1、数学归纳法及其应用举例,数学归纳法是一种证明与自然数有关的数学命题的重要方法。 其格式主要有两个步骤、一个结论:（1）验证当n取第一个值n0（如 n0=1或2等）时结论正确；验证初始条件 （2）假设n=k时结论正确，在假设之下，证明n=k+1时结论也正确；假设推理 （3）由（1）、（2）得出结论.点题,找准起点 奠基要稳,用上假设 递推才真,写明结论 才算完整,一、复习引入：,1、数学归纳法是一种完全归纳法 ，它是在可靠的基础上，利用命题自身具有的传递性，运用“有限”的手段，来解决“无限”的问题。 2、它克服了完全归纳法的繁杂、不可行的缺点，又克服了不完全归纳法结论不可靠的不足，使我们认识到事
2、情由简到繁、由特殊到一般、由有限到无穷.,数学归纳法的核心思想,例1、已知正数数列an中,前n项和为sn,且用数学归纳法证明:,证:(1)当n=1时,=1,结论成立.,(2)假设当n=k时,结论成立,即,则当n=k+1时,故当n=k+1时,结论也成立.,根据(1)、(2)知,对一切正整数n,结论都成立.,数学归纳法证明整除问题：,例1、用数学归纳法证明:当n为正偶数时,xn-yn能被x+y整除.,证:(1)当n=2时,x2-y2=(x+y)(x-y),即能被x+y整除,故命题成立.,(2)假设当n=2k时,命题成立,即x2k-y2k能被x+y整除.,则当n=2k+2时,有,都能被x+y整除.,
3、故x2k+2-y2k+2能被x+y整除,即当n=2k+2时命题成立.,由(1)、(2)知原命题对一切正偶数均成立.,例2、用数学归纳法证明: 能被8整除.,证:(1)当n=1时,A1=5+2+1=8,命题显然成立.,(2)假设当n=k时,Ak能被8整除,即是8的倍数.,那么:,因为Ak是8的倍数,3k-1+1是偶数即4(3k-1+1)也是 8的倍数,所以Ak+1也是8的倍数,即当n=k+1时,命题成立.,由(1)、(2)知对一切正整数n, An能被8整除.,例3、求证:x3n-1+x3n-2+1能被x2+x+1整除.,证:(1)当n=1时, x3n-1+x3n-2+1= x2+x+1,从而命题
4、成立.,(2)假设当n=k时命题成立,即x3k-1+x3k-2+1能被x2+x+1整除,则当n=k+1时,x3(k+1)-1+x3(k+1)-2+1=x3k+2+x3k+1+1,=x3(x3k-1+x3k-2+1)-x3+1 = x3(x3k-1+x3k-2+1)-(x-1)(x2+x+1),因为x3k-1+x3k-2+1、x2+x+1都能被x2+x+1整除,所以上式右边能被x2+x+1整除.,即当n=k+1时,命题成立.,根据(1)、(2)知,对一切正整数n,命题成立.,(4)数学归纳法证明不等式问题：,例1、用数学归纳法证明:,证:(1)当n=2时, 左边= 不等式成立.,(2)假设当n=k(k2)时不等式成立,即有:,则当n=k+1时,我们有:,即当n=k+1时,不等式也成立.,由(1)、(2)原不等式对一切 都成立.,例2、证明不等式:,证:(1)当n=1时,左边=1,右边=2, 不等式显然成立.,(2)假设当n=k时不等式成立,即有:,则当n=k+1时,我们有:,即当n=k+1时,不等式也成立.,根据(1)、(2)可知,原不等式对一切正整数都 成立.,例3、求证:,证:(1)当n=1时,左边= ,右边= ,由于故不等式成立.,(2)假设n=k( )时命题成立,即,则当n=k+1时,
