1、1专题 4 函数方案与决策常考类型分析专题类型突破类型 1 利用一次函数进行方案设计与决策【例 1】某景区内的环形路是边长为 800 米的正方形 ABCD，如图 1 和图 2.现有 1 号、2 号两游览车分别从出口 A 和景点 C 同时出发，1 号车顺时针、2 号车逆时针沿环形路连续循环行驶，供游客随时免费乘车(上、下车的时间忽略不计)，两车的速度均为 200 米/分探究 设行驶时间为 t 分(1)当 0t8 时，分别写出 1 号车、2 号车在左半环线离出口 A 的路程 y1，y 2(米) 与t(分)的函数关系式，并求出当两车相距的路程是 400 米时 t 的值；(2)t 为何值时，1 号车第
2、三次恰好经过景点 C？并直接写出这一段时间内它与 2 号车相遇过的次数发现 如图 2，游客甲在 BC 上一点 K(不与点 B，C 重合)处候车，准备乘车到出口 A，设CKx 米情况一：若他刚好错过 2 号车，便搭乘即将到来的 1 号车；情况二：若他刚好错过 1 号车，便搭乘即将到来的 2 号车比较哪种情况用时较多？(含候车时间)决策 已知游客乙在 DA 上从 D 向出口 A 走去，步行的速度是 50 米/分当行进到 DA 上一点 P(不与点 D，A 重合)时，刚好与 2 号车迎面相遇(1)他发现，乘 1 号车会比乘 2 号车到出口 A 用时少，请你简要说明理由；2(2)设 PAs(0s800)
3、米若他想尽快到达出口 A，根据 s 的大小，在等候乘 1 号车还是步行这两种方式中，他该如何选择？【思路分析】探究：(1)由“路程速度时间”可以得出 y1，y 2(米) 与 t(分)的函数关系式，再利用关系式列方程就可以求出两车相距的路程是 400 米时 t 的值；(2)求出 1 号车第 3 次经过景点 C 的路程，进一步求出行驶的时间，由两车第一次相遇后每相遇一次需要的时间就可以求出相遇次数；发现：计算出情况一的用时和情况二的用时，再进行大小比较就可以得出结论；决策：(1)根据题意可以得出游客乙在 AD 上等待乘 1 号车到 A 出口的路程小于 2 个边长，而乘 2 号车到 A 出口的路程大
4、于 3 个边长，进而得出结论； (2)分类讨论，若步行比乘 1 号车的用时少，就有 就可以分情况得出结论解：探究：(1)由题意，得 y1200t，y 2200t1600.相遇前相距 400 米时，y2y 1400，即200t1600200t400.解得 t3.相遇后相距 400 米时，y 1y 2400，即 200t(200t1600)400.解得 t5.综上所述，当两车相距的路程是 400 米时，t 的值为 3 或 5.(2)当 1 号车第三次恰好经过景点 C 时，由题意，得 200t800280042.解得 t40.这一段时间内它与 2 号车相遇过 5 次决策：(1)由题意知，此时 1 号
5、车正行驶在 CD 边上，乘 1 号车到 A 出口的路程小于 2 个边长，而乘 2 号车到 A 出口的路程大于 3 个边长，所以乘 1 号车用时比 2 号车少(两车速相同)(2)若步行比乘 1 号车用时少，则解得 s320.当 0s320 时，选择步行同理可得，当 320s800 时，选择乘 1 号车当 s320 时，选择步行或乘 1 号车满分技法一次函数决策型应用题通常是从函数图象或图表中得出需要的信息，然后利用待定系数法求出一次函数解式通常一次函数的最值问题首先由不等式找到 x 的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前提下求出最值3满分变式必练1.某校为了在九月份迎接高一年级的新
6、生，决定将学生公寓楼重新装修，现学校招用了甲、乙两个工程队若两队合作，8 天就可以完成该项工程；若由甲队先单独做 3 天后，剩余部分由乙队单独做需要 18 天才能完成(1)求甲、乙两队工作效率分别是多少？(2)甲队每天工资 3000 元，乙队每天工资 1400 元，学校要求在 12 天内将学生公寓楼装修完成，若完成该工程甲队工作 m 天，乙队工作 n 天，求学校需支付的总工资 w(元)与甲队工作天数 m(天)的函数关系式，并求出 m 的取值范围及 w 的最小值2.我省某苹果基地销售优质苹果，该基地对需要送货且购买量在 2000kg5000kg(含2000kg 和 5000kg)的客户有两种销售
