1、1有理数中的数形结合思想数形结合思想是指在研究问题的过程中，由数思形，由形思数，把数形结合起来分析问题的思想方法。借助数轴，运用数形结合思想，可以解决一些有理数中的繁难问题，下面举数例，以飨读者。例 1 已知数轴上有两点 A、B，它们分别表示互为相反数的两个数 a、b（其中 ab） ，并且 A、B 两点间的距离是 8，求 a、b 两数。分析：根据互为相反数的几何意义，从而得出 A、B 两点在数轴上的位置，根据数轴上的点所表示的有理数右边的数大于左边的数，正确解决问题。解：根据相反数的定义可知，因为 A、B 到原点的距离相等，即 A、B 互为相反数，它们之间的距离是 8，所以 A、B 距原点的距
2、离都是 4，又因为 ab，所以 A 点在原点右侧距原点 4 个单位处，B 点在原点左侧距原点 4 个单位处，所以 a=4，b=-4。点评：若此题没有指明条件是 ab，则要分两种情况进行讨论，即ab 时，ab 时，分别求出 a、b 的值。例 2 有理数 a、b 满足 a0，b0 且|a|b|，用“”将 a、b、-a、-b 排列起来。分析：要比较 a、b、-a、-b 的大小，可以在数轴上找到表示这四个数的点的位置，因|a|b|，故表示数 a 的点到原点的距离比表示数 b 的点到原点的距离要近，再根据互为相反数的两个数在原点两侧，并且到原点的距离相等这一性质，在数轴上找出表示a、b、-a、-b 的位
3、置，即可知它们的大小。解：将 a、b、-a、-b 在数轴上的位置表示出来（如图所示） ，由图可知-ba-ab点评：借助数轴，运用数形结合思想，使问题化难为易。例 3 一跳蚤在一直线上从 0 点开始，第 1 次向右跳 1 个单位，紧接着第 2 次向左跳2 个单位，第 3 次向右跳 3 个单位，第 4 次向左跳 4 个单位，依此规律跳下去，当它跳第 100 次落下时，落点处离 0 点的距离是 个单位。分析：将这个跳蚤跳动的次数与位置借助数轴表示解决问题。解：将这个跳蚤跳动的次数与位置借助数轴来表示，以 0 点为原点，原点向右为正方b -a 0 a -b2向，第 1 次向右跳 1 个单位，其位置表示
4、的点为 1；紧接着第 2 次向左跳 2 个单位，其位置表示的点为-1；第 3 次向右跳 3 个单位，其位置表示的点为 2；第 4 次向左跳 4 个单位，其位置表示的点为-2，依此规律跳下去，第 6 次，第 8 次，位置的点为-3，-4，第 100 次跳后落下，其位置表示的点为-50，故此时落点处离 0 点的距离是 50 个单位。点评：借助数轴，将跳蚤的落点分别用正数和负数表示，可巧妙地求出跳蚤跳第 n 次落时，落点处离 O 点的距离。例 4 有理数 a、b、c 在数轴上的位置如图 2 所示，试化简|a+c|-|a+b+c|-|b-a|+|b+c|分析：结合数轴先判定 a+c、a+b+c、b-a、b+c 的正负，然后求绝对值、合并。解：由题意知 a+c0，a+b+c0，b-a0，b+c0则原式=-（a+c）+（a+b+c）+（b-a）-（b+c）= -a-c+a+b+c+b-a-b-c=-a+b-c点评：化简含绝对值的代数式。首先应结合数轴，判断出绝对值内代数式的正负，再去掉绝对值符号，合并同类项化简。c b 0 a图 2
