1、复数的概念,(1)计算：1-3(2)解方程3x20(3)解方程x220,在自然数集内无解,添加负整数，在整数集内1-3=2,数集是怎样扩充到实数集的？,问题情境,在整数集内无解添加分数，在有理数集内方程的根为,在有理数集内无解添加无理数，在实数集内方程的根为,解方程x2+1=0,在实数集中无解!,古希腊数学家丢番图(Diophantus(约公元246-330年，在算术讨论了有些二次方程无解. 印度数学家婆什迦罗(Bhaskara ,1114-约1185) 第一个遇到“x2+1=0”的人，当时他认为无意义.,1484年,法国数学家舒开遇到解二次方程4+x2=3x的问题.,他认为这样的解是不可能的
2、事.,走近大师,卡丹（Girolamo Cardan15011576） :负数开平方是不 可思议的“诡辩量”,1545年卡丹将10分成两部分，使两者的乘积等于40,解方程x2-10x+40=0,他用自己的卡丹公式求解x3=15x+4也绕不过负数开平方的困惑. 方程16+x2 +x3=24x等价为(x-4)(x2 +5x-4)=0，其方程有三个实根，而用卡丹公式求解过程有负数开平方.那么，这样的方程究竟是有解还是无解呢？,笛卡尔（Descarts; 1596 1650）：负数开平方的数叫虚数,1637年，法国哲学家、数学家笛卡尔正式开始使用“实的数”、“虚的数”这两个名词后来，“虚数”传开了。,
3、欧拉（ Leonard Euler, 1707 - 1783 ）：规定i为虚数单位，即 i2 = -1,1732年，瑞士大师 欧拉给出了三次方程x3+px+q=0(p0,q0) 的三个根的一般公式，解决了卡丹公式不能解决的问题. 1777年，欧拉首次用imaginary（虚的）的第一个字母i表示 “-1”的一个平方根，于是虚数符号i正式诞生了.,1747年法国数学家、哲学家达朗贝尔将实数a和数i相加记为: a+i；把实数b与数i相乘记作: bi；i与实数进行四则运算后,都可以统一为: a+bi (a,bR).将这些虚数 加入实数集,得到一个新的 数集: C=a+bi|a,bR,达朗贝尔（Jea
4、n le Rond dAlembert;17171783） ：虚数统一形式为a+bi,问题解决,x2=2,x2=-1,规定：,规定：i2 =-1,可以与其它数进行四则运算,在进行四则运算时,原有的加法与乘法的运算律(包括交换律、结合律和分配律)仍然成立.,i可以与实数进行四则运算,在进行四则运算时,原有的加法与乘法的运算律(包括交换律、结合律和分配律)仍然成立.,08:40,复数的概念,1、定义:形如a+bi（aR，bR）的数叫复数,其中i叫虚数单位.,2、把数集a+bi|a,bR称为复数集，用字母”C“表示,08:40,高斯（Gauss; 1777 1855）: 复数，复平面,1799年德国
5、数学家高斯证明了代数基本定理（n次复系数多项式方程在复数域内有且只有n个根），复数在人们心目中才得到巩固。1806年，高斯也发现并公布了虚数的图象法，1831年给出了复数的几何表示.只有给出了复数的几何表示，人们才真正感觉到了复数的存在，才心安理得的接受了复数。他在1832年首先使用并提出了“复数”这个名词. 从1484年到1832年，在几百年内，经过许多数学家的长期努力，终于揭开了“虚数”的神秘面纱，显出它们的庐山真面目“虚数不虚”,最美公式虚数不虚,欧拉公式,欧拉（ Leonard Euler, 1707 - 1783 ）读读欧拉,他是所有人的老师,傅里叶变换,约瑟夫傅里叶( Joseph
6、 Fourier，1768 1830),一点都不夸张的说，没有傅里叶变换就没有现代通信技术，进一步说就没有现代文明！,薛定谔方程,薛定谔方程是世界原子物理学文献中应用最广泛、影响最大的公式。由于对量子力学的杰出贡献，薛定谔获得1933年诺贝尔物理奖.,埃尔温薛定谔(Erwin Schrdinger，18871961),用z表示复数, 即z = a + bi (a,bR) 叫做复数的代数形式 (algebraic form of complex),复数的代数形式：,规定: 0i=0,0+bi=bi,问1 复数z1=a+bi (a,bR)和z2=c+di(c,dR)相等要满足什么条件？,问题2 说
7、明下列数是否是虚数，并说明各数的实部与虚部,复数的分类：,虚数,b0,纯虚数,a=0且b0,实数0,a=b=0,实数,b=0,问题3 有下列命题： （1）若a、b为实数，则 z=a+bi 为虚数 （2）若b为实数，则 z=bi 必为纯虚数 （3）若a为实数，则 z= a 一定不是虚数 其中真命题的个数为（ ） （A）0 （B）1 （C）2 （D）3,B,例题 实数m取什么值时，复数z=m+1+(m-1)i是 （1）实数; （2）虚数; （3）纯虚数.,解: (1)当m-1=0，即 m=1时，复数z 是实数,(2)当m-10，即m1时，复数z 是虚数,(3)当m+1=0，且m-10，即m=-1时，复数z 是纯虚数,关键:确定分类标准,当m为何实数时，复数 Z=m2+m-2+(m2-1)i 是 (1)实数; (2)虚数; （3)纯虚数 ; (4) 0.,问题4,复数集、实数集、虚数集和纯虚数集之间关系,08:40,z = a + bi,(a,bR),复数的分类,当b=0时z为实数;,当b0时z为虚数,(此时,当a =0时z为纯虚数).,复数的相等,a+bi=c+di,(a, b,c,dR),课堂小结,作业:,1.课本练习.2.思考复数的几何意义.3.复数能不能比较大小？请说明理由.,