7、方案(客户只能选择其中一种方案)：方案 A：每千克 5.8 元，由基地免费送货方案 B：每千克 5 元，客户需支付运费 2000 元(1)请分别写出按方案 A，方案 B 购买这种苹果的应付款 y(元)与购买量 x(kg)之间的函数表达式；(2)求购买量 x 在什么范围时，选用方案 A 比方案 B 付款少；4(3)某水果批发商计划用 20000 元，选用这两种方案中的一种，购买尽可能多的这种苹果，请直接写出他应选择哪种方案解：(1)方案 A：函数表达式为 y5.8x；方案 B：函数表达式为 y5x2000.(2)由题意，得 5.8x5x2000.解得 x2500.则当购买量 x 的范围是 200
8、0x2500 时，选用方案 A 比方案 B 付款少(3)他应选择方案 B，理由如下：方案 A：苹果数量为 200005.83448(kg)；方案 B：苹果数量为(200002000)53600(kg)，36003448，方案 B 买的苹果多3. “低碳环保，绿色出行”的理念得到广大群众的接受，越来越多的人再次选择自行车作为出行工具，小军和爸爸同时从家骑自行车去图书馆，爸爸先以 150 米/分的速度骑行一段时间，休息了 5 分钟，再以 m 米/分的速度到达图书馆，小军始终以同一速度骑行，两人行驶的路程 y(米)与时间 x(分钟)的关系如图，请结合图象，解答下列问题：(1)a ，b ，m ；(2)
9、若小军的速度是 120 米/分，求小军在途中与爸爸第二次相遇时，距图书馆的距离；(3)在(2)的条件下，爸爸自第二次出发至到达图书馆前，何时与小军相距 100 米？(4)若小军的行驶速度是 v 米/分，且在途中与爸爸恰好相遇两次(不包括家、图书馆两地)，请直接写出 v 的取值范围 5类型 2 反比例函数的应用【例 2】某公司从 2014 年开始投入技术改进资金，经技术改进后，其产品的成本不断降低，具体数据如下表：(1)请你认真分析表中数据，从一次函数和反比例函数中确定哪一个函数能表示其变化规律，给出理由，并求出其解析式；(2)按照这种变化规律，若 2017 年已投入资金 5 万元预计生产成本每
10、件比 2016 年降低多少万元？若打算在 2017 年把每件产品成本降低到 3.2 万元，则还需要投入技改资金多少万元？(结果精确到 0.01 万元)【思路分析】(1)根据实际题意和数据特点分情况求解，根据排除法可知其为反比例函数，利用待定系数法求解即可；(2)直接把 x5 万元代入函数解析式求解；直接把 y3.2 万元代入函数解析式求解6满分技法函数应用的解题关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，要注意用排除法确定函数的类型再根据自变量的值求出对应的函数值同时结合图象确定增减性，确定自变量或函数的值或取值范围满分变式必练1.丽水某公司
11、将“丽水山耕”农副产品运往杭州市场进行销售，记汽车行驶时间为 t 小时，平均速度为 v 千米/时(汽车行驶速度不超过 100 千米/时)根据经验，v，t 的一组对应值如下表：(1)根据表中的数据，求出平均速度 v(千米/时)关于行驶时间 t(小时)的函数表达式；(2)汽车上午 7：30 从丽水出发，能否在上午 10：00 之前到达杭州市场？请说明理由；(3)若汽车到达杭州市场的行驶时间 t 满足 3.5t4，求平均速度 v 的取值范围72.嘉淇同学家的饮水机中原有水的温度为 20，其工作过程如图所示，在一个由 20加热到 100再降温到 20的过程中，水温记作 y()，从开始加热起时间变化了
12、x(分钟)，加热过程中，y 与 x 满足一次函数关系，水温下降过程中，y 与 x 成反比例，当 x20 时，y40.(1)写出饮水机水温的下降过程中 y 与 x 的函数关系式，并求出 x 为何值时，y100；(2)求加热过程中 y 与 x 之间的函数关系式；(3)求当 x 为何值时，y80.问题解决若嘉淇同学上午八点将饮水机通电开机后即外出散步，预计九点前回到家中，若嘉淇想喝到不低于 50 的水，直接写出外出时间 m(分钟)的取值范围8问题解决：外出时间 m(分钟)的取值范围为 3m16 或 43m56.3.月电科技有限公司用 160 万元，作为新产品的研发费用，成功研制出了一种市场急需的电子
