1、2.2 直接证明与间接证明,2.2.2 反 证 法,复习,1.直接证明的两种基本证法：,综合法和分析法,2.这两种基本证法的推证过程和特点：,由因导果,执果索因,3、在实际解题时，两种方法如何运用？,通常用分析法寻求思路，再由综合法书写过程,综合法,已知条件,结论,分析法,结论,已知条件,（1）如果有5只鸽子飞进两只鸽笼，至少有3只 鸽子在同一只鸽笼，对吗？,（2）A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C 说A、B都撒谎。则C在撒谎吗？为什么？,分析:假设C没有撒谎, 则A、B都撒谎.,由A撒谎, 知B没有撒谎.,那么假设C没有撒谎不成立,则C必定是在撒谎.,这与B撒谎矛盾.,思考？,把这
2、种不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法称为间接证明,注：反证法是最常见的间接证法，,一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），,经过正确的推理，,最后得出矛盾。,因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，,这样的证明方法叫做反证法。,理论,反证法的证明过程：,否定结论推出矛盾肯定结论， 即分三个步骤：反设归谬存真,反设假设命题的结论不成立；,存真由矛盾结果，断定反设不成立，从而肯定原结论成立。,归谬从假设出发，经过一系列正确的推理， 得出矛盾；,用反证法证明命题的过程用框图表示为：,肯定条件 否定结论,导 致 逻辑矛盾,反设不成立,结论 成立,例1 求证： 是无理数。,例2证明：1, ,2不能为同一等差数列的三项。,例3 求证：过一点与一平面垂直的直线只有一条。,例4 设a为实数，f(x)= . 求证：|f(1)|与|f(2)| 中至少有一个 不小于 。,归纳总结：,三个步骤：反设归谬存真,归缪矛盾： （1）与已知条件矛盾； （2）与已有公理、定理、定义矛盾； （3）自相矛盾。,（1）直接证明有困难,正难则反!,归纳总结：,哪些命题适宜用反证法加以证明？,牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”,（3）唯一性命题,（2）否定性命题,（4）至多，至少型命题,
