1、1专题 1 探索规律问题常考类型分析专题类型突破类型 1 数式规律一、数与数阵规律【例 1】观察下面“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出 a 的值为( )A23 B75 C77 D139【解析】 上边的数为连续的奇数 1,3,5,7,9,11，左边的数为21,22,23，b2664.上边的数与左边的数的和正好等于右边的数，a116475.满分技法通过所给的特例所列举的数字或数字本身的变化，或者在数表、数轴、坐标、图形中的变化，找出共性或者与自然序数的关系确定变化后的结果，列出通式，再代入求值二、算式变化规律【例 2】古希腊著名的毕达哥拉斯学派把 1,3,6,10， 这样的数称为“三
2、角形数” ，而把1,4,9,16，这样的数称为“正方形数” 从图中可以发现，任何一个大于 1 的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和下列等式中，符合这一规律的是( )2A13310 B25916C361521 D491831【解析】 按照以下环节进行思考：(1)从“形”的角度来看， “正方形数”依次为：11 2,42 2,93 2,164 2,255 2，即从 1 开始的正整数的平方；斜线上方的点数表示较小的“三角形数” ，依次为：1,123,1236,123410,1234515，即从 1 开始的连续正整数相加的和；(2)从“数”的角度来看，等式规律用字母表示出来：如果用 n2表示
3、“正方形数” ，则等式表示为 (3)对以上结论进行证明： (4)对照图示规律或者等式特征，可知选 C.满分技法探索算式或等式的规律，一般要将每个式子中相同位置上的数字进行比较，发现其变化特征，用表示算式序号的字母表示出来，通常以选择题或填空题的形式出现满分变式必练1.按照一定规律排列的 n 个数：2,4，8,16，32,64，若最后三个数的和为768，则 n 为( )A9 B10 C11 D12解析：B ，由题意，得第 n 个数为(2) n，那么(2) n2 (2) n1 (2) n768.当 n为偶数时，整理，得 32n2768.解得 n10；当 n 为奇数时，整理，得32 n2 768，无
4、解n10.2.如图，10 个不同的正偶数按下图排列，箭头上方的每个数都等于其下方两数的和，如 ，表示 a1a 2a 3，则 a1的最小值为( )A32 B36 C38 D40解析：D ，a 1a 2a 3a 4a 5a 5a 6a 7a 8a 8a 9a 8a 9a 9a 10a 73(a 8a 9)a 10，要使 a1 取得最小值，则 a8a 9应尽可能的小，取 a82，a 94.a 5a 8a 96，则 a7，a 10中不能有 6.若 a108，则 a6a 9a 1012.a 714，则 a414216，a 216622，a 361218，a1182240.综上，a 1的最小值为 40.3
5、.如图，给正五边形的顶点依次编号为 1,2,3,4,5.若从某一顶点开始，沿正五边形的边顺时针方向行走，顶点编号的数字是几，就走几个边长，则称这种走法为一次“移位” 3如：小宇在编号为 3 的顶点上时，那么他应走 3 个边长，即从 3451 为第一次“移位”，这时他到达编号为 1 的顶点；然后从 12 为第二次“移位” 若小宇从编号为 2 的顶点开始，第 10 次“移位”后，则他所处顶点的编号是 .解析：3。 若小宇从编号为 2 的顶点开始，第 1 次“移位”他应走 2 个边长，到达编号为4 的顶点；第 2 次“移位”应走 4 个边长，到达编号为 3 的顶点；第 3 次“移位”应走 3个边长，
6、到达编号为 1 的顶点；第 4 次“移位”应走 1 个边长，到达编号为 2 的顶点，依此类推，4 次“移位”为一个循环组，返回编号为 2 的顶点.10422.所以第 10 次“移位”为第 3 个循环组的第 2 次“移位”到达编号为 3 的顶点4.已知 则 a8 .解析：由题意给出的 5 个数可知，5.观察下列式子：1312 2；7918 2；2527126 2；7981180 2；可猜想第 2016 个式子为 (3 20162)3 20161(3 20161) 2 .解析：。观察发现，第 n 个等式可以表示为(3 n2)3 n1(3 n1) 2，当 n2016 时，(320162)3 2016
7、1(3 20161) 2.6.将从 1 开始的连续自然数按以下规律排列：则 2017 在第 行解析：45。 由观察可知第 n 行最大一个数为 n2.44 21936,45 22025，2017 在第 45行7.观察下列各个等式的规律：4第一个等式： 第二个等式： 第三个等式：请用上述等式反映出的规律解决下列问题：(1)直接写出第四个等式；(2)猜想第 n 个等式(用 n 的代数式表示)，并证明你猜想的等式是正确的类型 2 图形变化规律【例 3】下列图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第个图形中一共有 3 个菱形，第个图形中一共有 7 个菱形，第个图形中一共有 13 个菱形，按此规
