1、第一部分 思想方法研析指导,一、函数与方程思想,-3-,高考命题聚焦,思想方法诠释,高考把函数与方程的思想作为思想方法的重点来考查,特别是在函数、三角函数、数列、不等式、解析几何等处可能考到.高考使用客观题考查函数与方程思想的基本运算,而在主观题中,则从更深的层次,在知识网络的交汇处,从思想方法与相关能力相结合的角度进行深入考查.,-4-,高考命题聚焦,思想方法诠释,1.函数与方程思想的含义 (1)函数思想是用运动和变化的观点分析和研究数学中的数量关系,是对函数概念的本质认识,建立函数关系或构造函数,运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题,从而使问题获得解决的思想方法. (2)方程思想就是分
2、析数学问题中变量间的等量关系,建立方程或方程组,或者构造方程,通过解方程或方程组,或者运用方程的性质去分析、转化问题,使问题获得解决的思想方法. (3)方程思想与函数思想密切相关:方程f(x)=0的解就是函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标;函数y=f(x)也可以看作二元方程f(x)-y=0,通过方程进行研究;方程f(x)=a有解,当且仅当a属于函数f(x)的值域.函数与方程的这种相互转化关系十分重要.,-5-,高考命题聚焦,思想方法诠释,2.函数与方程的思想在解题中的应用 (1)函数与不等式的相互转化,对函数y=f(x),当y0时,可转化为不等式f(x)0,借助于函数的图象和性质可解决有
3、关问题,而研究函数的性质也离不开不等式. (2)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数,用函数的观点去处理数列问题十分重要. (3)解析几何中的许多问题,需要通过解二元方程组才能解决.,-6-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,利用函数思想解决与方程有关的问题 【思考】 如何处理含参数的方程在给定区间上有解的参数的范围问题? 例1已知关于x的方程cos2x-sin x+a=0在 上有解,求a的取值范围.,-7-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,-8-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,题后反思本例题的解题思路有两个:一是可分离参数为a=-cos2
4、x+sin x,转化为确定的相关函数的值域;二是将方程问题转化为函数问题,构造函数关系,利用零点存在性定理求解.,-9-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,对点训练1设x0是函数f(x)= -log2x的零点.若00 D.f(a)的符号不确定,答案,解析,-10-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,函数与方程思想在不等式中的应用 【思考】 如何用函数与方程思想解决不等式恒成立问题? 例2设函数f(x)=x2-1,对任意x -4m2f(x)f(x-1)+4f(m)恒成立,求实数m的取值范围.,-11-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,-12-,命题热点
5、一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,-13-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,题后反思根据题目的条件构造函数关系,把不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题是常用的解题思路.,-14-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,对点训练2已知函数f(x)=ln x+ax2+(2a+1)x. (1)讨论f(x)的单调性; (2)当a0时,证明,-15-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,-16-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,函数与方程思想在数列中的应用 【思考】 求等差(或等比)数列中的通项及前n项和的最值的基本方法有哪些? 例3设fn(
6、x)是等比数列1,x,x2,xn的各项和,其中x0,nN,n2.,(2)设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列,其各项和为gn(x),试比较fn(x)和gn(x)的大小.,-17-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,-18-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,所以h(x)在(0,1)内递增,在(1,+)内递减, 所以h(x)h(1)=0,即fn(x)gn(x). 综上所述,当x=1时,fn(x)=gn(x); 当x1时,fn(x)gn(x).,-19-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,题后反思应用方程的思想求等差(或等比)数列中的
7、通项时,根据题中的条件,列出关于首项和公差的方程组,通过解方程组求出数列的首项和公差,再根据等差数列的通项公式写出an. 求前n项和Sn的最大值时,依据函数的思想先表示出Sn,整理成关于n的函数,再求其最大值.,-20-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,对点训练3已知等比数列an的公比为q,a1= ,其前n项和为Sn(nN*),且S2,S4,S3成等差数列. (1)求数列an的通项公式; (2)设bn=Sn- (nN*),求bn的最大值与最小值.,-21-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,-22-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,-23-,命题热
8、点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,函数与方程思想在解析几何中的应用 【思考】 在解析几何中是怎样体现函数与方程思想的? 例4(1)求实数m的取值范围; (2)求AOB面积的最大值(O为坐标原点).,-24-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,-25-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,-26-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,题后反思对于曲线上的一些动点,在变化过程中会引入一些相互联系、相互制约的变量,从而使变量之间构成函数与方程的关系,此时,用函数与方程的思想方法处理起来十分方便.解析几何中的许多问题,例如直线和二次曲线的位置关系问题,可通
9、过解二元方程组解决,或有些问题通过构造函数来解.,-27-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,对点训练4 已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,点P(4,0).(1)设Q是抛物线C上的动点,求|PQ|的最小值; (2)过点P的直线l与抛物线C交于M,N两点,若FMN的面积为6 ,求直线l的方程.,-28-,命题热点一,命题热点二,命题热点三,命题热点四,-29-,规律总结,拓展演练,1.函数思想的实质是抛开所研究对象的非数学特征,用联系和变化的观点提出数学对象,抽象其数学特征,建立各变量之间固有的函数关系,通过函数形式,利用函数的有关性质(定义域、值域、最值、奇偶性、单调性、周期性
10、等),使问题得到解决.方程思想的实质是将所求的量设成未知数,用它表示问题中的其他各量,根据题中隐含的等量关系,列方程(组),通过解方程(组)或对方程(组)进行研究,以求得问题的解决. 2.函数与方程思想是高中数学的一条主线,这不仅可以从高中新课程一直是以函数为主线贯穿这一事实体现出来,而且函数与方程思想也是数学最本质的思想之一,函数思想使常量数学进入了变量数学.高中数学中的初等函数、数列、不等式、解析几何等问题都可以转化为函数与方程问题.,-30-,规律总结,拓展演练,1.设a1,若对于任意的xa,2a,都有ya,a2满足方程logax+logay=3,则a的取值集合为( ) A.a|1a2
11、B.a|a2 C.a|2a3 D.2,3,B,-31-,规律总结,拓展演练,2.对任意a-1,1,函数f(x)=x2+(a-4)x+4-2a的值总大于零,则x的取值范围是( ) A.x|13 C.x|12,B,解析 由f(x)=x2+(a-4)x+4-2a0,得 a(x-2)+x2-4x+40. 令g(a)=a(x-2)+x2-4x+4,由不等式f(x)0恒成立,即g(a)0在区间-1,1上恒成立,解得x3.,-32-,规律总结,拓展演练,3.若 ,则x,y满足的关系式为 .,x+y0,4.已知函数f(x)(xR)满足f(x)= ,a0,f(1)=1,且使f(x)=2x成立的实数x只有一个,求函数f(x)的表达式.,