13、产品，已于当年投入生产并进行销售已知生产这种电子产品的成本为 4 元/件，在销售过程中发现：每年的年销售量 y(万件)与销售价格 x(元/件)的关系如图所示，其中 AB 为反比例函数图象的一部分，BC 为一次函数图象的一部分设公司销售这种电子产品的年利润为 s(万元)(注：若上一年盈利，则盈利不计入下一年的年利润；若上一年亏损，则亏损计作下一年的成本)(1)请求出 y(万件)与 x(元/件)之间的函数关系式；(2)求出第一年这种电子产品的年利润 s(万元)与 x(元/件)之间的函数关系式，并求出第一年年利润的最大值；(3)假设公司的这种电子产品第一年恰好按年利润 s(万元)取得最大值时进行销售
14、，现根据第一年的盈亏情况，决定第二年将这种电子产品每件的销售价格 x(元)定在 8 元以上(x8)，当第二年的年利润不低于 103 万元时，请结合年利润 s(万元)与销售价格 x(元/件)的函数示意图，求销售价格 x(元/件)的取值范围9类型 3 利用二次函数进行方案设计与决策【例 3】某公司销售一种新型节能产品，现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售若只在国内销售，销售价格 y(元/件)与月销量 x(件)的函数关系式为 成本为 20 元/件，无论销售多少，每月还需支出广告费 62500 元，设月利润为 w 内(元)(利润 销售额成本广告费)若只在国外销售，销售价格为 150 元/件
15、，受各种不确定因素影响，成本为 a 元/件(a 为常数，10a40)，当月销量为 x(件)时，每月还需缴纳 元的附加费，设月利润为 w 外(元)(利润 销售额成本附加费)10(1)当 x1000 时，y 元/件，w 内 元；(2)分别求出 w 内，w 外与 x 间的函数关系式；(不必写 x 的取值范围)(3)当 x 为何值时，在国内销售的月利润最大？若在国外销售月利润的最大值与在国内销售月利润的最大值相同，求 a 的值；(4)如果某月要将 5000 件产品全部销售完，请你通过分析帮公司决策，选择在国内还是在国外销售才能使所获月利润较大？【思路分析】解题时可充分利用已经提供的函数关系式、国内销售
16、和国外销售的利润计算公式以及抛物线的顶点公式，理清数量关系，降低解题难度(4)当 x5000 时，w 内 337500, w 外5000a500000.若 w 内 w 外，则 a32.5；若 w 内 w 外，则 a32.5；若 w 内 w 外，则 a32.5.所以，当 10a32.5 时，选择在国外销售；当 a32.5 时，在国外和国内销售都一样；当 32.5a40 时，选择在国内销售易错提示解题时需注意不要忽视成本 a(元/件)的取值范围 10a40，否则会影响对第(3)小题的结果进行合理取舍，以及第(4)小题不同情况下成本范围的确定满分技法应用二次函数解决决策性问题时，首先建立二次函数的关
17、系模型，结合实际具体情况得到方程或不等式的自变量的取值范围，利用二次函数的图象特征或二次函数增减性，从而确定在自变量取值范围内的函数最大值(最小值)，进而确定最佳方案(或进行合理性决策)11满分变式必练1.随着地铁和共享单车的发展， “地铁单车”已成为很多市民出行的选择，李华从文化宫站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的 A，B，C，D，E 中的某一站出地铁，再骑共享单车回家，设他出地铁的站点与文化宫距离为 x(单位：千米)，乘坐地铁的时间 y1(单位：分钟)是关于 x 的一次函数，其关系如下表：(1)求 y1关于 x 的函数表达式；(2)李华骑单车的时间(单位：分钟)也受 x 的影响，其关系可
18、以用 来描述，请问：李华应选择在哪一站出地铁，才能使他从文化宫回到家所需的时间最短？并求出最短时间2.为衡量某种车辆的性能，研究制定了行驶指数 P，PK1000，而 K 的大小与平均速度v(km/h)和行驶路程 s(km)有关(不考虑其他因素)，K 由两部分的和组成，一部分与 v2成正比，另一部分与 sv 成正比在实验中得到了表中的数据：(1)用含 v 和 s 的式子表示 P；(2)当 P500，而 v50 时，求 s 的值；(3)当 s180 时，若 P 值最大，求 v 的值123.宏兴企业接到一批产品的生产任务，按要求必须在 14 天内完成已知每件产品的出厂价为 60 元工人甲第 x 天生产的产品数量为 y 件，y 与 x 满足如下关系：(1)工人甲第几天生产的产品数量为 70 件？(2)设第 x 天生产的产品成本为 P 元/件，P 与 x 的函数图象如图工人甲第 x 天创造的利润为 W 元，求 W 与 x 的函数关系式，并求出第几天时，利润最大，最大利润是多少？
