1、导数及其应用,1.3.1 函数的单调性与导数,观察下列图象的单调区间, 并求单调区间相应的导数.,图象是单调上升的.,图象是单调上升的.,函数的单调性与其导函数正负的关系:,当函数y=f (x)在某个区间内可导时，如果 , 则f (x)为增函数；如果 , 则f (x)为减函数。,例1、已知导函数 的下列信息： 当14,或x1时， 当x=4,或x=1时， 试画出函数f(x)图象的大致形状。,4,1,解：由题意可知,其图象的大致形状如图。,例2、判断下列函数的单调性，并求出单调区间：,(1) f(x)=x3+3x ;,解： =3x2+3=3(x2+1)0,从而函数f(x)=x3+3x 在xR上单调
2、递增， 见右图。,(2) f(x)=x2-2x-3 ;,解： =2x-2=2(x-1)0,图象见右图。,当 0，即x1时，函数单调递增；,当 0，即x1时， 函数单调递减；,(3) f(x)=sinx-x ; x(0,p),解： =cosx-10,从而函数f(x)=sinx-x 在x(0,)单调递减， 见右图。,(4) f(x)=2x3+3x2-24x+1 ;,解： =6x2+6x-24=6(x2+x-4)0,当 0， 即 时，函数单调递增；,图象见右图。,当 0， 即 时，函数单调递减；,练习1:确定下列函数的单调区间:f(x)=x2-2x+4 f(x)=3x-x3,x1时，函数单调递增。,
3、x1时，函数单调递减， -1x1时，函数单调递增。,练习2:确定下面函数的单调区间:f(x)=x/2+sinx;,解: (1)函数的定义域是R,令 ,解得,令 ,解得,因此,f(x)的递增区间是:递减区间是:,解:函数的定义域是(-1,+),练习3、确定下面函数的单调区间：f(x)=x/2-ln(1+x)+1,由 即,解得x1.,故f(x)的递增区间是(1,+);,由 解得-1x1,故f(x)的递减区间是(-1,1).,求函数的单调区间的一般步骤:,(1) 求出函数 f(x)的定义域A；,(2) 求出函f(x)数的导数 ；,(3)不等式组 的解集为f(x)的单调增区间；,(4)不等式组 的解集为f(x)的单调减区间；,例3、如图，水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象。,求函数的单调区间的一般步骤,小 结:,函数的单调性与其导函数正负的关系,
