1、 综合法和分析法，是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题时常用的思维方式.2.2.1综合法和分析法不等式： (a0,b0)的证明 .回忆一、综合法例：已知 a0,b0, 求证 a(b2+c2)+b(c2+a2)4abc应用不等式 x2+y22xy就能实现转化，不等式的基本性质是证明的依据 . b2+c2 2bc,a0 a(b2+c2) 2abc.又 c2+b2 2bc,b0 b(c2+a2) 2abc. a(b2+c2)+b(c2+a2) 4abc.证明 :探究这些证明过程有什么相似点？这些证明过程都是从已知条件和某些数学定义、公理、定理等出发，通过推理推导出所要的结论 .一般地，
2、利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等 ,经过一系列的推理论证 ,最后推导出所要证明的结论成立 ,这种证明方法叫做 综合法 .其特点是 “由因导果 ”.一、综合法则综合法可用框图表示如下：用 P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等 ,Q表示所要证明的结论 .你能用框图表示综合法吗？在 ABC中，三个内角 A、 B、 C对应的边分别为 a、 b、 c，且 A、 B、 C成等差数列， a、 b、 c成等比数列，求证 ABC为等边三角形将 A， B， C成等差数列，转化为符号语言就是 2B=A+C；例题此时，如果能把角和边统一起来，那么就可以进一步寻找角和边之间的关系，进而判断三角形的形状，余弦
3、定理正好满足要求 .于是，可以用余弦定理为工具进行证明 .a， b， c成等比数列转化为符号语言就是A， B， C为 ABC的内角，这是一个隐含条件，即 A+B+C=180；证明：由 A， B， C成等差数列，有 2B=A+C. 因为 A， B， C为 C的内角 ,所以 + + =180. 由 a， b， c成等比数列，有由 ，得 ，得由 ，得由余弦定理及 ，可得再由 ，得即因此 a=c.从而 A=C. 由 ,得 所以 C为等边三角形 .注意解决数学问题时，往往要先做语言的转换，如把文字语言转换成符号语言，或把符号语言转换成图形语言等 .还要通过细致的分析，把其中的隐含条件明确表示出来 .不等
4、式： (a0,b0)的证明 .动动脑大家想一想，除了综合法，还有别的证明方法吗？二、分析法证明 :要证只需证 :只需证 :只需证 :因为 : 成立所以 成立类比综合法，你能分析一下这个证明的思考过程和特点吗？不等式： (a0,b0)的证明 .要证明结论成立，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件 (已知条件、定理、定义、公理等 )为止 .这类证法的特点是 :这就是另一种证明方法 分析法 .一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、
5、定义、公理等）为止，这种证明的方法叫做 分析法 特点： 执果索因 .二、分析法类似综合法，我们也可以后框图来表示分析法：得到一个明显成立的结论分析法的适用范围：当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接，证明中需要用哪些知识不太明确具体时，往往采用从结论出发，结合已知条件，逐步反推，寻求使当前命题成立的充分条件的方法 .注意分析从待证不等式不易发现证明的出发点，因此我们直接从待证不等式出发，分析其成立的充分条件 .例题证明：只需证展开得只需证因为 和 都是正数，所以要证只需证2125.因为 2125成立，所以 成立 .反思在本例中，如果我们从 “2125”出发，逐步倒推回去，就可以用综合法证出结
6、论 .但由于我们很难想到从 “2125”入手，所以用综合法比较困难 .请对综合法与分析法进行比较，说出它们各自的特点 .回顾以往的数学学习，说说你对这两种证明方法的新认识 .综合法就是利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等 ,经过一系列的推理论证 ,最后推导出所要证明的结论成立 .分析法最大的特点就是执果索因 .注意事实上，在解决问题时，我们把综合法和分析法结合起来使用：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论 ；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论 .若由 可以推出 成立，就可以证明结论成立 .1.综合法的概念： 一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等 ,经过一系列的推理
7、论证 ,最后推导出所要证明的结论成立 ,这种证明方法叫做 综合法 .小结2.分析法的概念 : 一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明的方法叫做 分析法 3.分析法的适用范围 ： 当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接，证明中需要用哪些知识不太明确具体时，往往采用从结论出发，结合已知条件，逐步反推，寻求使当前命题成立的充分条件的方法 .4.在证明数学问题时，通常把综合法和分析法结合起来使用 . 证明： a， b， c为不相等正数，且 abc=1,提示 此题采用综合法 .1.已知 a， b， c为不相等正数，且 abc=1,求证 ：练一练练一练练习2.如图 ,SA 平面 ABC,AB BC,过 A作 SB的垂线 ,垂足为 E,过 E作 SC的垂线 ,垂足为 F,求证 AF SC.FESCBA提示此题采用分析法 .证明 :要证 AF SC只需证 :SC 平面 AEF只需证 :AE SC只需证 :AE 平面 SBC只需证 :AE BC只需证 :BC 平面 SAB只需证 :BC SA只需证 :SA 平面 ABC因为 :SA 平面 ABC成立所以 . AF SC成立FESCBA习题答案
