1、9.2 不等式选讲(选修45),-2-,-3-,-4-,-5-,-6-,1.绝对值三角不等式 (1)定理1:若a,b是实数,则|a+b|a|+|b|,当且仅当ab0时,等号成立; (2)性质:|a|-|b|ab|a|+|b|; (3)定理2:若a,b,c是实数,则|a-c|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)0时,等号成立.,-7-,2.绝对值不等式的解法 (1)含绝对值的不等式|x|a(a0)的解法: |x|axa或x0)和|ax+b|c(c0)型不等式的解法: |ax+b|c-cax+bc; |ax+b|cax+bc或ax+b-c. (3)|x-a|+|x-b|c(c0)和|
2、x-a|+|x-b|c(c0)型不等式的解法: 利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想; 利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想. 通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程的思想.,-8-,-9-,4.不等式的证明方法 证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等. (1)比较法:求差比较法,求商比较法. 求差比较法:由于aba-b0,ab,只要证明a-b0即可. 求商比较法:由ab0 1且a0,b0,因此当a0,b0时要证明ab,只要证明 1即可. (2)分析法:从待证不等式出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直到将待证不等式归结为一个已成立的不
3、等式(已知条件、定理等).,-10-,(3)综合法:从已知条件出发,利用不等式的有关性质或定理,经过推理论证,推导出所要证明的不等式成立,即“由因寻果”的方法,这种证明不等式的方法称为综合法. 5.柯西不等式,-11-,考向一,考向二,考向三,解不等式、求参数范围(全方位探究) 例1(2018广东梅州二模,23)已知函数f(x)=|x+1|-|x-2|. (1)求不等式f(x)1的解集; (2)若不等式f(x)x2-x+m的解集非空,求m的取值范围.,当x2时,由f(x)1解得x2. 所以f(x)1的解集为x|x1.,-12-,考向一,考向二,考向三,-13-,考向一,考向二,考向三,解题心得
4、1.解含有两个以上绝对值符号的不等式,一般解法是零点分段法.即令各个绝对值式子等于0,求出各自零点,把零点在数轴上从小到大排列,然后按零点分数轴形成的各区间去绝对值,进而将绝对值不等式转化为常规不等式. 2.在不等式恒成立的情况下,求参数的取值范围,可以采取分离参数,通过求对应函数最值的方法获得.,-14-,考向一,考向二,考向三,对点训练 1已知函数f(x)=|x+m|+|2x-1|(m0). (1)当m=1时,解不等式f(x)3; (2)当xm,2m2时,不等式 f(x)|x+1|恒成立,求实数m的取值范围.,-15-,考向一,考向二,考向三,-16-,考向一,考向二,考向三,例2已知函数
5、f(x)=-x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x-1|. (1)当a=1时,求不等式f(x)g(x)的解集; (2)若不等式f(x)g(x)的解集包含-1,1,求a的取值范围.,-17-,考向一,考向二,考向三,解: (1)当a=1时,不等式f(x)g(x)等价于x2-x+|x+1|+|x-1|-40. 当x-1时,式化为x2-3x-40,无解; 当-1x1时,式化为x2-x-20,从而-1x1;(2)当x-1,1时,g(x)=2. 所以f(x)g(x)的解集包含-1,1,等价于当x-1,1时f(x)2. 又f(x)在-1,1的最小值必为f(-1)与f(1)之一,所以f(-1)2且f(1
6、)2,得-1a1. 所以a的取值范围为-1,1.,-18-,考向一,考向二,考向三,解题心得1.对于求参数范围问题,可将已知条件进行等价转化,得到含有参数的不等式恒成立,此时通过求函数的最值得到关于参数的不等式,解不等式得参数范围. 2.解答此类问题应熟记以下转化:f(x)a恒成立f(x)mina;f(x)a有解f(x)maxa;f(x)a无解f(x)maxa;f(x)a无解f(x)mina.,-19-,考向一,考向二,考向三,对点训练 2(2018河南濮阳三模,23)已知函数f(x)=|x+1|-|x-2|,g(x)=x2-x-a. (1)当a=5时,求不等式f(x)g(x)的解集; (2)