8、律排列下去，第个图形中菱形的个数为( )A73 B81 C91 D109【解析】 第个图形中共有 3 个菱形，31 22；第个图形中共有 7 个菱形，72 23；第个图形中共有 13 个菱形，133 24；第 n 个图形中菱形的个数为n2n1.第个图形中菱形的个数为 929191.满分技法解决这类问题首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加(或倍数)情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论，列出通式，最后确定相应图形的元素特征满分变式必练1.用棋子摆出下列一组图形：按照这种规律摆下去，第 n 个图形用的棋子个数为( )A3n
9、 B6n C3n6 D3n35解析：D 第一个图需棋子 336；第二个图需棋子 3239；第三个图需棋子33312；.第 n 个图需棋子(3n3)个2.观察下列图形，它是把一个三角形分别连接这个三角形三边的中点，构成 4 个小三角形，挖去中间的一个小三角形(如图 1)；对剩下的三个小三角形再分别重复以上做法，将这种做法继续下去(如图 2，图 3)，则图 6 中挖去三角形的个数为( )A121 B362 C364 D729解析：C。 图 1 挖去中间的 1 个小三角形，图 2 挖去中间的(13)个小三角形，图 3 挖去中间的(133 2)个小三角形，则图 6 挖去中间的(133 23 33 43
10、 5)个小三角形，即图 6 挖去中间的 364 个小三角形3.将正方体骰子(相对面上的点数分别为 1 和 6、2 和 5、3 和 4)放置于水平桌面上，如图 1.在图 2 中，将骰子向右翻滚 90，然后在桌面上按逆时针方向旋转 90，则完成一次变换若骰子的初始位置为图 1 所示的状态，那么按上述规则连续完成 10 次变换后，骰子朝上一面的点数是( )A6 B5 C3 D2解析：B 。由观察可知，从开始每 3 次变换完成后，正方体骰子就恢复到初始位置因此，连续完成 9 次变换后，正方体骰子恢复到初始位置10331，第 10 次的情况如题中图所示，可见骰子朝上一面的点数是 5.4.将一些相同的“”
11、按如图所示摆放，观察每个图形中的“”的个数，若第 n 个图形中“”的个数是 78，则 n 的值是( )A11 B12 C13 D14解析：B。 第 1 个图形有 1 个小圆；第 2 个图形有 123 个小圆；第 3 个图形有1236 个小圆；第 4 个图形有 123410 个小圆；第 n 个图形有123n 个小圆第 n 个图形中“”的个数是 78，78 解得n112，n 213(不合题意，舍去)6类型 3 图象变化规律【例 4】如图，一段抛物线：yx(x3)(0x3)，记为 C1，它与 x 轴交于点 O，A 1；将 C1绕点 A1旋转 180得 C2，交 x 轴于点 A2；将 C2绕点 A2旋
12、转 180得 C3，交 x 轴于点A3；如此进行下去，直至得 C13.若 P(37，m)在第 13 段抛物线 C13上，则 m .【解析】 C 1：yx(x3)(0x3)；C 2：y(x3)(x6)(3x6)；C 3：y(x6)(x9)(6x9)；C 4：y(x9)(x12)(9x12)；C 13：y(x36)(x39)(36x39)，当 x37 时，y2，则 m2.满分技法从图象的变化或者变换方式与次数中，寻找规律，一般要利用数形结合的思想进行研究，通常以选择题或填空题的形式出现满分变式必练1.如图，过点 A0(2,0)作直线 l：y 的垂线，垂足为点 A1，过点 A1作 A1A2x 轴，垂
13、足为点 A2，过点 A2作 A2A3l，垂足为点 A3，这样依次下去，得到一组线段：A0A1，A 1A2，A 2A3，则线段 A2016A2017的长为( )2.如图，P 1OA1，P 2A1A2，P 3A2A3，P 2016A2015A2016是等腰直角三角形，点P1，P 2，P 3，都在函数 y 的图象上，斜边 OA1，A 1A2，A 2A3，A 2015A2016都在 x 轴上，则 A2016的坐标为 .73.二次函数 的图象如图所示，点 A0位于坐标原点，点 A1，A 2，A 3，A 100在 y 轴的正半轴上，点 B1，B 2，B 3，B 100在二次函数 位于第一象限的图象上，若A0B1A1，A 1B2A2，A 2B3A3，A 99B100A100都为等边三角形，则A 99B100A100的边长为 .
