1、3.3 导数在研究函数中的应用 3.3.1 函数的单调性与导数,新知探求,课堂探究,新知探求 素养养成,知识点一,问题1:如果一条曲线是逐渐上升的,那么曲线上各点的切线的斜率有何特点? 答案:曲线上各点的切线的斜率均大于零. 问题2:切线的斜率的正负,能说明导数的符号吗? 答案:根据导数的几何意义知当切线的斜率为正时,其导数也为正;同理,当切线的斜率为负时,其导数也为负. 问题3:在某个区间(a,b)内,“f(x)0”是f(x)在这个区间内单调递增的什么条件? 答案:充分不必要条件.,函数的单调性与其导函数正负的关系,梳理 一般地,函数的单调性与其导函数正负有如下关系: 若函数y=f(x)在某
2、个区间(a,b)内可导,则 (1)若f(x)0,则f(x)在这个区间内 ; (2)若f(x)0,则f(x)在这个区间内 ; (3)若f(x)=0,则f(x)在这个区间内是 .,单调递增,单调递减,常数函数,知识点二,梳理 一般地,如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么函数在这个范围内变化得快,这时,函数的图象就比较“陡峭(向上或向下)”;反之,函数的图象就“平缓”一些.,函数的变化快慢与导数值的关系,名师点津:用导数求函数的单调区间的“三个方法” (1)当方程f(x)=0可解时, 确定函数y=f(x)的定义域; 求导数y=f(x),令f(x)=0,解此方程,求出在定义区间内的一切实根;
3、 把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来,然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间; 确定f(x)在各个区间内的符号,根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性.,(2)当不等式f(x)0(或f(x)0,解集在定义域内的部分为单调递增区间; 解不等式f(x)0(或f(x)0)及方程f(x)=0均不可解时, 确定函数y=f(x)的定义域; 求导数并化简,根据f(x)的结构特征,选择相应基本初等函数,利用其图象与性质确定f(x)的符号; 得单调区间.,题型一,利用导数判断函数的单调性,课堂探究 素养提升,【例1】 设函数f(x)=x
4、3-3ax2+3bx的图象与直线12x+y-1=0相切于点(1,-11). (1)求a,b的值;,(2)讨论函数f(x)的单调性.,解:(2)由(1)得 f(x)=3x2-6ax+3b=3(x2-2x-3)=3(x+1)(x-3). 令f(x)0,解得x3; 又令f(x)0,解得-1x3. 故当x(-,-1)时,f(x)是增函数; 当x(3,+)时,f(x)也是增函数; 当x(-1,3)时,f(x)是减函数.,方法技巧 导数法判断或证明函数f(x)在(a,b)内的单调性的步骤 (1)求定义域; (2)求f(x); (3)确定f(x)在(a,b)内的符号; (4)作出结论:f(x)0时为增函数;
5、f(x)0时为减函数.,题型二,求函数的单调区间,(2)y=ln(2x+3)+x2.,方法技巧 (1)求函数单调区间的步骤是:先确定定义域,再求出f(x),最后通过f(x)0和f(x)0来求出单调区间. (2)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个时,这些单调区间中间不能用“”连接,而只能用“逗号”隔开或用“和”字连接.,题型三,根据函数的单调性求参数范围,【例3】 已知函数f(x)=x3-ax-1. (1)若f(x)在区间(1,+)内为增函数,求a的取值范围;,解:(1)f(x)=3x2-a. 依题意,f(x)=3x2-a0在(1,+)上恒成立, 即a3x2在(1,+)上恒成立, 因为
6、g(x)=3x2在(1,+)上单调递增, 所以a3, 即a的取值范围是(-,3.,(2)若f(x)的单调递减区间为(-1,1),求a的取值;,(3)若f(x)在区间(-1,1)上不单调,求a的取值范围.,方法技巧 已知函数单调性,求参数范围的两个方法 (1)利用集合间的包含关系处理:y=f(x)在(a,b)上单调,则区间(a,b)是相应单调区间的子集. (2)转化为不等式的恒成立问题来求解:即“若函数单调递增,则f(x)0;若函数单调递减,则f(x)0”.,题型四,函数的图象与导数值的关系,【例4】 已知函数y=f(x)的图象是如图四个图象之一,且其导函数y=f(x)的图象如图所示,则该函数的
7、图象是( ),解析:由函数y=f(x)的导函数y=f(x)的图象知f(x)的图象是上升的,且先由“平缓”变“陡峭”,再由“陡峭”变“平缓”.观察图象可得B正确.故选B.,方法技巧 函数的图象与导数值的关系 (1)当f(x)0时,f(x)图象上升;当f(x)0时,f(x)图象下降. (2)当|f(x)|越大,f(x)图象越“陡峭”;当|f(x)|越小,f(x)图象越“平缓”.,即时训练4:已知函数y=f(x)的导函数f(x)=ax2+bx+c的图象如图所示,则y=f(x)的图象可能是( ),解析:当x0时,由导函数f(x)=ax2+bx+c的图象可知,导数在区间(0,x1)内的值是大于0的,则在此区间内函数f(x)单调递增.只有D选项满足题意.故选D.,题型五,易错辨析求单调区间时忽视定义域致误,错解:(-,1) 纠错:忽视函数的定义域为(-,0)(0,+).,答案:(-,0),(0,1),学霸经验分享区,利用导数研究函数单调性的方法 (1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号,当f(x)含参数时,需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论. (2)若可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减),求参数范围问题,可转化为f(x)0(或f(x)0)恒成立问题,从而构建不等式,要注意“=”是否可以取到.,谢谢观赏！,
