1、数学归纳法,（结论一定可靠，但需逐一核对，实施较难）,（结论不一定可靠，但有利于发现问题，形成猜想）,（1）完全归纳法：考察全体对象，得到一般结论的推理方法。,（2）不完全归纳法,考察部分对象,得到一般结论的推理方法。,归纳法分为 完全归纳法 和 不完全归纳法。,如何解决不完全归纳法 存在的问题呢？,必须寻找一种用有限个步骤，就 能处理完无限多个对象的方法。,归纳法,在数学研究中，人们会遇到这样的情况，对于任意正整数n或不小于某个数n0 的任意正整数n，都有某种关系成立。,因此多米诺原理使我们分析出一种重要的数学推理方法 -数学归纳法,与正整数有关的命题,例如： 14+27+310+n(3n+
2、1)=n(n+1)2 (nN+) n22n (nN+,N5),我们常采用数学归纳法来证明：由不完全归纳法猜想得到的某些与正整数有关的数学命题的正确性.,（1）证明当n取第一个值n0(例如n0=1) 时命题成立,（2）假设当n=k(k N ,k n0 )时命题成立证明当n=k+1时命题也成立。,这种证明方法叫做 数学归纳法,k=2,k+1=2+1=3 k=3,k+1=3+1=4 k=10,k+1=10+1=11 ,数学归纳法,例:用数学归纳法证明:对一切正整数n,有,1+3+5+(2n-1)=n2,数学归纳法是一种证明与正整数有关的数学命题的重要方法。 主要有两个步骤、一个结论:第一步：验证当n
3、取第一个值n0（如 n0=1或2等）时结论正确第二步：假设n=k (kN ， 且k n0)时结论正确，证明n=k+1时结论也正确结论：由（1）、（2）得出结论正确,找准初值,用上假设,写明结论,数学归纳法主要步骤,练习:用数学归纳法证明对一切正整数n,明确初始值n0，验证真假。（必不可少） “假设n=k时命题正确”，写出命题形式。 证明“n=k+1时”命题成立。分析“n=k+1时”命题是什么，并找出与“n=k”时命题形式的差别，弄清左端应增加的项。注意用上假设 要作结论,用数学归纳法证明恒等式注意事项：,（1）数学归纳法是一种完全归纳法的证明方法它适用于 与正整数有关的问题。 （2）两个步骤，一个结论缺一不可，否则结论不能成立。 （3）在证明递推步骤时，必须使用归纳假设。,递推基础不可少 归纳假设要用到 结论写明莫忘掉,学习收获,思考:数学归纳法能证明所有与正整数有关的数学问题么?,四色猜想 哥德巴赫猜想 费马大定理,用数学归纳法证明等式问题,
