1、2.4.2 求函数零点近似解的一种计算方法二分法,目标导航,新知探求,课堂探究,新知探求素养养成,点击进入 情境导学,知识探究,1.零点的存在性、变号零点与不变号零点 (1)如果函数y=f(x)在一个区间a,b上的图象不间断,并且在它的两个端点处的函数值异号,即f(a)f(b)0,则这个函数在这个区间上 .,即 . (2)如果函数图象通过零点时 ,则称这样的零点为 . (3)如果函数图象通过零点时 ,则称这样的零点为 .,至少有一个,零点,存在一点x0(a,b),使f(x0)=0,穿过x轴,变号零点,没有穿过x轴,不变,号零点,2.用二分法求函数零点的一般步骤 已知函数y=f(x)定义在区间D
2、上,求它在D上的一个零点x0的近似值x,使它满足给定的精确度.用二分法求函数零点的一般步骤. (1)在D内取一个闭区间a0,b0D,使f(a0)与f(b0) ,即 ,零点位于区间a0,b0中. (2)取区间a0,b0的中点,则此中点对应的坐标为x0= . 计算f(x0)和f(a0).并判断: 如果 ,则x0就是f(x)的零点,计算终止; 如果 ,则零点位于区间a0,x0中,令a1=a0,b1=x0; 如果 ,则零点位于区间x0,b0中,令a1=x0,b1=b0.,异号,f(a0)f(b0)0,f(x0)=0,f(a0)f(x0)0,f(a0)f(x0)0,(3)取区间a1,b1的中点,则此中点
3、对应的坐标为x1= . 计算f(x1)和f(a1).并判断: 如果 ,则x1就是f(x)的零点,计算终止; 如果 ,则零点位于区间a1,x1上,令a2=a1,b2=x1; 如果 ,则零点位于区间x1,b1上,令a2=x1,b2=b1. 继续实施上述步骤,直到区间an,bn,函数的零点总位于区间an,bn上,当区间的长度bn-an不大于给定的精确度时,这个区间an,bn中的任何一个数都可以做为函数y=f(x)的近似零点,计算终止.,f(x1)=0,f(a1)f(x1)0,f(a1)f(x1)0,【拓展延伸】 二分法的理解 (1)所谓二分法就是通过不断的把函数零点所在区间一分为二,使区间的两个端点
4、逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法,它体现极限逼近的思想. (2)用二分法求方程近似解应注意的问题为 看清题目的精确度,它决定着二分法步骤的结束. 根据f(a0)f(b0)0确定初始区间,高次方程要先确定有几个解再确定初始区间. 初始区间的选定一般在两个整数间,不同初始区间结果是相同的,但分的次数相差较大. 取区间中点c计算中点函数值f(c),确定新的零点区间.直至所取区间an,bn中,an与bn按精确度要求取值相等.这个相等的近似值即为所求零点的近似解.,自我检测,1.已知函数y=f(x)的图象在区间a,b上是连续不断的,且满足f(a)f(b)0 (a,bR,ab),则函数f(x)在(a
5、,b)内( ) (A)无零点 (B)有且只有一个零点 (C)至少有一个零点 (D)无法确定有无零点,C,解析:根据零点存在性定理,函数在区间a,b两端点的函数值异号时,函数在(a,b)内至少有一个零点,故选C.,2.下列图象与x轴均有交点,其中不能用二分法求函数零点的是( ),A,解析:只有A中函数零点不是变号零点.,3.(2018北京市海淀中关村中学高一上期中)已知定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的,且有如下对应值表:那么函数f(x)一定存在零点的区间是( ) (A)(-,1) (B)(1,2) (C)(2,3) (D)(3,+),解析:定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的,由
6、表知满足f(2)f(3)0,根据零点存在定理可知f(x)在(2,3)一定存在零点.故选C.,C,4.若函数f(x)=2x2+x+a有不变号零点,则a的值为 .,类型一,判断零点的特点,课堂探究素养提升,【例1】 分别求出下列函数的零点,并指出是变号零点还是不变号零点. (1)f(x)=3x-6; (2)f(x)=x2-x-12; (3)f(x)=x2-2x+1; (4)f(x)=(x-2)2(x+1)x.,解:(1)零点是2,是变号零点. (2)零点是-3和4,都是变号零点. (3)零点是1,是不变号零点. (4)零点是-1,0和2,其中变号零点是0和-1,不变号零点是2.,方法技巧 图象连续
7、不间断的函数f(x)在a,b上,若f(a)f(b)0,则函数f(x)在该区间上至少有一个变号零点,也就是可能有多个变号零点,还可能有不变号零点,但至少有一个变号零点是肯定的.这一结论可直接应用于函数变号零点判定之中.,变式训练1-1:下列图象表示的函数中能用二分法求零点的是( ),解析:二分法适合求变号零点.故选A.,类型二,用二分法求函数的零点,思路点拨:对函数f(x)的解析式进行分解因式或用试根法,求出对应方程的最大根,确定初始区间,用二分法求出根的近似值. 解:因为f(x)=x5-x3-3x2+3 =x3(x2-1)-3(x2-1) =(x+1)(x-1)(x3-3), 所以f(x)最右
8、边的一个零点的横坐标就是方程x3-3=0的根. 令g(x)=x3-3,以下用二分法求函数g(x)的零点. 由于g(1)=1-3=-20, 故可取(1,2)作为计算的初始区间,列表如下:,【例2】 求函数f(x)=x5-x3-3x2+3最右边的一个零点.(精确到0.01),因为|1.445 312 5-1.437 5|=0.007 812 50.01, 所以方程x3=3的根的近似值可取为1.44. 故函数f(x)最右边的一个零点的近似值为1.44.,方法技巧 求函数f(x)最右边的一个零点,就是求方程f(x)=0的最大根.可以通过试根法、分解因式法、函数图象法,发现其最大根的特点,然后转化为求另
9、一个方程的根.,变式训练2-1:若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算,其参考数值如下:那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似根(精确到0.1)为 .,解析:由表知,f(1.375)f(1.437 5)0,故方程的根x0(1.375,1.437 5),且|1.437 5-1.375|=0.062 50.1, 故x01.4. 答案:1.4,类型三,易错辨析,【例3】 用二分法求方程x2-3=0的一个近似正解,要求精确到0.1.,错解:因为f(1)=-20,f(1)f(2)0,所以x01,2. 取区间1,2的中点x1=1.5, f(1.5)=-0.750,
10、因为f(1.5)f(2)0,所以x01.5,2. 取区间1.5,2的中点x2=1.75, f(1.75)=0.062 5,因为0.062 50.1, 所以原方程的近似解可取为1.75. 纠错:错解在于理解精确度不正确,精确度满足的关系式为|a-b|, 错解中认为是|f(x)|, 并且精确到0.1也误取成了小数点后两位.,正解:因为f(1)=-20,f(1)f(2)0,所以x01,2. 取区间1,2的中点x1=1.5,f(1.5)=-0.750, 因为f(1.5)f(2)0,所以x01.5,2. 取区间1.5,2的中点x2=1.75,f(1.75)=0.062 5, 因为f(1.5)f(1.75)0,所以x01.5,1.75. 取区间1.5,1.75的中点x3=1.625,f(1.625)=-0.359 375, 因为f(1.625)f(1.75)0,所以x01.625,1.75. 取区间1.625,1.75的中点x4=1.687 5,f(1.687 5)=-0.152 343 75, 因为f(1.687 5)f(1.75)0,所以x01.687 5,1.75. 因为|1.75-1.687 5|=0.062 50.1, 所以原方程的近似解可取为1.7.,谢谢观赏！,
