 a-3b+6=0,则 2a+ 的最小值为 . 试做 命题角度 利用基本不等式求最值关键一:确定定值式(已知中是和为定值还是积为定值);关键二:将待求式变形,利用基本不等式转换成定值式 .2.(1)2018全国卷 若 x,y 满足约束条件 则 z=x+y 的最大值为 . (2)2017全国卷 设 x,y 满足约束条件 则 z=3x-2y 的最小值为 . 试做 命题角度 求线性目标函数的最值关键一:直线定界,特殊点定域;关键二:在目标函
2、数 z=ax+by 中,若 b0,则截距 取最大值时, z 取最大值,若 b B. 2b D.a3b3(2)已知当 -1 a1 时, x2+(a-4)x+4-2a0 恒成立,则实数 x 的取值范围是 . 听课笔记 【考场点拨】求解含参不等式 ax2+bx+cb2”是“ ab0”的 ( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件2.已知 |a| B.acbcC. 0 D.ln 03.若不等式 ax2+2ax-40,b0,若不等式 + 恒成立,则 m 的最大值为 ( )A.9 B.12C.18 D.243(2)已知正实数 a,b,c 满足 a2-ab+4b2-c
3、=0,当 取得最小值时, a+b-c 的最大值为 ( )A.2 B.C. D.听课笔记 【考场点拨】利用基本不等式求最值的关键:(1)基本不等式 a+b2 成立的条件是 a0,b0,而不等式 a2+b22 ab 对任意实数a,b 都成立,因此在使用时要注意其前提条件;(2)对多次使用基本不等式时,需考虑等号是不是能同时成立;(3)对于含有 x+ (a0)的不等式,不能简单地利用 x+ 2 ,而是要根据 x 的取值范围判断能否取到最小值 2 ,若不能,需要利用函数的单调性求其最小值 .【自我检测】1.若 lg a+lg b=0,则 + 的取值范围为 ( )A.2 ,+ )B.(2 ,+ )C.2
4、 ,3)(3, + )D.(2 ,3)(3, + )2.已知实数 a,b,c 满足 a2+b2+c2=1,则 ab+c 的最小值为( )A.-2 B.-C. -1 D.-3.已知 xy=2x+y+2(x1),则 x+y 的最小值为 . 小题 3 线性规划问题3 (1)已知实数 x,y 满足 若 z=2x+y 的最大值和最小值分别为 m 和 n,则 m-n= . (2)已知实数 x,y 满足约束条件 若 z=ax+y 的最小值为 -8,则实数 a= . 听课笔记 4【考场点拨】含参数的线性规划问题,参数位置一般有两种形式:一是目标函数中含有参数,这时可以准确作出可行域,这类问题一般特征是其最优解
5、是可知的,因此解题时可充分利用目标函数的斜率特征加以转化;二是约束条件中含参,可行域的边界线一般有一条是动态的,所以要充分依据目标函数及最值等条件数形结合处理,有时还得进行分类讨论 .【自我检测】1.若实数 x,y 满足 则 z=-2x+y 的最小值为( )A. B.2C.-2 D.12.点 P(x,y)为不等式组 所表示的平面区域内的动点,则 的最大值为 ( )A.1 B.2C.3 D.-3.已知实数 x,y 满足 若 z=x2+y2,则 z 的最小值为 ( )A.1 B.C. D.5第 3 讲 不等式典型真题研析1.(1)8 (2) 解析 (1)由条件可得 + =1,所以 2a+b=(2a
6、+b) =4+ + 4 +2 =8,当且仅当 = ,即 b=2a 时取等号知得 a-3b=-6,由基本不等式得 2a+ 2 = = (当且仅当 a=-3b=-3 时取等号) .2.(1)9 (2)-5 解析 (1)不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示 .当直线 y=-x+z 经过点 A(5,4)时,直线的纵截距 z 最大,所以 zmax=5+4=9.(2)已知不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示 .由 z=3x-2y,得 y= x- ,当 z 最小时, -最大,故在点 A 处目标函数取得最小值 .由 解得 所以 zmin=-3-2=-5.3.216 000 解析 设生产产品 A、产品 B
7、 分别为 x 件、 y 件,利润之和为 z 元,则即 目标函数为 z=2100x+900y.作出二元一次不等式组表示的平面区域为图中阴影部分内(包括边界)的整点,即可行域 .由图可知当直线 z=2100x+900y 经过点 M 时, z 取得最大值 .解方程组 得 M 的坐标为(60,100),所以当 x=60,y=100 时, zmax=210060+900100=216 000.6考点考法探究小题 1例 1(1)A (2)(- ,1)(3, + ) 解析 (1)将 a-b0,所以 ,所以 B 错;由指数函数 y=2x为增函数,可知 2a0 恒成立, 即解得 x3 或 xb0,得 abb2成
