1、1.3.3 函数的最大（小）值与导数,学习目标,理解函数最值的概念，了解函数最值与极值的区别和联系，会用导数求在给定区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值.,自学导引 1最大值：如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意的xI，总有_，则称f(x0)为函数在_的最大值,f(x)f(x0),定义域上,2一般地，如果在区间a，b上的函数的图象是一条_的曲线，那么f(x)必有最大值和最小值 此性质包括两个条件： (1)给定函数的区间是_； (2)函数图象在区间上的每一点必须_函数的最值是比较整个_的函数值得出的，函数的极值是比较_的函数值得到的,连续不断,闭区间,连续不间断,定义域,极值点附近,
2、3一般地，求f(x)在a，b上的最大值与最小值的步骤如下： (1)求f(x)在(a，b)内的_；(2)将f(x)的各极值与_比较， 其中_的一个是最大值，_的一个是最小值,端点处的函数值f(a)，f(b),极值,最大,最小,要点阐释 1根据定义辨“极”“最” (1)最值的定义：设函数f(x)在区间a，b上有定义，如果a，b上有一点x0，使得对a，b上所有的x，恒有f(x)f(x0)(f(x)f(x0)，则称函数f(x)在a，b上有最大值(最小值)，最大值和最小值统称为最值，x0称为最值点,(2)极值的定义：一般地，设函数yf(x)在xx0及其附近有定义，如果f(x0)的值比x0附近所有点的函数
3、值都大，我们说f(x0)是函数yf(x)的一个极大值；如果f(x0)的值比附近所有点的函数值都小，我们说f(x0)是函数yf(x)的一个极小值，极大值与极小值统称为极值,特别提示：极值通常是指连续函数在定义域或特定局部范围内的较(极)大值和较(极)小值，在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值，请注意以下几点： (1)极值是一个局部概念，并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小,(2)若点x0是可导函数f(x)的极值点，则f(x0)0.但反过来不一定成立 (3)函数的极值不是唯一的 (4)极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值 (5
4、)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点,2利用结论“判”与“求” 结论1：极值的判别方法：当函数f(x)在点x0处连续时， (1)如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极大值； (2)如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极小值,结论2：设函数f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在a，b上的最大值与最小值的步骤为： (1)求f(x)在(a，b)内的极值点，并计算出其函数值； (2)将极值点的函数值与f(a)、f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值,结论3：若函数f(x)在闭区间a，
5、b上连续， 则f(x)在a，b上能取到最大值与最小值； 若连续函数在闭区间上只有一个极值点， 则该极值点一定是函数的最值点,课堂讲练互动,例1：求下列各函数的最值： (1)f(x)x42x23，x3，2； (2)f(x)x33x26x2，x1，1,课堂讲练互动,思路探索：先求f(x)，再令f(x)0得到相应的x的值，通过列表，确定出极值点，求极值与端点值，从而比较大小确定最值,解：(1)f(x)4x34x， 令f(x)4x(x1)(x1)0，得 x1，x0，x1. 当x变化时，f(x)及f(x)的变化情况如下表：,当x3时，f(x)取最小值60； 当x1或x1时，f(x)取最大值4.,(2)f
6、(x)3x26x63(x22x2) 3(x1)23， f(x)在1，1内恒大于0， f(x)在1，1上为增函数 故x1时，f(x)最小值12； x1时，f(x)最大值2. 即f(x)的最小值为12，最大值为2.,例2：已知函数f(x)ax36ax2b在区间1,2上的最大值是3，最小值是29，求a，b的值,解：f(x)3ax212ax3ax(x4)， 在区间1,2上，令f(x)0，得x0， 由题知a0. 当a0时，函数f(x)在x0处取得极大值， 比较f(1)，f(2)，得f(0)f(1)f(2)， 所以f(0)3，f(2)29， 解得a2，b3；,当a0时，函数f(x)在x0处取得极小值， 且
7、f(0)f(1)f(2)， 所以f(0)29，f(2)3， 解得a2，b29.,例3：设函数f(x)tx22t2xt1(xR，t0) (1)求f(x)的最小值h(t)； (2)若h(t)2tm对t(0，2)恒成立，求实数m的取值范围,解：(1)f(x)t(xt)2t3t1 (xR，t0)， 当xt时， f(x)取最小值f(t)t3t1， 即h(t)t3t1.,(2)令g(t)h(t)(2tm)t33t1m， 由g(t)3t230得t1，t1(不合题意，舍去) 当t变化时g(t)、g(t)的变化情况如下表：,对t(0，2)，当t1时，g (t) max1m， h(t)1.,课堂总结 1正确理解函数的极值与最值概念，弄清它们的区别与联系 2闭区间上的连续函数一定有最大值和最小值，开区间上的连续函数不一定有最大值和最小值 3求函数的最值以导数为工具，先找到极值点，再求极值和区间端点函数值，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.,