7、若不等式f(x)g(x)的解集包含2,3,求a的取值范围.,-20-,考向一,考向二,考向三,解: (1)当a=5时,不等式f(x)g(x)等价于|x+1|-|x-2|x2-x-5, 当x-1时,式化为x2-x-20,无解; 当-1x2时,式化为x2-3x-40,得-1x2;(2)当x2,3时,f(x)=3, 所以f(x)g(x)的解集包含2,3,等价于x2,3时g(x)3. 又g(x)=x2-x-a在2,3上的最大值为g(3)=6-a, 所以g(3)3,即6-a3,得a3. 所以a的取值范围为3,+).,-21-,考向一,考向二,考向三,例3(2018湖南衡阳一模,文23)设函数f(x)=|
8、x+2|+|x-a|,xR. (1)若a=1,试求f(x)4的解集; (2)若a0,且关于x的不等式f(x) x有解,求实数a的取值范围.,-22-,考向一,考向二,考向三,解题心得在不等式f(x)g(x)有解或恒成立时,求不等式中所含参数的取值范围或最值,可分别作出函数f(x)和g(x)的图象,根据图象找到不等式f(x)g(x)有解或恒成立的条件,从而得出参数的取值范围或最值.,-23-,考向一,考向二,考向三,对点训练 3(2018全国卷3,理23)设函数f(x)=|2x+1|+|x-1|.(1)画出y=f(x)的图象; (2)当x0,+)时,f(x)ax+b,求a+b的最小值.,-24-
9、,考向一,考向二,考向三,y=f(x)的图象如图所示. (2)由(1)知,y=f(x)的图象与y轴交点的纵坐标为2,且各部分所在直线斜率的最大值为3,故当且仅当a3且b2时,f(x)ax+b在0,+)成立,因此a+b的最小值为5.,-25-,考向一,考向二,考向三,例4(2018全国卷1,理23)已知f(x)=|x+1|-|ax-1|. (1)当a=1时,求不等式f(x)1的解集; (2)若x(0,1)时不等式f(x)x成立,求a的取值范围.,-26-,考向一,考向二,考向三,解题心得在不等式f(x)g(x)成立下,求不等式中所含参数的取值范围,可对参数进行讨论,看参数在哪些范围内不等式能成立
10、,然后把使不等式成立的参数的范围合并在一起即可.,-27-,考向一,考向二,考向三,对点训练 4已知f(x)=|x-a|+3x,其中aR. (1)当a=1时,求不等式f(x)3x+|2x+1|的解集; (2)若不等式f(x)0的解集为x|x-1,求a的值.,-28-,考向一,考向二,考向三,解: (1)a=1时,f(x)=|x-1|+3x,由f(x)|2x+1|+3x,得|x-1|-|2x+1|0, 故|x-1|2x+1|,解得-2x0, 不等式的解集为x|-2x0.,-29-,考向一,考向二,考向三,不等式的证明 例5(2018山东潍坊三模,文23)已知函数f(x)=|x+4|,不等式f(x
11、)8-|2x-2|的解集为M. (1)求M; (2)设a,bM,证明:f(ab)f(2a)-f(-2b).,-30-,考向一,考向二,考向三,(1)解: 将f(x)=|x+4|代入f(x)8-|2x-2|,得|x+4|+|2x-2|8. 当x-4时,不等式转化为-x-4-2x+28, 解得x8, 解得x8, 解得x2,所以此时x2. 综上,M=x|x2.,-31-,考向一,考向二,考向三,(2)证明 因为f(2a)-f(-2b)=|2a+4|-|-2b+4|2a+4+2b-4|=|2a+2b|, 所以要证f(ab)f(2a)-f(-2b),只需证|ab+4|2a+2b|. 即证(ab+4)2(
12、2a+2b)2, 即证a2b2+8ab+164a2+8ab+4b2, 即证a2b2-4a2-4b2+160, 即证(a2-4)(b2-4)0, 因为a,bM,所以a24,b24, 所以(a2-4)(b2-4)0成立, 所以原不等式成立.,-32-,考向一,考向二,考向三,解题心得不等式证明的常用方法是:比较法、综合法与分析法.其中运用综合法证明不等式时,主要是运用基本不等式证明,与绝对值有关的不等式证明常用绝对值三角不等式.证明过程中一方面要注意不等式成立的条件,另一方面要善于对式子进行恰当的转化、变形.,-33-,考向一,考向二,考向三,-34-,考向一,考向二,考向三,-35-,考向一,考
13、向二,考向三,求代数式的最值 例6(2018河北唐山一模,文23)设函数f(x)=|x+1|-|x|的最大值为m. (1)求m的值;,-36-,考向一,考向二,考向三,-37-,考向一,考向二,考向三,解题心得若题设条件有(或者经过化简题设条件得到)两个正数和或两个正数积为定值,则可利用基本不等式求两个正数积的最大值或两个正数和的最小值.,-38-,考向一,考向二,考向三,对点训练 6(2018湖南衡阳二模,理23)已知a0,b0,c0.若函数f(x)=|x+a|+|x-b|+c的最小值为4. (1)求a+b+c的值;,解: (1)f(x)=|x+a|+|x-b|+c|(x+a)-(x-b)|+c=|a+b|+c=a+b+c, 当且仅当-axb时,等号成立, f(x)的最小值为a+b+c, a+b+c=4.,-39-,考向一,考向二,考向三,
