1、1.1.2瞬时速度与导数,平均变化率的概念：,一般地，已知函数y=f(x)，x0，x1是其定义域内不同的两点,则当x0时，商 称作函数y=f(x)在区间x0，x0+x (或x0+x，x0)的平均变化率。,记x=x1x0,=f(x0+x)f(x0).,则y=y1y0,=f(x1)f(x0),1.式子中x 、y的值可正、可负，但x值不能为0， y 的值可以为0；,2 变式,平均变化率,O,x,y,y=f(x),B,A,引例,即为物体运动的平均速度。,问题情境:,跳水运动员从10m高跳台腾空到入水的过程中，不同时刻的速度是不同的。假设t 秒后运动员相对于水面的高度为H(t)=-4.9t2+6.5t+
2、10,试确定t=2s时运动员的速度。,(1)计算运动员在2s到2.1s(t2,2.1)内的平均速度。,(2)计算运动员在2s到2+t s(t2,2+t)内的平均速度。,时间区间 t 平均速度 1.9，2 0.1 -12.61 1.99,2 0.01 -13.051 1.999,2 0.001 -13.0951 1.9999,2 0.0001 -13.09951 1.99999,2 0.00001 -13.099951,该常数可作为运动员在2s时的瞬时速度。,设物体作直线运动所经过的路程为s=h(t)。以t0为起始时刻，物体在t时间内的平均速度为,就是物体在t0时刻的瞬时速度，即,所以当t0时，
3、比值,瞬时速度,函数的瞬时变化率：,函数y=f(x)，在x0及其附近有意义，自变量在x=x0附近改变量为x,平均变化率为,f(x0+x)f(x0).,则函数值相应的改变y=,常数,常数 称为函数f(x)在点x0的瞬时变化率,上述过程记作,即,如果函数 f(x)在开区间 (a,b) 内每一点都可导，就说f(x)在开区间 (a,b)内可导这时，对于开区间 (a,b)内每一个确定的值 x，都对应着一个确定的导数 这样就在开区间(a,b)内构成了一个新的函数，我们把这一新函数叫做 f(x) 在开区间(a,b)内的导函数，简称为导数，记作,例1.求y=x2在点x=1处的导数,解：,由定义求导数（三步法）
4、,步骤:,变式1.求y=x2+2在点x=1处的导数,解：,（求极限时，若经整理后分母不含 ，则令其为0即可）,练习：(1)求函数y=x2在x=1处的导数;(2)求函数 在x=2处的导数.,例1火箭竖直向上发射，熄火时向上的速度达到100m/s，试问熄火后多长时间火箭向上的速度为0？,解：火箭的运动方程为h(t)=100t gt2，,在t附近的平均变化率为,=100gt gt。,当t0时，上式趋近于100gt。 可见t时刻的瞬时速度h(t)=100gt。,令h(t)=100gt=0，解得,所以火箭熄火后约10.2s向上的速度变为0.,例3. 求函数y=x2在点x=3处的导数。,解：因为y=(3+
5、x)232=6x+(x)2.,所以,=6+x，,令x0，,6,所以函数y=x2在点x=3处的导数为6.,例4质点M按规律s(t)=at2+1作直线运动，若质点M在t=2时的瞬时速度为8m/s，求常数a的值。,解：因为s=a(t+t)2+1(at2+1)=2att+a(t)2，,所以 =2at+at，,当t0时，s=2at，,由题意知t=2时，s=8，即4a=8，解得a=2.,例5已知y=ax2+bx+c，求y及y|x=2。,解：y=a(x+x)2+b(x+x)+c(ax2+bx+c)=(2ax+b)x+a(x)2，,=(2ax+b)+ax，,当x0时，y= 2ax+b，,当x=2时，y|x=2
6、=4a+b。,练习题,1一物体的运动方程是s=3+t2，则在一小段时间2, 2.1内相应的平均速度为（ ）A0.41 B3 C4 D4.1,D,2设y=f(x)函数可导，则等于（ ）Af (1) B不存在 C f (1) D3f (1),C,3设 ，则 等于（ ）A B C D,C,4若f(x)=x3，f (x0)=3，则x0的值是（ ）A1 B1 C1 D,C,5设函数f(x)=ax3+2，若f (1)=3，则a=_。,1,6函数y=2mx+n的瞬时变化率是 .,2m,7函数 在x=1处的导数是.,小结： 函数的瞬时变化率、导数 函数f(x)在x0处的瞬时变化率就是在x=x0处的导数 求导数的一般步骤,
