1、1限时集训（八）三角恒等变换与正余弦定理基础过关1.已知 sin = ,sin - cos 1,则 sin 2= ( )A. B.-C. D.-2.在 ABC中, a,b分别为内角 A,B所对的边,且 a=2 ,b=2 ,B=45,则 A= ( )A.60或 120 B.60C.30或 150 D.303.已知 sin = ,那么 cos = ( )A.- B.-C. D.4.已知 tan =-3 ,则 tan 的值是 ( )A. B.-C. D.5.已知在 ABC中,内角 A,B,C的对边分别为 a,b,c,且满足( a-b)(sin A+sin B)=(c-b)sin C,则 A= ( )
2、A. B.C. D.6.已知在锐角 ABC中,内角 A,B,C的对边分别为 a,b,c,且 + = ,则 b= ( )A. B.2C. D.7.一艘海警船从港口 A出发,以每小时 40海里的速度沿南偏东 40方向直线航行,30 分钟后到达 B处,这时候接到从 C处发出的求救信号,已知 C在 B的北偏东 65方向上,在港口A的东偏南 20方向上,则 B,C之间的距离是( )A.10 海里 B.10 海里C.20海里 D.15 海里8.已知在 ABC中,内角 A,B,C的对边分别为 a,b,c,若 2bcos B=acos C+ccos A,b=2,则ABC面积的最大值是 ( )A.1 B.2C.
3、2 D.49.在 ABC中,内角 A,B,C的对边分别为 a,b,c,若 ABC的面积为 S,且 4S=(a+b)2-c2,则sin = ( )A.1 B.-C. D.10.在 ABC中, AB=2,C= ,则 AC+ BC的最大值为( )A. B.2C.3 D.411.若 ABC的内角 A,B,C满足 sin A sin B sin C=2 3 3,则以 2B为一内角且其对边长为 2 的三角形的外接圆的面积为 . 12.在 ABC中,内角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c,若 cos 2A+3cos A=1,b=5,且 ABC的面积 S=5 ,则 ABC的周长为 . 能力提升13.若 =
4、 sin 2 ,则 sin 2= ( )A. B.-C. D.-14.已知在平面四边形 ABCD中, AB=AD=2,BC=CD, BCD=90,则四边形 ABCD的面积的最大值为( )A.6 B.2+2C.2+2 D.415.已知在 ABC中,内角 A,B,C的对边分别为 a,b,c,若 a2=b2+c2-bc,且 ABC的面积为 ,则a的最小值为 . 图 X8-116.如图 X8-1所示,在 ABC中, BC=2, ABC= ,AC的垂直平分线 DE与 AB,AC分别交于 D,E两点,且 DE= ,则 BE2= . 3限时集训(八)基础过关1.D 解析 sin = ,且 sin - cos
5、 1, cos b ,AB ,A= 60或 A=120.故选 A.3.A 解析 由题意得 cos =cos 2 - =1-2sin2 = ,所以 cos +2 =cos=-cos -2 =- .4.C 解析 tan = =-3, tan x=2, tan = = = .5.C 解析 (a-b)(sin A+sin B)=(c-b)sin C, 由正弦定理可得( a-b)(a+b)=(c-b)c,即 b2+c2-a2=bc, 由余弦定理可得 cos A= ,A (0,), A= .6.A 解析 由正弦定理和余弦定理得 + = ,化简得 b= .7.A 解析 如图所示,由已知可得, BAC=30,
6、 ABC=105,AB=20,所以 ACB=45.在 ABC中,由正弦定理可得 BC= sin 30=10 .故选 A.8.B 解析 由正弦定理得,2sin Bcos B=sin Acos C+sin Ccos A=sin(A+C)=sin( -B)=sin B,因为 B(0,),所以 cos B= ,所以 B= ,所以由余弦定理得, ac=a2+c2-42 ac-4,即 ac4,当且仅当 a=c时,等号成立,故 S ABC= acsin B .故选 B.9.C 解析 S= absin C,cos C= , 2S=absin C,a2+b2-c2=2abcos C,又 4S=(a+b)2-c2
7、=a2+b2-c2+2ab, 2absin C=2abcos C+2ab.ab 0, sin C=cos C+1. sin2C+cos2C=1, (cos C+1)2+cos2C=1,解得 cos C=-1(舍去)或 cos C=0, sin C=1,则 sin = (sin C+cos C)= .410.D 解析 由正弦定理可得, = = = =4,又 A+B= -C= ,AC+ BC=4sin B+4 sin A=4sin B+4 sin =4sin B+4 =2 cos B+10sin B=4 sin(B+ ), .B ,B+ , sin(B+ ) ,AC+ BC的最大值为 4 .11.
8、 解析 设内角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c,由题设 a=2k(k0),则 b=c=3k, cos B= = , cos 2B=2cos2B-1=- . 2B为三角形的一个内角, 2B(0,), sin 2B0, sin 2B= .设所求三角形的外接圆的半径为 R,则 =2R,解得 R= , 所求三角形的外接圆的面积为 R2= .12.9+ 解析 cos 2A+3cos A=1, 2cos2A+3cos A-2=0,解得 cos A= 或 cos A=-2(舍去) .A (0,), sin A= .又 S= 5 ,b=5, bcsin A= 5c =5 ,c= 4.由余弦定理得 a2=
9、b2+c2-2bccos A=25+16-254 =21,即 a= , ABC的周长为 5+4+=9+ .能力提升13.B 解析 由题意得 = =2(cos + sin )= sin 2 ,将上式两边同时平方,得 4+4sin 2= 3sin22 ,即 3sin22- 4sin 2- 4=0,解得 sin 2=- 或 sin 2= 2(舍去),故选 B.14.C 解析 如图所示,设 DAB= , (0,), BC=CD=x,四边形 ABCD的面积为 S,则 BD=x.在 ABD中,由余弦定理得 BD2=AB2+AD2-2ABADcos ,即( x)2=4+4-8cos = 8-8cos ,x
10、2=4-4cos ,S= 22sin + x2=2sin +2-2cos =2 sin +2, 0 , - - , 当 - = ,即当 = 时, S有最大值,且最大值为 2 +2.故选 C.515. 解析 由题意得 b2+c2-a2=bc, cos A= ,A (0,), A= . ABC的面积为, bcsin A= ,bc= 3.a 2=b2+c2-bc,a 22 bc-bc=bc=3,当且仅当 b=c时,等号成立, a .16. + 解析 由题意得, BDC=2A,所以 = = ,故 CD= .又因为 DE=CDsin A= = ,所以 cos A= ,因为 A(0,),所以 A= ,因此 ADE为等腰直角三角形,所以AE=DE= .在 ABC中, C= - - = ,所以 = ,故 AB= +1.在 ABE中, BE2=AB2+AE2-2ABAEcos A=( +1)2+ -2( +1) = + .
