1、专题九 选做大题,9.1 坐标系与参数方程 (选修44),-3-,-4-,-5-,-6-,-7-,-8-,1.极坐标系与极坐标 (1)极坐标系:如图所示,在平面内取一个定点O,叫做极点,自极点O引一条射线Ox,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.(2)极坐标:设M是平面内一点,极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为;以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角,记为.有序数对(,)叫做点M的极坐标,记为M(,). 一般地,不作特殊说明时,我们认为0,可取任意实数.,-9-,2.极坐标与直角坐标的互
2、化 把直角坐标系的原点作为极点,x轴的非负半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,设M是平面内任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标为(,),则它们之间的关系为x=cos ,y=sin .另一种关系为2=x2+y2,tan = (x0). 3.直线的极坐标方程 若直线过点M(0,0),且此直线与极轴所成的角为,则它的方程为sin(-)=0sin(0-). 几个特殊位置的直线的极坐标方程: (1)直线过极点:=0和=+0; (2)直线过点M(a,0),且垂直于极轴:cos =a; (3)直线过 ,且平行于极轴:sin =b.,-10-,-11-,-12-,-13-,考向一,考向二,考
3、向三,考向四,参数方程与极坐标方程间的互化 例1在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为 (t为参数,a0).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:=4cos . (1)说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程; (2)直线C3的极坐标方程为=0,其中0满足tan 0=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a.,-14-,考向一,考向二,考向三,考向四,解 (1)消去参数t得到C1的普通方程x2+(y-1)2=a2,C1是以(0,1)为圆心,a为半径的圆. 将x=cos ,y=sin 代入C1的普通方程中,得到C1的极坐标方程为2-2sin +1-a2=0
4、. (2)曲线C1,C2的公共点的极坐标满足方程组 若0,由方程组得16cos2-8sin cos +1-a2=0,由已知tan =2,可得16cos2-8sin cos =0, 从而1-a2=0,解得a=-1(舍去),a=1. a=1时,极点也为C1,C2的公共点,在C3上,所以a=1.,-15-,考向一,考向二,考向三,考向四,解题心得1.无论是参数方程化为极坐标方程,还是极坐标方程化为参数方程,都要先化为直角坐标方程,再由直角坐标方程化为需要的方程. 2.求解与极坐标方程有关的问题时,可以转化为熟悉的直角坐标方程求解.若最终结果要求用极坐标表示,则需将直角坐标转化为极坐标.,-16-,考
5、向一,考向二,考向三,考向四,对点训练1在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆C的极坐标方程为=2cos , . (1)求C的参数方程; (2)设点D在C上,C在D处的切线与直线l: 垂直,根据(1)中你得到的参数方程,确定D的坐标.,-17-,考向一,考向二,考向三,考向四,求两点间距离的最值 例2在直角坐标系xOy中,曲线C1: (t为参数,t0),其中 0.在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:=2sin ,C3:= cos . (1)求C2与C3交点的直角坐标; (2)若C1与C2相交于点A,C1与C3相交于点B,求|AB|的最大值.
6、,-18-,考向一,考向二,考向三,考向四,-19-,考向一,考向二,考向三,考向四,解题心得1.将参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过程,常用的消参方法有代入消参、加减消参和三角恒等式消参等,往往需要对参数方程进行变形,为消去参数创造条件. 2.若极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合,极轴与x轴正半轴重合,两坐标系的长度单位相同,则极坐标方程与直角坐标方程可以互化.,-20-,考向一,考向二,考向三,考向四,(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程; (2)设点P在C1上,点Q在C2上,求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.,-21-,考向一,考向二,考向三,考向四,-22-,考向
7、一,考向二,考向三,考向四,求三角形面积的最值 例3在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为cos =4. (1)M为曲线C1上的动点,点P在线段OM上,且满足|OM|OP|=16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程; (2)设点A的极坐标为 ,点B在曲线C2上,求OAB面积的最大值.,-23-,考向一,考向二,考向三,考向四,-24-,考向一,考向二,考向三,考向四,解题心得对于极坐标和参数方程的问题,既可以通过极坐标和参数方程来解决,也可以通过直角坐标解决,但大多数情况下,把极坐标问题转化为直角坐标问题,把参数方程转化为普通方程更有利于在一个
8、熟悉的环境下解决问题.这样可以减少由于对极坐标和参数方程理解不到位造成的错误.,-25-,考向一,考向二,考向三,考向四,对点训练3在直角坐标系xOy中,直线C1:x=-2,圆C2:(x-1)2+(y-2)2= 1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求C1,C2的极坐标方程; (2)若直线C3的极坐标方程为 (R),设C2与C3的交点为M,N,求C2MN的面积.,-26-,考向一,考向二,考向三,考向四,求动点轨迹的方程 例4已知动点P,Q都在曲线C: (t为参数)上,对应参数分别为t=与t=2(02),M为PQ的中点. (1)求M的轨迹的参数方程; (2)将M到坐标原点的距离d表示为的函数,并判断M的轨迹是否过坐标原点.,-27-,考向一,考向二,考向三,考向四,解题心得在求动点轨迹方程时,如果题目有明确要求,求轨迹的参数方程或求轨迹的极坐标方程或求轨迹的直角坐标方程,那么就按要求做;如果没有明确的要求,那么三种形式的方程写出哪种都可,哪种形式的容易求就写哪种.,-28-,考向一,考向二,考向三,考向四,(1)求的取值范围; (2)求AB中点P的轨迹的参数方程.,-29-,考向一,考向二,考向三,考向四,-30-,考向一,考向二,考向三,考向四,
