1、第一节 变化的快慢与变化率,引言,为了描写运动变化着的现象，我们引入了函数， 刻画静态的数与动态的函数都是数学中很重要的概 念，随着对函数的研究的不断深化，产生了微积分， 它是数学发展史上继欧式几何后的又一个具有划时 代意义的伟大创造，被誉为数学史上的里程碑。而导数，是微积分的核心概念之一，它是研究 函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题的最一 般、最有效的工具。本章我们将讨论导数的产生及其运算。,问题：,物体从某一时刻开始运动，设 表示此物体经过 时间 走过的路程，显然 是时间 的函数，表示为。在运动过程中，测得如下数据：,物体在02s和1013s这两段时间内，哪一段时 间运动得快？,分析：
2、比较运动的快慢，一般用平均速度来刻画。,在02s内，平均速度为：,在1013s内，平均速度为：,显然，在这两段时间内，后一段时间比前一段 时间运动得快些。,从时间 到 时，物体的路程从 变为 ， 这段时间内的平均速度为：,用一段时间内物体的平均速度,来刻画物体运动的快慢,记为,函数值变化量，记作s,自变量变化量，记作t,某病人吃完药，他的体温变化如图示：,比较时间 从0到20min和从20到30min体温的 变化情况，那段时间体温变化较快？如何刻画体温 变化的快慢？,分析：,时间从0变到20min时，单位时间的体温平均变化 率为：,从20变到30min时，平均变化率为：,显然，绝对值大，下降
3、的越快，即后一段时间降 得快。,用一段时间内体温的平均变化率,刻画体温变化的快慢,时间从 变为 时，体温从 变为 ，,体温的平均变化率,函数值变化 量y,自变量变化 量x,概括,函数 ，自变量从 变为 时，函数的 平均变化率为：,我们用它来刻画函数在区间 上，函数 值变化的快慢。,实际中，我们还要考虑物体的瞬间速度，如汽车 在某时刻的速度，它与平均速度有关系么？,例1 一小球从高空自由落下，其路程s与时间t的 函数关系为试估计小球在t=5s这个时刻的瞬时速度。,分析：,由公式可知：从5s到6s球的平均速度为：,为提高精确度，可以将时间间隔缩小至0.1， 0.01，0.001,当时间 时，平均速
4、度,所以小球在 的瞬时速度为 。,即：若球保持这一刻的速度运动，每秒将运动。,分析：,我们用 到 的平均线密度来估计处合金棒的线密度。,同样地，为了提高精确度，可取原长度的 ， ，,所取长度越小，则平均线密度就越接近合金棒 在 m处的线密度。,解：,（ ）,概括,思考：瞬时变化率与平均变化率有什么关系？,对于函数 ，在自变量 从 变到 时， 函数的平均变化率为：,动手做一做,1. 求 在 到 之间的平均变化率。,2. 求 在 到 之间的平均变化率。,3. 一物体作直线运动，其位移 与时间 的函数关 系是 ，求此物体 到 时的平均速度和 时刻的瞬时速度。, 函数 的平均变化率：,刻画在区间 上，函数值变化的快慢。, 函数 在 处的瞬时变化率：,