8、立;反之,如 a=-2,b=-1,则 ab0 不成立 .所以“ abb2”是“ ab0”的必要不充分条件,故选 B.2.D 解析 由 0,即 ba0,|b|a| ,acbc, 0 成立,此时01 时, f(x)=(x-1)2. 当 x1,即 -x1 时,可得 g(x)=x+3+(x+1)2=x2+3x+4,由 g(x)2,得 -2 x 0,b0,不等式 + 恒成立,m . (a+3b) =6+ + 6 +2 =12,当且仅当 a=3b 时取等号,m 的最大值为 12.(2)正实数 a,b,c 满足 a2-ab+4b2-c=0,可得 c=a2-ab+4b2,则有 = = + -12 -1=3,当
9、且仅当 a=2b 时取等号 .当 a=2b 时, 取得最小值 3,且 c=6b2,a+b-c= 2b+b-6b2=-6b2+3b=-6 + , 当 b= 时, a+b-c 取得最大值 .【自我检测】1.A 解析 lg a+lg b=0, lg ab=0,即 ab=1, ab=2b+a2 =2 ,当且仅当 a=2b= 时取等号, + 的取值范围为2 ,+ ).2.C 解析 若 ab+c 取得最小值,则 a,b 异号,且 c1),y= ,x+y=x+ =x-1+ +1=x-1+ +32 +3=7,8当且仅当 x-1= ,即 x=3 时取等号 .小题 3例 3(1)6 (2)-2 解析 (1)作出不
10、等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示 .由 z=2x+y,得 y=-2x+z,由图可知,当直线 y=-2x+z 经过点 C 时,直线 y=-2x+z 的纵截距最大,此时 z 最大,由 解得即 C(2,-1),故 z 的最大值为 22-1=3.当直线 y=-2x+z 经过点 B 时,直线 y=-2x+z 的纵截距最小,此时 z 最小,由 解得 即 B(-1,-1),故 z 的最小值为 -2-1=-3.故 m=3,n=-3,则 m-n=3-(-3)=6.(2)作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示,且 O(0,0),A(0,1),B(2,2),C(4,0).由 z=ax+y 得 y=-ax+
11、z,易知 a0 . 当 a0 时,由图可知,当直线 y=-ax+z 经过点 O(0,0)时,直线在 y 轴上的截距最小,此时 z取得最小值,且 zmin=0,不合题意 .综上, a=-2.【自我检测】1.C 解析 作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示,由图可知,当目标函数线经过点 B 时, z 最小,由 得 B(2,2),所以 z 的最小值为 -22+2=-2,故选 C.92.A 解析 作出不等式组所表示的平面区域,如图中阴影部分所示 .易知 的几何意义为动点 P(x,y)与原点 O 的连线的斜率,由图可知,直线 OB 的斜率最大 .由 解得 即 B(2,2),则 的最大值为 1,故选
12、 A.3.D 解析 作出不等式组表示的可行域,如图中阴影部分所示 .z=x2+y2可以看作可行域内的点( x,y)到原点 O 的距离的平方 .由 得 A .因为 OA AB,所以 zmin=|OA|2= .故选 D.备选理由 例 1 是一道与不等式性质有关的开放式问题,相当于排除法,举反例就可以;例2 重点考查变式,难点是需要二次重复使用基本不等式,不少同学以为一次变式就可直接使用基本不等式得最小值,造成求最小值不成功;例 3 为线性规划实际应用问题,要据条件列出约束条件和目标函数,再按求目标函数的最值方式求解,所求得结果要有实际意义 .例 1 配例 1 使用 2018北京卷 能说明“若 ab
13、,则 0b 时, 0,则 的最小值为 . 答案 4解析 由题意得 a20,b20,ab0,所以= =4ab+ 2 =4,当且仅当 a2=2b2= 时,等号成立 .例 3 配例 3 使用 某企业可生产甲、乙两种产品 .投资生产甲产品时,每生产 100 吨需要资金 200 万元,场地 200 平方米;投资生产乙产品时,每生产 100 吨需要资金 300 万元,场地100 平方米 .若该企业现有可使用资金 1400 万元,场地 900 平方米,投资生产甲、乙两种产品,则两种产品的产量之和最大为 ( )A.467 吨 B.450 吨C.575 吨 D.600 吨解析 C 设生产甲、乙两种产品的产量分别为 x,y(单位:百吨),由题意得约束条件为求目标函数 z=x+y 的最大值 .由约束条件得可行域如图中阴影部分所示,其中 A(4.5,0),B(3.25,2.5),C .由图可得,当目标函数线经过点 B(3.25,2.5)时, z 取得最大值,故 zmax=5.75,所以两种产品的产量之和最大为 5.75100=575(吨) .故选 C.
